Let g be an $n-$dimensional Lie algebra with structure constants $C$. Then Lie's Third Theorem (see, for example, Flanders, page 108) asserts that there is, at least locally, a Lie algebra of n pointwise independent vector fields $\mathrm{\Γ}$ on an $n$-dimensional manifold $M$with structure constants $C$.

The command LiesThirdTheorem(Alg, M) produces a globally defined Lie algebra of vector fields $\mathrm{\Γ}$ in the special case that $\mathrm{\𝔤}\mathit{ }$is solvable. More general cases will be handled in subsequent versions of the DifferentialGeometry package.

The command LiesThirdTheorem(A, M) produces a globally defined matrix of 1-forms (Maurer-Cartan forms) in the special case that the list of matrices A defines a solvable Lie algebra.

The command LiesThirdTheorem is part of the DifferentialGeometry:-GroupActions package. It can be used in the form LiesThirdTheorem(...) only after executing the commands with(DifferentialGeometry) and with(GroupActions), but can always be used by executing DifferentialGeometry:-GroupActions:-LiesThirdTheorem(...).

$\mathrm{with}\left(\mathrm{DifferentialGeometry}\right)\:$$\mathrm{with}\left(\mathrm{LieAlgebras}\right)\:$$\mathrm{with}\left(\mathrm{GroupActions}\right)\:$$\mathrm{with}\left(\mathrm{Library}\right)\:$

$L≔\mathrm{Retrieve}\left(''Winternitz''\,1\,\left[4\,4\right]\,\mathrm{Alg1}\right)$

$L:=\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e4}\right]\=\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e4}\right]\=\mathrm{e2}\+\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e4}\right]\=\mathrm{e3}\+\mathrm{e2}\right]$

$\mathrm{DGsetup}\left(L\right)\:$

$\mathrm{DGsetup}\left(\left[x\,y\,z\,w\right]\,\mathrm{M1}\right)$

$\mathrm{frame\; name:\; M1}$

$\mathrm{\Γ1}≔\mathrm{LiesThirdTheorem}\left(\mathrm{Alg1}\,\mathrm{M1}\right)$

$\mathrm{\Γ1}:=\left[\mathrm{D\_x}\,\mathrm{D\_y}\,\mathrm{D\_z}\,\left(x\+y\right)\mathrm{D\_x}\+\left(y\+z\right)\mathrm{D\_y}\+z\mathrm{D\_z}\+\mathrm{D\_w}\right]$

$\mathrm{\Ω1}≔\mathrm{LiesThirdTheorem}\left(\mathrm{Alg1}\,\mathrm{M1}\,\mathrm{output}=''forms''\right)$

$\mathrm{\Ω1}:=\left[\mathrm{dx}-\left(x\+y\right)\mathrm{dw}\,\mathrm{dy}-\left(y\+z\right)\mathrm{dw}\,-\mathrm{dw}z\+\mathrm{dz}\,\mathrm{dw}\right]$

$\mathrm{LieAlgebraData}\left(\mathrm{\Γ1}\,\mathrm{Alg1a}\right)$

$\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e4}\right]\=\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e4}\right]\=\mathrm{e2}\+\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e4}\right]\=\mathrm{e3}\+\mathrm{e2}\right]$

$\mathrm{L2}≔\mathrm{LieAlgebraData}\left(\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e2}-\mathrm{e4}\,\mathrm{e3}\,\mathrm{e1}+\mathrm{e3}\right]\,\mathrm{Alg2}\right)$

$\mathrm{L2}:=\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e2}\right]\=-\mathrm{e4}\+\mathrm{e3}-\mathrm{e2}-\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e3}\right]\=-\mathrm{e3}-\mathrm{e2}-\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e4}\right]\=-\mathrm{e4}-\mathrm{e2}-\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e3}\right]\=\mathrm{e3}\+\mathrm{e2}\+\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e4}\right]\=\mathrm{e4}\+\mathrm{e2}\+\mathrm{e1}\right]$

$\mathrm{DGsetup}\left(\mathrm{L2}\right)$

$\mathrm{Lie\; algebra:\; Alg2}$

$\mathrm{\Γ2}≔\mathrm{LiesThirdTheorem}\left(\mathrm{Alg2}\,\mathrm{M1}\right)$

$\mathrm{\Γ2}:=\left[\left(x-y\right)\mathrm{D\_x}\+\left(y\+z\right)\mathrm{D\_y}\+z\mathrm{D\_z}\+\mathrm{D\_w}\,-\left(x-y\right)\mathrm{D\_x}-\left(-1\+y\+z\right)\mathrm{D\_y}-z\mathrm{D\_z}-\mathrm{D\_w}\,\mathrm{D\_z}\,-\mathrm{D\_x}\+\mathrm{D\_z}\right]$

$\mathrm{LieAlgebraData}\left(\mathrm{\Γ2}\,\mathrm{Alg2a}\right)$

$\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e2}\right]\=-\mathrm{e4}\+\mathrm{e3}-\mathrm{e2}-\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e3}\right]\=-\mathrm{e3}-\mathrm{e2}-\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e4}\right]\=-\mathrm{e4}-\mathrm{e2}-\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e3}\right]\=\mathrm{e3}\+\mathrm{e2}\+\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e4}\right]\=\mathrm{e4}\+\mathrm{e2}\+\mathrm{e1}\right]$

$\mathrm{L3}≔\mathrm{Retrieve}\left(''Winternitz''\,1\,\left[5\,25\right]\,\mathrm{Alg3}\right)$

$\mathrm{L3}:=\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e5}\right]\=2\mathrm{\_p}\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e3}\right]\=\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e5}\right]\=\mathrm{\_p}\mathrm{e2}\+\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e5}\right]\=\mathrm{\_p}\mathrm{e3}-\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e5}\right]\=\mathrm{\_b}\mathrm{e4}\right]$

$\mathrm{DGsetup}\left(\mathrm{L3}\right)\:$

$\mathrm{Adjoint}\left(\mathrm{e5}\right)$

$\mathrm{DGsetup}\left(\left[x\,y\,z\,u\,v\right]\,\mathrm{M3}\right)$

$\mathrm{frame\; name:\; M3}$

$\mathrm{\Γ3}≔\mathrm{LiesThirdTheorem}\left(\mathrm{Alg3}\,\mathrm{M3}\right)$

$\mathrm{\Γ3}:=\left[\mathrm{D\_x}\,-\mathrm{D\_x}z\+\mathrm{D\_y}\,\mathrm{D\_z}\,\mathrm{D\_u}\,\left(\frac{1}{2}{z}^2-\frac{1}{2}{y}^2\+2\mathrm{\_p}x\right)\mathrm{D\_x}\+\left(\mathrm{\_p}y-z\right)\mathrm{D\_y}\+\left(\mathrm{\_p}z\+y\right)\mathrm{D\_z}\+\mathrm{\_b}u\mathrm{D\_u}\+\mathrm{D\_v}\right]$

$\mathrm{LieAlgebraData}\left(\mathrm{\Γ3}\,\mathrm{Alg3a}\right)$

$\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e5}\right]\=2\mathrm{\_p}\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e3}\right]\=\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e5}\right]\=\mathrm{\_p}\mathrm{e2}\+\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e5}\right]\=\mathrm{\_p}\mathrm{e3}-\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e5}\right]\=\mathrm{\_b}\mathrm{e4}\right]$

$A≔\mathrm{Adjoint}\left(\mathrm{Alg1}\right)$

$\mathrm{MaurerCartan}≔\mathrm{LiesThirdTheorem}\left(A\,\mathrm{M1}\right)$

$\mathrm{MaurerCartan}\left[1,4\right],\mathrm{\Ω1}\left[1\right]\&plus\mathrm{\Ω1}\left[2\right]$

$\mathrm{dx}\+\mathrm{dy}-\left(2y\+z\+x\right)\mathrm{dw}\,\mathrm{dx}\+\mathrm{dy}-\left(2y\+z\+x\right)\mathrm{dw}$

$\mathrm{MaurerCartan}\left[2,4\right],\mathrm{\Ω1}\left[2\right]\&plus\mathrm{\Ω1}\left[3\right]$

$\mathrm{dy}\+\mathrm{dz}-\left(2z\+y\right)\mathrm{dw}\,\mathrm{dy}\+\mathrm{dz}-\left(2z\+y\right)\mathrm{dw}$

$\mathrm{MaurerCartan}\left[3,4\right],\mathrm{\Ω1}\left[3\right]$

$-\mathrm{dw}z\+\mathrm{dz}\,-\mathrm{dw}z\+\mathrm{dz}$

$\mathrm{MaurerCartan}\left[1,1\right],\left(-1\right)\&mult\mathrm{\Ω1}\left[4\right]$

$-\mathrm{dw}\,-\mathrm{dw}$