The heat balances across the tube- and shell-side liquids

A heat balance across the tube-wall (taking into account the heat flow from the shell- and tube-side liquids, and conduction along the length of the tube)

$\mathrm{Cpt}≔4085\:$$\mathrm{Cps}≔4186\:$$\mathrm{Cpw}≔380\:$

$\mathrm{rhot}≔800\:$$\mathrm{rhos}≔1200\:$$\mathrm{rhow}≔8000\:$

$\mathrm{Ft}≔1\:$$\mathrm{Fs}≔1\:$

$\mathrm{Ut}≔40000\:$$\mathrm{Us}≔40000\:$

$\mathrm{kw}≔109\:$

$\mathrm{L}≔1\:$

$\mathrm{Di}≔0.05\:$$\mathrm{Do}≔0.06\:$$\mathrm{Dis}≔0.1\:$

$\mathrm{pde1}≔\frac{\mathrm{\π}}{4}\left({\mathrm{Do}}^2-{\mathrm{Di}}^2\right)\mathrm{Cpw}\mathrm{rhow}\left(\frac{\partial }{\partial \mathrm{t}}\mathrm{Tw}\left(\mathrm{x}\,\mathrm{t}\right)\right)\=\mathrm{Ut} \mathrm{\π} \mathrm{Di} \left(\mathrm{Tt}\left(\mathrm{x}\,\mathrm{t}\right)-\mathrm{Tw}\left(\mathrm{x}\,\mathrm{t}\right)\right)-\mathrm{Us} \mathrm{\π} \mathrm{Do}\left(\mathrm{Tw}\left(\mathrm{x}\,\mathrm{t}\right)-\mathrm{Ts}\left(\mathrm{x}\,\mathrm{t}\right)\right)\+\mathrm{kw} \frac{\mathrm{\π}}{4}\cdot \left({\mathrm{Do}}^2-{\mathrm{Di}}^2\right)\left(\frac{{\partial }^2}{\partial {\mathrm{x}}^2}\mathrm{Tw}\left(\mathrm{x}\,\mathrm{t}\right)\right)\:$

$\mathrm{pde2}≔\mathrm{rhot} \mathrm{Cpt} \frac{\mathrm{\π}}{4}{\mathrm{Di}}^2\left(\frac{\partial }{\partial \mathrm{t}}\mathrm{Tt}\left(\mathrm{x}\,\mathrm{t}\right)\right)\=-\mathrm{Cpt}\mathrm{Ft}\left(\frac{\partial }{\partial \mathrm{x}}\mathrm{Tt}\left(\mathrm{x}\,\mathrm{t}\right)\right)-\mathrm{\π}\mathrm{Di}\mathrm{Ut}\left(\mathrm{Tt}\left(\mathrm{x}\,\mathrm{t}\right)-\mathrm{Tw}\left(\mathrm{x}\,\mathrm{t}\right)\right)\:$

$\mathrm{pde3}≔\mathrm{rhos} \mathrm{Cps} \frac{\mathrm{\π}}{4}\left({\mathrm{Dis}}^2-{\mathrm{Do}}^2\right)\left(\frac{\partial }{\partial \mathrm{t}}\mathrm{Ts}\left(\mathrm{x}\,\mathrm{t}\right)\right)\=\mathrm{Cps} \mathrm{Fs} \left(\frac{\partial }{\partial \mathrm{x}}\mathrm{Ts}\left(\mathrm{x}\,\mathrm{t}\right)\right)\+\mathrm{\π}\mathrm{Do}\mathrm{Us}\left(\mathrm{Tw}\left(\mathrm{x}\,\mathrm{t}\right)-\mathrm{Ts}\left(\mathrm{x}\,\mathrm{t}\right)\right)\:$

$$\begin{gathered} \mathrm{ibc}≔\mathrm{Ts}\left(\mathrm{x}\,0\right)\=300\,\mathrm{Ts}\left(\mathrm{L}\,\mathrm{t}\right)\=300\, \\ \mathrm{Tt}\left(\mathrm{x}\,0\right)\=360\,\mathrm{Tt}\left(0\,\mathrm{t}\right)\=360\, \\ \mathrm{Tw}\left(\mathrm{x}\,0\right)\=330\,{\mathrm{D}}_1\left(\mathrm{Tw}\right)\left(0\,\mathrm{t}\right)\=0\,{\mathrm{D}}_1\left(\mathrm{Tw}\right)\left(\mathrm{L}\,\mathrm{t}\right)\=0\: \end{gathered}$$

$\mathrm{sol}≔\mathrm{pdsolve}\left(\left\{\mathrm{pde1}\,\mathrm{pde2}\,\mathrm{pde3}\right\}\,\left\{\mathrm{ibc}\right\}\,\mathrm{numeric}\,\mathrm{time}\=\mathrm{t}\,\mathrm{range}\=0.. \mathrm{L}\right)\:$

$$\begin{gathered} \mathrm{p1}≔\mathrm{sol}:-\mathrm{plot}\left(\mathrm{Tt}\,\mathrm{x}\= 0.5 \mathrm{L}\,\mathrm{t}\=0..5\,\mathrm{axes}\=\mathrm{boxed}\,\mathrm{color}\=\mathrm{black}\,\mathrm{legend}\=\left[''Tube-side\; liquid''\right]\right)\: \\ \mathrm{p2}≔\mathrm{sol}:-\mathrm{plot}\left(\mathrm{Ts}\,\mathrm{x}\=0.5 \mathrm{L}\,\mathrm{t}\=0..5\,\mathrm{axes}\=\mathrm{boxed}\,\mathrm{color}\=\mathrm{blue}\,\mathrm{legend}\=\left[''Shell-side\; liquid''\right]\right)\: \\ \mathrm{p3}≔\mathrm{sol}:-\mathrm{plot}\left(\mathrm{Tw}\,\mathrm{x}\=0.5 \mathrm{L}\,\mathrm{t}\=0..5\,\mathrm{axes}\=\mathrm{boxed}\,\mathrm{color}\=\mathrm{red}\,\mathrm{legend}\=\left[''Tube\; wall''\right]\right)\: \\ \mathrm{plots}\left[\mathrm{display}\right]\left(\mathrm{p1}\,\mathrm{p2}\,\mathrm{p3}\,\mathrm{labels}\=\left[''Time\; (s)''\,''Temperature\; (C)''\right]\,\mathrm{title}\=''Temperature\; Halfway\; along\; Heat\; Exchanger''\,\mathrm{titlefont}\=\left[\mathrm{Helvetica}\, 18\,\mathrm{Bold}\right]\right) \end{gathered}$$

$\mathrm{p1}≔\mathrm{sol}:-\mathrm{plot}\left(\mathrm{Tt}\,\mathrm{t}\=5\,\mathrm{x}\=0..\mathrm{L}\,\mathrm{axes}\=\mathrm{boxed}\,\mathrm{color}\=\mathrm{black}\,\mathrm{legend}\=\left[''Tube-side\; liquid''\right]\right)\:$$\mathrm{p2}≔\mathrm{sol}:-\mathrm{plot}\left(\mathrm{Ts}\,\mathrm{t}\=5\,\mathrm{x}\=0..\mathrm{L}\,\mathrm{axes}\=\mathrm{boxed}\,\mathrm{color}\=\mathrm{blue}\,\mathrm{legend}\=\left[''Shell-side\; liquid''\right]\right)\:$$\mathrm{p3}≔\mathrm{sol}:-\mathrm{plot}\left(\mathrm{Tw}\,\mathrm{t}\=5\,\mathrm{x}\=0..\mathrm{L}\,\mathrm{axes}\=\mathrm{boxed}\,\mathrm{color}\=\mathrm{red}\,\mathrm{legend}\=\left[''Tube\; wall''\right]\right)\:$$\mathrm{plots}\left[\mathrm{display}\right]\left(\mathrm{p1}\,\mathrm{p2}\,\mathrm{p3}\,\mathrm{labels}\=\left[''Distance\; (m)''\,''Temperature\; (C)''\right]\,\mathrm{title}\=''Temperature\; Profile\; along\; Heat\; Exchanger''\,\mathrm{titlefont}\=\left[\mathrm{Helvetica}\, 18\,\mathrm{Bold}\right]\right)$