Let g be a Lie algebra. For each $x \in \mathrm{\𝔤}$, let $N_x \=$$\{y \in \mathrm{\𝔤} \| \mathrm{ad}{\left(x\right)}^n \left(y\right) \= 0\}\.$This is the generalized null space of $\mathrm{ad}\(x$). The rank of g is defined as rank$\left(\mathrm{\𝔤}\right) \= \min${dim$\left(N_x\right)$for $x\mathit{ }\mathit{\in }𝔤$}. An element $x$is called regular if dim$\left(N_x\right) \=$rank$\left(\mathrm{\𝔤}\right)\.$If $x$is a regular element, then the centralizer $Z\left(x\right)$is a Cartan subalgebra.  Conversely, if $Z\left(x\right)$ is a Cartan subalgebra, then $x$is a regular element.

Alternatively, for each $x \in \mathrm{\𝔤}$, set $p_x\left({\mathrm{\λ}}_{}\right) \= \det \left({\mathrm{\λ}}_{} \mathrm{Id}- \mathrm{ad}\left(x\right)\right)\.$Then the rank of g is the smallest integer $m$(as $x$varies) such that the coefficient of ${\mathrm{\λ}}^m$in $p_x\left({\mathrm{\lambda }}_{}\right)$ is nonzero. $$

With the calling sequence Query($\mathrm{X}\, ''RegularElement''$), the centralizer $Z\left(X\right)$ of $X$ is computed. It is then determined if this centralizer is a Cartan subalgebra.

With the calling sequence Query($\mathrm{X}\, \mathrm{algebratype} \= ''semisimple''\, ''RegularElement''$), the calculations are simplified using the fact that the Cartan subalgebra must be Abelian (in general, it need only be nilpotent).

With the calling sequence Query($\mathrm{X}\,$ rank = $\mathrm{m}\,$$"RegularElement$"), the regularity of  $X$ is determined by calculating the generalized null space of $X\.$This is the fastest method for checking if an element is regular, assuming that the rank of $\mathrm{\𝔤}\mathit{ }\mathit{ }$is known.

$\mathrm{with}\left(\mathrm{DifferentialGeometry}\right)\:$$\mathrm{with}\left(\mathrm{LieAlgebras}\right)\:$

$\mathrm{LD}≔\mathrm{SimpleLieAlgebraData}\left(''so(5)''\,\mathrm{so5}\right)$

$\mathrm{LD}:=\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e2}\right]\=\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e3}\right]\=\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e4}\right]\=\mathrm{e7}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e5}\right]\=-\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e6}\right]\=-\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e7}\right]\=-\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e3}\right]\=\mathrm{e8}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e4}\right]\=\mathrm{e9}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e5}\right]\=\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e8}\right]\=-\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e9}\right]\=-\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e4}\right]\=\mathrm{e10}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e6}\right]\=\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e8}\right]\=\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e10}\right]\=-\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e7}\right]\=\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e9}\right]\=\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e10}\right]\=\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e6}\right]\=\mathrm{e8}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e7}\right]\=\mathrm{e9}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e8}\right]\=-\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e9}\right]\=-\mathrm{e7}\,\left[\mathrm{e6}\,\mathrm{e7}\right]\=\mathrm{e10}\,\left[\mathrm{e6}\,\mathrm{e8}\right]\=\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e6}\,\mathrm{e10}\right]\=-\mathrm{e7}\,\left[\mathrm{e7}\,\mathrm{e9}\right]\=\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e7}\,\mathrm{e10}\right]\=\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e8}\,\mathrm{e9}\right]\=\mathrm{e10}\,\left[\mathrm{e8}\,\mathrm{e10}\right]\=-\mathrm{e9}\,\left[\mathrm{e9}\,\mathrm{e10}\right]\=\mathrm{e8}\right]$

$\mathrm{DGsetup}\left(\mathrm{LD}\right)$

$\mathrm{Lie\; algebra:\; so5}$

$\mathrm{Query}\left(\mathrm{e1}\,''RegularElement''\right)$

$\mathrm{false}$

$\mathrm{Query}\left(\mathrm{e1}\,\mathrm{rank}=2\,''RegularElement''\right)$

$\mathrm{false}$

$\mathrm{Query}\left(\mathrm{evalDG}\left(\mathrm{e1}+\mathrm{e5}-2\mathrm{e8}\right)\,''RegularElement''\right)$

$\mathrm{true}$

$\mathrm{Query}\left(\mathrm{evalDG}\left(\mathrm{e1}+\mathrm{e5}-2\mathrm{e8}\right)\,\mathrm{rank}=2\,''RegularElement''\right)$

$\mathrm{true}$

$\mathrm{Query}\left(\mathrm{evalDG}\left(\mathrm{e1}+\mathrm{e5}-2\mathrm{e8}\right)\,\mathrm{algebratype}=''semisimple''\,''RegularElement''\right)$

$\mathrm{true}$