Let g be a simple Lie algebra, h a Cartan subalgebra, and$\mathrm{\𝔤}\mathit{ }\mathit{\=}\mathit{ }\mathrm{\𝔥}\mathit{ }\oplus \underset{\mathrm{\α} \in \mathrm{\Δ}}{\overset{}{⨁}}{R}_{\mathrm{\α} }$the root space decomposition of g with respect to h. For each root $\mathrm{\α} \in \mathrm{\Δ}$, there are vectors $X_{\mathrm{\α}} \in R_{\mathrm{\α}} \, X_{-\mathrm{\α}} \in R_{-\mathrm{\α}}$and $H_{\mathrm{\α}}\in \mathrm{\𝔥}\mathit{ }$ such that

The procedure RootToCartanSubalgebraElementH($\mathbf{\α}\mathbf{ }\,$RSD) returns the vector $H_{{\mathrm{\α}}_{}}\.$

$\mathrm{with}\left(\mathrm{DifferentialGeometry}\right)\:$$\mathrm{with}\left(\mathrm{LieAlgebras}\right)\:$

$\mathrm{LD1}≔\mathrm{SimpleLieAlgebraData}\left(''su(3,3)''\,\mathrm{su33}\,\mathrm{labelformat}=''gl''\,\mathrm{labels}=\left['E'\,'\mathrm{\omega }'\right]\right)\:$

$\mathrm{DGsetup}\left(\mathrm{LD1}\right)$

$\mathrm{Lie\; algebra:\; su33}$

$P≔\mathrm{SimpleLieAlgebraProperties}\left(\mathrm{su33}\right)\:$

$\mathrm{CSA}≔P\left[''CartanSubalgebra''\right]$

$\mathrm{CSA}:=\left[\mathrm{E11}\,\mathrm{E22}\,\mathrm{E33}\,\mathrm{Ei11}\,\mathrm{Ei22}\right]$

$\mathrm{RSD}≔\mathrm{eval}\left(P\left[''RootSpaceDecomposition''\right]\right)$

$\mathrm{RSD}:=\mathrm{table}\left(\left[\left[1\,0\,1\,-2\mathrm{I}\,-\mathrm{I}\right]\=\mathrm{E16}\+\mathrm{I}\mathrm{Ei16}\,\left[1\,1\,0\,\mathrm{I}\,-\mathrm{I}\right]\=\mathrm{E15}-\mathrm{I}\mathrm{Ei15}\,\left[-1\,0\,1\,-2\mathrm{I}\,-\mathrm{I}\right]\=\mathrm{E31}\+\mathrm{I}\mathrm{Ei31}\,\left[1\,-1\,0\,-\mathrm{I}\,\mathrm{I}\right]\=\mathrm{E12}-\mathrm{I}\mathrm{Ei12}\,\left[0\,0\,-2\,0\,0\right]\=\mathrm{Ei63}\,\left[0\,-1\,-1\,\mathrm{I}\,2\mathrm{I}\right]\=\mathrm{E53}-\mathrm{I}\mathrm{Ei53}\,\left[0\,-2\,0\,0\,0\right]\=\mathrm{Ei52}\,\left[-1\,-1\,0\,\mathrm{I}\,-\mathrm{I}\right]\=\mathrm{E42}-\mathrm{I}\mathrm{Ei42}\,\left[1\,0\,-1\,2\mathrm{I}\,\mathrm{I}\right]\=\mathrm{E13}\+\mathrm{I}\mathrm{Ei13}\,\left[0\,1\,-1\,-\mathrm{I}\,-2\mathrm{I}\right]\=\mathrm{E23}-\mathrm{I}\mathrm{Ei23}\,\left[0\,-1\,-1\,-\mathrm{I}\,-2\mathrm{I}\right]\=\mathrm{E53}\+\mathrm{I}\mathrm{Ei53}\,\left[2\,0\,0\,0\,0\right]\=\mathrm{Ei14}\,\left[0\,-1\,1\,\mathrm{I}\,2\mathrm{I}\right]\=\mathrm{E32}-\mathrm{I}\mathrm{Ei32}\,\left[-1\,0\,1\,2\mathrm{I}\,\mathrm{I}\right]\=\mathrm{E31}-\mathrm{I}\mathrm{Ei31}\,\left[-1\,-1\,0\,-\mathrm{I}\,\mathrm{I}\right]\=\mathrm{E42}\+\mathrm{I}\mathrm{Ei42}\,\left[0\,1\,-1\,\mathrm{I}\,2\mathrm{I}\right]\=\mathrm{E23}\+\mathrm{I}\mathrm{Ei23}\,\left[0\,1\,1\,-\mathrm{I}\,-2\mathrm{I}\right]\=\mathrm{E26}\+\mathrm{I}\mathrm{Ei26}\,\left[1\,0\,-1\,-2\mathrm{I}\,-\mathrm{I}\right]\=\mathrm{E13}-\mathrm{I}\mathrm{Ei13}\,\left[1\,-1\,0\,\mathrm{I}\,-\mathrm{I}\right]\=\mathrm{E12}\+\mathrm{I}\mathrm{Ei12}\,\left[-1\,0\,-1\,2\mathrm{I}\,\mathrm{I}\right]\=\mathrm{E43}-\mathrm{I}\mathrm{Ei43}\,\left[-1\,0\,-1\,-2\mathrm{I}\,-\mathrm{I}\right]\=\mathrm{E43}\+\mathrm{I}\mathrm{Ei43}\,\left[0\,2\,0\,0\,0\right]\=\mathrm{Ei25}\,\left[1\,0\,1\,2\mathrm{I}\,\mathrm{I}\right]\=\mathrm{E16}-\mathrm{I}\mathrm{Ei16}\,\left[-2\,0\,0\,0\,0\right]\=\mathrm{Ei41}\,\left[-1\,1\,0\,\mathrm{I}\,-\mathrm{I}\right]\=\mathrm{E21}-\mathrm{I}\mathrm{Ei21}\,\left[0\,-1\,1\,-\mathrm{I}\,-2\mathrm{I}\right]\=\mathrm{E32}\+\mathrm{I}\mathrm{Ei32}\,\left[1\,1\,0\,-\mathrm{I}\,\mathrm{I}\right]\=\mathrm{E15}\+\mathrm{I}\mathrm{Ei15}\,\left[0\,0\,2\,0\,0\right]\=\mathrm{Ei36}\,\left[-1\,1\,0\,-\mathrm{I}\,\mathrm{I}\right]\=\mathrm{E21}\+\mathrm{I}\mathrm{Ei21}\,\left[0\,1\,1\,\mathrm{I}\,2\mathrm{I}\right]\=\mathrm{E26}-\mathrm{I}\mathrm{Ei26}\right]\right)$

$\mathrm{PR}≔P\left[''PositiveRoots''\right]$

$\mathrm{\alpha }≔\mathrm{PR}\left[1\right]$

$H≔\mathrm{RootToCartanSubalgebraElementH}\left(\mathrm{\alpha }\,\mathrm{RSD}\right)$

$H:=-\frac{\mathrm{I}}{2}\mathrm{Ei11}\+\frac{\mathrm{I}}{2}\mathrm{Ei22}\+\frac{1}{2}\mathrm{E11}-\frac{1}{2}\mathrm{E22}$

$\mathrm{GetComponents}\left(H\,\mathrm{CSA}\right)$

$\left[\frac{1}{2}\,-\frac{1}{2}\,0\,-\frac{1}{2}\mathrm{I}\,\frac{1}{2}\mathrm{I}\right]$

$X≔\mathrm{RootSpace}\left(\mathrm{\alpha }\,\mathrm{RSD}\right)$

$X:=\mathrm{E12}\+\mathrm{I}\mathrm{Ei12}$

$Y≔\mathrm{RootSpace}\left(-\mathrm{\alpha }\,\mathrm{RSD}\right)$

$Y:=\mathrm{E21}\+\mathrm{I}\mathrm{Ei21}$

$\mathrm{LieAlgebraData}\left(\left[H\,X\,Y\right]\right)$

$\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e2}\right]\=2\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e3}\right]\=-2\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e3}\right]\=4\mathrm{e1}\right]$

$\mathrm{LieAlgebraData}\left(\left[H\,\frac{1}{2}X\,\frac{1}{2}Y\right]\right)$

$\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e2}\right]\=2\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e3}\right]\=-2\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e3}\right]\=\mathrm{e1}\right]$

$\mathrm{SR}≔P\left[''SimpleRoots''\right]$

$\mathrm{Halpha}≔\mathrm{map}\left(\mathrm{RootToCartanSubalgebraElementH}\,\mathrm{SR}\,\mathrm{RSD}\right)$

$\mathrm{Halpha}:=\left[-\frac{\mathrm{I}}{2}\mathrm{Ei11}\+\frac{\mathrm{I}}{2}\mathrm{Ei22}\+\frac{1}{2}\mathrm{E11}-\frac{1}{2}\mathrm{E22}\,-\frac{\mathrm{I}}{2}\mathrm{Ei22}\+\frac{1}{2}\mathrm{E22}-\frac{1}{2}\mathrm{E33}\,\mathrm{E33}\,\frac{\mathrm{I}}{2}\mathrm{Ei22}\+\frac{1}{2}\mathrm{E22}-\frac{1}{2}\mathrm{E33}\,\frac{\mathrm{I}}{2}\mathrm{Ei11}-\frac{\mathrm{I}}{2}\mathrm{Ei22}\+\frac{1}{2}\mathrm{E11}-\frac{1}{2}\mathrm{E22}\right]$

$B≔\mathrm{Killing}\left(\mathrm{Halpha}\right)$

$C≔\mathrm{Matrix}\left(5\,5\,\left(i\,j\right)\mapsto \frac{2\cdot B\left[i,j\right]}{B\left[i,i\right]}\right)$

$\mathrm{CartanMatrix}\left(''A''\,5\right)$