$$\begin{gathered} \mathrm{restart}\: \\ \mathrm{with}\left(\mathrm{plots}\right)\: \\ \mathrm{with}\left(\mathrm{ColorTools}\right)\: \end{gathered}$$

$\mathrm{G\_\_odB}≔22.6\:$

$\mathrm{G\_\_o}≔{10}^{\frac{\mathrm{G\_\_odB}}{10}}$

$\mathrm{G\_\_o}≔181.9700859$

$f≔11.0\cdot {10}^{9.}\:$

$$\begin{gathered} a≔2.286\: \\ b≔1.016\: \end{gathered}$$

$c≔3\cdot {10}^{10}\:$

$\mathrm{\λ}≔\frac{c}{f}$

$\mathrm{\lambda }≔2.727272727$

$\mathrm{cons1}≔\mathrm{G\_\_o}\=\frac{2\cdot \mathrm{\pi }}{{\mathrm{\λ}}^2}\cdot \mathrm{a\_\_1}\cdot \mathrm{b\_\_1}\:$

$\mathrm{cons2}≔\mathrm{a\_\_1}\=\sqrt{3\cdot \mathrm{\λ}\cdot \mathrm{\ρ\_\_h}}\:$

$\mathrm{cons3}≔\mathrm{b\_\_1}\=\sqrt{2\cdot \mathrm{\λ}\cdot \mathrm{\ρ\_\_e}}\:$

$\mathrm{cons4}≔\mathrm{p\_\_e}\=\left(\mathrm{b\_\_1}-b\right)\cdot \sqrt{{\left(\frac{\mathrm{\ρ\_\_e}}{\mathrm{b\_\_1}}\right)}^2-\frac{1}{4}}\:$

$\mathrm{cons5}≔\mathrm{p\_\_h}\=\left(\mathrm{a\_\_1}-a\right)\cdot \sqrt{{\left(\frac{\mathrm{\ρ\_\_h}}{\mathrm{a\_\_1}}\right)}^2-\frac{1}{4}}\:$

$\mathrm{cons6}≔\mathrm{p\_\_e}\=\mathrm{p\_\_h}\:$

$\mathrm{res}≔\mathrm{fsolve}\left(\left\{\mathrm{cons1}\,\mathrm{cons2}\,\mathrm{cons3}\,\mathrm{cons4}\,\mathrm{cons5}\,\mathrm{cons6}\right\}\right)$

$\mathrm{res}≔\left\{\mathrm{a\_\_1}=16.55573668\,\mathrm{b\_\_1}=13.01154178\,\mathrm{p\_\_e}=27.97911838\,\mathrm{p\_\_h}=27.97911838\,\mathrm{\ρ\_\_e}=31.03837357\,\mathrm{\ρ\_\_h}=33.50018428\right\}$

$\mathrm{assign}\left(\mathrm{res}\right)$

$\mathrm{\ρ\_\_1}≔\sqrt{{\mathrm{\ρ\_\_e}}^2-{\left(\frac{\mathrm{b\_\_1}}{2}\right)}^2}\:$

$\mathrm{t\_\_1}≔\mathrm{\θ}\to \sqrt{\frac{2}{\mathrm{\λ}\cdot \mathrm{\ρ\_\_1}}}\cdot \left(-\frac{\mathrm{b\_\_1}}{2}-\mathrm{\ρ\_\_1}\cdot \sin \left(\mathrm{\θ}\right)\right)\:$

$\mathrm{t\_\_2}≔\mathrm{\θ}\to \sqrt{\frac{2}{\mathrm{\λ}\cdot \mathrm{\ρ\_\_1}}}\cdot \left(\frac{\mathrm{b\_\_1}}{2}-\mathrm{\ρ\_\_1}\cdot \sin \left(\mathrm{\θ}\right)\right)\:$

$\mathrm{F}≔\mathrm{\θ}\to \mathrm{FresnelC}\left(\mathrm{t\_\_2}\left(\mathrm{\θ}\right)\right)-\mathrm{FresnelC}\left(\mathrm{t\_\_1}\left(\mathrm{\θ}\right)\right)-I\cdot \left(\mathrm{FresnelS}\left(\mathrm{t\_\_2}\left(\mathrm{\θ}\right)\right)-\mathrm{FresnelS}\left(\mathrm{t\_\_1}\left(\mathrm{\θ}\right)\right)\right)\:$

$\mathrm{E\_\_\θ}≔\mathrm{\θ}\to 20\cdot \mathrm{log10}\left(\left|1\+\cos \(\mathrm{\θ}\)\right|\cdot \frac{\left|F\(\mathrm{\θ}\)\right|}{\left|F\(0\)\right|}\right)\:$

$\mathrm{plot}\left(\mathrm{E\_\_\θ}\left(\mathrm{\θ}\right)\,\mathrm{\θ}\=-\frac{\mathrm{\π}}{2}..\frac{\mathrm{\π}}{2}\,\mathrm{thickness}\=7\,\mathrm{color}\=\mathrm{Color}\left(''RGB''\,\left[0\,79\/255\,121\/255\right]\right)\,\mathrm{axes}\=\mathrm{frame}\right)$

$\mathrm{polarplot}\left(\mathrm{E\_\_\θ}\left(\mathrm{\θ}\right)\+70\,\mathrm{\θ}\=0..2 \mathrm{\π}\, \mathrm{thickness}\=0\,\mathrm{color}\=\mathrm{Color}\left(''RGB''\,\left[0\,79\/255\,121\/255\right]\right)\,\mathrm{filled}\=\mathrm{true}\,\mathrm{transparency}\=0\,\mathrm{title}\=''E-Plane\; Radiation\; Pattern''\,\mathrm{size}\=\left[800\,800\right]\right)$