The calling sequences DGconjugate(T, option), DGRe(T, option), DGIm(T, option) compute the complex conjugate, real part, and imaginary part of a tensor or differential form T. The coordinate variables are assumed to be real unless explicitly declared to be complex by using the keyword argument complexconjugatepairs as part of the calling sequence to DGsetup.

The calling sequences DGconjugate(X), DGRe(X), DGIm(X) compute the complex conjugate, real part, and imaginary part of a quaternion or octonion X.

$\mathrm{with}\left(\mathrm{DifferentialGeometry}\right)\:$$\mathrm{with}\left(\mathrm{LieAlgebras}\right)\:$

$\mathrm{DGsetup}\left(\left[x\,y\,u\,v\right]\,M\,\mathrm{complexconjugatepairs}=\left[\left[u\,v\right]\right]\right)$

$\mathrm{frame\; name:\; M}$

$\mathrm{X1}≔\mathrm{evalDG}\left(\mathrm{D\_x}+\mathrm{D\_u}\right)$

$\mathrm{X1}:=\mathrm{D\_x}\+\mathrm{D\_u}$

$\mathrm{DGconjugate}\left(\mathrm{X1}\right)$

$\mathrm{D\_x}\+\mathrm{D\_v}$

$\mathrm{X2}≔\mathrm{evalDG}\left(\mathrm{I}\mathrm{D\_x}+\mathrm{D\_u}-\mathrm{D\_v}\right)$

$\mathrm{X2}:=\mathrm{I}\mathrm{D\_x}\+\mathrm{D\_u}-\mathrm{D\_v}$

$\mathrm{DGconjugate}\left(\mathrm{X2}\right)$

$-\mathrm{I}\mathrm{D\_x}-\mathrm{D\_u}\+\mathrm{D\_v}$

$\mathrm{X3}≔\mathrm{evalDG}\left(\mathrm{\alpha }\mathrm{D\_x}+\frac{u}{\mathrm{\beta }}\mathrm{D\_v}\right)$

$\mathrm{X3}:=\mathrm{\α}\mathrm{D\_x}\+\frac{u\mathrm{D\_v}}{\mathrm{\β}}$

$\mathrm{DGconjugate}\left(\mathrm{X3}\right)$

$\mathrm{\α}\mathrm{D\_x}\+\frac{v\mathrm{D\_u}}{\mathrm{\β}}$

$\mathrm{DGconjugate}\left(\mathrm{X3}\,\mathrm{complexconjugatepairs}=\left[\left[\mathrm{\alpha }\,\mathrm{\beta }\right]\right]\right)$

$\mathrm{\β}\mathrm{D\_x}\+\frac{v\mathrm{D\_u}}{\mathrm{\α}}$

$\mathrm{T1}≔\mathrm{evalDG}\left(u\mathrm{dx}\&t\mathrm{dy}+y\mathrm{dx}\&t\mathrm{dv}+\left(u^2+v^2\right)\mathrm{du}\&t\mathrm{dv}\right)$

$\mathrm{T1}:=u\mathrm{dx}\mathrm{dy}\+y\mathrm{dx}\mathrm{dv}\+\left(u^2\+v^2\right)\mathrm{du}\mathrm{dv}$

$\mathrm{DGconjugate}\left(\mathrm{T1}\right)$

$v\mathrm{dx}\mathrm{dy}\+y\mathrm{dx}\mathrm{du}\+\left(u^2\+v^2\right)\mathrm{dv}\mathrm{du}$

$\mathrm{\ω1}≔\mathrm{evalDG}\left(\mathrm{I}\left(\left(\mathrm{dx}\&w\mathrm{dy}\right)\&w\mathrm{du}\right)\&w\mathrm{dv}\right)$

$\mathrm{\ω1}:=\mathrm{I}\mathrm{dx}\bigwedge \mathrm{dy}\bigwedge \mathrm{du}\bigwedge \mathrm{dv}$

$\mathrm{DGconjugate}\left(\mathrm{\ω1}\right)$

$\mathrm{I}\mathrm{dx}\bigwedge \mathrm{dy}\bigwedge \mathrm{du}\bigwedge \mathrm{dv}$

$\mathrm{X1},\mathrm{DGRe}\left(\mathrm{X1}\right),\mathrm{DGIm}\left(\mathrm{X1}\right)$

$\mathrm{D\_x}\+\mathrm{D\_u}\,\mathrm{D\_x}\+\frac{1}{2}\mathrm{D\_u}\+\frac{1}{2}\mathrm{D\_v}\,-\frac{1}{2}\mathrm{I}\mathrm{D\_u}\+\frac{1}{2}\mathrm{I}\mathrm{D\_v}$

$\mathrm{X2},\mathrm{DGRe}\left(\mathrm{X2}\right),\mathrm{DGIm}\left(\mathrm{X2}\right)$

$\mathrm{I}\mathrm{D\_x}\+\mathrm{D\_u}-\mathrm{D\_v}\,0\mathrm{D\_x}\,\mathrm{D\_x}-\mathrm{I}\mathrm{D\_u}\+\mathrm{I}\mathrm{D\_v}$

$\mathrm{T1}$

$u\mathrm{dx}\mathrm{dy}\+y\mathrm{dx}\mathrm{dv}\+\left(u^2\+v^2\right)\mathrm{du}\mathrm{dv}$

$\mathrm{DGRe}\left(\mathrm{T1}\right)$

$\left(\frac{1}{2}v\+\frac{1}{2}u\right)\mathrm{dx}\mathrm{dy}\+\frac{1}{2}y\mathrm{dx}\mathrm{du}\+\frac{1}{2}y\mathrm{dx}\mathrm{dv}\+\left(\frac{1}{2}{u}^2\+\frac{1}{2}{v}^2\right)\mathrm{du}\mathrm{dv}\+\left(\frac{1}{2}{u}^2\+\frac{1}{2}{v}^2\right)\mathrm{dv}\mathrm{du}$

$\mathrm{DGIm}\left(\mathrm{T1}\right)$

$-\frac{1}{2}\mathrm{I}\left(-v\+u\right)\mathrm{dx}\mathrm{dy}\+\frac{1}{2}\mathrm{I}y\mathrm{dx}\mathrm{du}-\frac{1}{2}\mathrm{I}y\mathrm{dx}\mathrm{dv}-\frac{1}{2}\mathrm{I}\left(u^2\+v^2\right)\mathrm{du}\mathrm{dv}\+\frac{1}{2}\mathrm{I}\left(u^2\+v^2\right)\mathrm{dv}\mathrm{du}$

$\mathrm{\ω1},\mathrm{DGRe}\left(\mathrm{\ω1}\right),\mathrm{DGIm}\left(\mathrm{\ω1}\right)$

$\mathrm{I}\mathrm{dx}\bigwedge \mathrm{dy}\bigwedge \mathrm{du}\bigwedge \mathrm{dv}\,\mathrm{I}\mathrm{dx}\bigwedge \mathrm{dy}\bigwedge \mathrm{du}\bigwedge \mathrm{dv}\,0\mathrm{dx}\bigwedge \mathrm{dy}\bigwedge \mathrm{du}\bigwedge \mathrm{dv}$

$\mathrm{FD}≔\mathrm{FrameData}\left(\left[\mathrm{D\_x}\,u\mathrm{D\_y}\,u\mathrm{D\_u}+v\mathrm{D\_v}\,v\mathrm{D\_u}-u\mathrm{D\_v}\right]\,N\right)$

$\mathrm{FD}:=\left[\left[\mathrm{E2}\,\mathrm{E3}\right]\=-\mathrm{E2}\,\left[\mathrm{E2}\,\mathrm{E4}\right]\=-\frac{v\mathrm{E2}}{u}\right]$

$\mathrm{DGsetup}\left(\mathrm{FD}\right)$

$\mathrm{frame\; name:\; N}$

$\mathrm{DGconjugate}\left(\left[\mathrm{E1}\,\mathrm{E2}\,\mathrm{E3}\,\mathrm{E4}\right]\right)$

$\left[\mathrm{E1}\,\frac{v\mathrm{E2}}{u}\,\mathrm{E3}\,-\mathrm{E4}\right]$

$\mathrm{AD}≔\mathrm{AlgebraLibraryData}\left(''Quaternions''\,\mathrm{alg}\right)$

$\mathrm{AD}:=\left[{\mathrm{e1}}^2\=\mathrm{e1}\,\mathrm{e1}\.\mathrm{e2}\=\mathrm{e2}\,\mathrm{e1}\.\mathrm{e3}\=\mathrm{e3}\,\mathrm{e1}\.\mathrm{e4}\=\mathrm{e4}\,\mathrm{e2}\.\mathrm{e1}\=\mathrm{e2}\,{\mathrm{e2}}^2\=-\mathrm{e1}\,\mathrm{e2}\.\mathrm{e3}\=\mathrm{e4}\,\mathrm{e2}\.\mathrm{e4}\=-\mathrm{e3}\,\mathrm{e3}\.\mathrm{e1}\=\mathrm{e3}\,\mathrm{e3}\.\mathrm{e2}\=-\mathrm{e4}\,{\mathrm{e3}}^2\=-\mathrm{e1}\,\mathrm{e3}\.\mathrm{e4}\=\mathrm{e2}\,\mathrm{e4}\.\mathrm{e1}\=\mathrm{e4}\,\mathrm{e4}\.\mathrm{e2}\=\mathrm{e3}\,\mathrm{e4}\.\mathrm{e3}\=-\mathrm{e2}\,{\mathrm{e4}}^2\=-\mathrm{e1}\right]$

$\mathrm{DGsetup}\left(\mathrm{AD}\,\left['e'\,'i'\,'j'\,'k'\right]\,\left['\mathrm{\alpha }'\,'\mathrm{\beta }'\,'\mathrm{\delta }'\,'\mathrm{\epsilon }'\right]\right)$

$\mathrm{algebra\; name:\; alg}$

$\mathrm{MultiplicationTable}\left(\right)$

$X≔\mathrm{evalDG}\left(3e+2i-3j+4k\right)$

$X:=3e\+2i-3j\+4k$

$\mathrm{DGconjugate}\left(X\right)$

$3e-2i\+3j-4k$

$\mathrm{AD}≔\mathrm{AlgebraLibraryData}\left(''Octonions''\,\mathrm{alg}\right)$

$\mathrm{AD}:=\left[{\mathrm{e1}}^2\=\mathrm{e1}\,\mathrm{e1}\.\mathrm{e2}\=\mathrm{e2}\,\mathrm{e1}\.\mathrm{e3}\=\mathrm{e3}\,\mathrm{e1}\.\mathrm{e4}\=\mathrm{e4}\,\mathrm{e1}\.\mathrm{e5}\=\mathrm{e5}\,\mathrm{e1}\.\mathrm{e6}\=\mathrm{e6}\,\mathrm{e1}\.\mathrm{e7}\=\mathrm{e7}\,\mathrm{e1}\.\mathrm{e8}\=\mathrm{e8}\,\mathrm{e2}\.\mathrm{e1}\=\mathrm{e2}\,{\mathrm{e2}}^2\=-\mathrm{e1}\,\mathrm{e2}\.\mathrm{e3}\=\mathrm{e4}\,\mathrm{e2}\.\mathrm{e4}\=-\mathrm{e3}\,\mathrm{e2}\.\mathrm{e5}\=\mathrm{e6}\,\mathrm{e2}\.\mathrm{e6}\=-\mathrm{e5}\,\mathrm{e2}\.\mathrm{e7}\=-\mathrm{e8}\,\mathrm{e2}\.\mathrm{e8}\=\mathrm{e7}\,\mathrm{e3}\.\mathrm{e1}\=\mathrm{e3}\,\mathrm{e3}\.\mathrm{e2}\=-\mathrm{e4}\,{\mathrm{e3}}^2\=-\mathrm{e1}\,\mathrm{e3}\.\mathrm{e4}\=\mathrm{e2}\,\mathrm{e3}\.\mathrm{e5}\=\mathrm{e7}\,\mathrm{e3}\.\mathrm{e6}\=\mathrm{e8}\,\mathrm{e3}\.\mathrm{e7}\=-\mathrm{e5}\,\mathrm{e3}\.\mathrm{e8}\=-\mathrm{e6}\,\mathrm{e4}\.\mathrm{e1}\=\mathrm{e4}\,\mathrm{e4}\.\mathrm{e2}\=\mathrm{e3}\,\mathrm{e4}\.\mathrm{e3}\=-\mathrm{e2}\,{\mathrm{e4}}^2\=-\mathrm{e1}\,\mathrm{e4}\.\mathrm{e5}\=\mathrm{e8}\,\mathrm{e4}\.\mathrm{e6}\=-\mathrm{e7}\,\mathrm{e4}\.\mathrm{e7}\=\mathrm{e6}\,\mathrm{e4}\.\mathrm{e8}\=-\mathrm{e5}\,\mathrm{e5}\.\mathrm{e1}\=\mathrm{e5}\,\mathrm{e5}\.\mathrm{e2}\=-\mathrm{e6}\,\mathrm{e5}\.\mathrm{e3}\=-\mathrm{e7}\,\mathrm{e5}\.\mathrm{e4}\=-\mathrm{e8}\,{\mathrm{e5}}^2\=-\mathrm{e1}\,\mathrm{e5}\.\mathrm{e6}\=\mathrm{e2}\,\mathrm{e5}\.\mathrm{e7}\=\mathrm{e3}\,\mathrm{e5}\.\mathrm{e8}\=\mathrm{e4}\,\mathrm{e6}\.\mathrm{e1}\=\mathrm{e6}\,\mathrm{e6}\.\mathrm{e2}\=\mathrm{e5}\,\mathrm{e6}\.\mathrm{e3}\=-\mathrm{e8}\,\mathrm{e6}\.\mathrm{e4}\=\mathrm{e7}\,\mathrm{e6}\.\mathrm{e5}\=-\mathrm{e2}\,{\mathrm{e6}}^2\=-\mathrm{e1}\,\mathrm{e6}\.\mathrm{e7}\=-\mathrm{e4}\,\mathrm{e6}\.\mathrm{e8}\=\mathrm{e3}\,\mathrm{e7}\.\mathrm{e1}\=\mathrm{e7}\,\mathrm{e7}\.\mathrm{e2}\=\mathrm{e8}\,\mathrm{e7}\.\mathrm{e3}\=\mathrm{e5}\,\mathrm{e7}\.\mathrm{e4}\=-\mathrm{e6}\,\mathrm{e7}\.\mathrm{e5}\=-\mathrm{e3}\,\mathrm{e7}\.\mathrm{e6}\=\mathrm{e4}\,{\mathrm{e7}}^2\=-\mathrm{e1}\,\mathrm{e7}\.\mathrm{e8}\=-\mathrm{e2}\,\mathrm{e8}\.\mathrm{e1}\=\mathrm{e8}\,\mathrm{e8}\.\mathrm{e2}\=-\mathrm{e7}\,\mathrm{e8}\.\mathrm{e3}\=\mathrm{e6}\,\mathrm{e8}\.\mathrm{e4}\=\mathrm{e5}\,\mathrm{e8}\.\mathrm{e5}\=-\mathrm{e4}\,\mathrm{e8}\.\mathrm{e6}\=-\mathrm{e3}\,\mathrm{e8}\.\mathrm{e7}\=\mathrm{e2}\,{\mathrm{e8}}^2\=-\mathrm{e1}\right]$

$\mathrm{DGsetup}\left(\mathrm{AD}\right)$

$\mathrm{algebra\; name:\; alg}$

$X≔\mathrm{evalDG}\left(3\mathrm{e1}+2\mathrm{e3}-3\mathrm{e6}+4\mathrm{e8}\right)$

$X:=3\mathrm{e1}\+2\mathrm{e3}-3\mathrm{e6}\+4\mathrm{e8}$

$\mathrm{DGconjugate}\left(X\right)$

$3\mathrm{e1}-2\mathrm{e3}\+3\mathrm{e6}-4\mathrm{e8}$