Let $\mathrm{\𝔤}$ be a semi-simple Lie algebra, $\mathrm{\𝔥}\mathit{ }$a Cartan subalgebra, and $\mathrm{\Δ}$the associated set of roots. Let $B$be the Killing form. If $\mathrm{\α} \in \mathrm{\Δ}\,$then the coroot of $\mathrm{\α}$ is the unique vector $T_{\mathrm{\α}}\in \mathrm{\𝔥}\mathit{ }$such that$\mathrm{\α}\left(x\right) \= B\left(T_{\mathrm{\α}}\,x\right)$. Let $\left\{h_1\, h_2 \, ..\. \, h_r\right\}$ be a basis for $\mathrm{\𝔥}\mathit{\,}\mathit{ }\mathrm{\α}\left(h_i\right) \= a_i\,$and $b_{\mathrm{ij}} \= B\left(h_i\, h_j\right)$with inverse$b^{\mathrm{ij}}$. Then $T_{\mathrm{\α}}\= t^i{h}_i$, where $t^i \= b^{\mathrm{ij}}{a}_j$.

The calling sequence CoRoot($\mathbf{\α}$, CSA) returns the vector $T_{\mathrm{\α}}$.

In a situation involving repeated calls to CoRoot, efficiency can be dramatically improved by using the optional 3rd argument to specify the restriction of the Killing form.

$\mathrm{with}\left(\mathrm{DifferentialGeometry}\right)\:$$\mathrm{with}\left(\mathrm{LieAlgebras}\right)\:$

$\mathrm{LD}≔\mathrm{SimpleLieAlgebraData}\left(''sl(4)''\,\mathrm{sl4}\right)$

$\mathrm{LD}:=\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e4}\right]\=\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e5}\right]\=\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e6}\right]\=2\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e7}\right]\=-\mathrm{e7}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e9}\right]\=\mathrm{e9}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e10}\right]\=-\mathrm{e10}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e12}\right]\=\mathrm{e12}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e13}\right]\=-2\mathrm{e13}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e14}\right]\=-\mathrm{e14}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e15}\right]\=-\mathrm{e15}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e4}\right]\=-\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e6}\right]\=\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e7}\right]\=\mathrm{e7}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e8}\right]\=\mathrm{e8}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e9}\right]\=2\mathrm{e9}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e11}\right]\=-\mathrm{e11}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e12}\right]\=\mathrm{e12}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e13}\right]\=-\mathrm{e13}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e14}\right]\=-2\mathrm{e14}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e15}\right]\=-\mathrm{e15}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e5}\right]\=-\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e6}\right]\=\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e8}\right]\=-\mathrm{e8}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e9}\right]\=\mathrm{e9}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e10}\right]\=\mathrm{e10}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e11}\right]\=\mathrm{e11}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e12}\right]\=2\mathrm{e12}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e13}\right]\=-\mathrm{e13}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e14}\right]\=-\mathrm{e14}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e15}\right]\=-2\mathrm{e15}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e7}\right]\=\mathrm{e1}-\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e8}\right]\=\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e9}\right]\=\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e10}\right]\=-\mathrm{e11}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e13}\right]\=-\mathrm{e14}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e7}\right]\=-\mathrm{e8}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e10}\right]\=\mathrm{e1}-\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e11}\right]\=\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e12}\right]\=\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e13}\right]\=-\mathrm{e15}\,\left[\mathrm{e6}\,\mathrm{e7}\right]\=-\mathrm{e9}\,\left[\mathrm{e6}\,\mathrm{e10}\right]\=-\mathrm{e12}\,\left[\mathrm{e6}\,\mathrm{e13}\right]\=\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e6}\,\mathrm{e14}\right]\=\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e6}\,\mathrm{e15}\right]\=\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e7}\,\mathrm{e11}\right]\=-\mathrm{e10}\,\left[\mathrm{e7}\,\mathrm{e14}\right]\=-\mathrm{e13}\,\left[\mathrm{e8}\,\mathrm{e10}\right]\=\mathrm{e7}\,\left[\mathrm{e8}\,\mathrm{e11}\right]\=\mathrm{e2}-\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e8}\,\mathrm{e12}\right]\=\mathrm{e9}\,\left[\mathrm{e8}\,\mathrm{e14}\right]\=-\mathrm{e15}\,\left[\mathrm{e9}\,\mathrm{e11}\right]\=-\mathrm{e12}\,\left[\mathrm{e9}\,\mathrm{e13}\right]\=\mathrm{e7}\,\left[\mathrm{e9}\,\mathrm{e14}\right]\=\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e9}\,\mathrm{e15}\right]\=\mathrm{e8}\,\left[\mathrm{e10}\,\mathrm{e15}\right]\=-\mathrm{e13}\,\left[\mathrm{e11}\,\mathrm{e15}\right]\=-\mathrm{e14}\,\left[\mathrm{e12}\,\mathrm{e13}\right]\=\mathrm{e10}\,\left[\mathrm{e12}\,\mathrm{e14}\right]\=\mathrm{e11}\,\left[\mathrm{e12}\,\mathrm{e15}\right]\=\mathrm{e3}\right]$

$\mathrm{DGsetup}\left(\mathrm{LD}\right)$

$\mathrm{Lie\; algebra:\; sl4}$

$P≔\mathrm{SimpleLieAlgebraProperties}\left(\mathrm{sl4}\right)\:$

$\mathrm{CSA}≔P\left[''CartanSubalgebra''\right]$

$\mathrm{CSA}:=\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e2}\,\mathrm{e3}\right]$

$\mathrm{\Delta }≔P\left[''PositiveRoots''\right]$

$\mathrm{\alpha }≔\mathrm{\Delta }\left[1\right]$

$\mathrm{CoRoot}\left(\mathrm{\alpha }\,\mathrm{CSA}\right)$

$\frac{1}{8}\mathrm{e1}-\frac{1}{8}\mathrm{e2}$

$\mathrm{\beta }≔\mathrm{\Delta }\left[-1\right]$

$\mathrm{CoRoot}\left(\mathrm{\beta }\,\mathrm{CSA}\right)$

$\frac{1}{8}\mathrm{e1}$

$B≔\mathrm{Killing}\left(\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e2}\,\mathrm{e3}\right]\right)$

$\mathrm{CoRoot}\left(\mathrm{\alpha }\,\mathrm{CSA}\,B\right)$

$\frac{1}{8}\mathrm{e1}-\frac{1}{8}\mathrm{e2}$

$T≔B^{-1}·\mathrm{\alpha }$