PROCEDIMIENTOS PARA INTEGRAR CAMPOS VECTORIALES

PARTE I

MILLAN, Zulma -  CUADROS, Patricia - OLIVA, Laura

Facultad de Ingeniera - Universidad Nacional de San Juan

San Juan - Argentina

zmillan@unsj.edu.ar - pcuadros@unsj.edu.ar- loliva@unsj.edu.ar

Este trabajo presenta una forma de abordar el estudio de integrales de campos vectoriales de dos o ms variables mediante el uso de MAPLE. En un curso de Clculo de funciones de ms de una variable, en carreras de Ingeniera o Ciencias de la Tierra, es una temtica de gran importancia debido a sus mltiples aplicaciones, pero al mismo tiempo es de mucha dificultad para el alumno por el grado de abstraccin que estos conceptos requieren.

El objetivo de esta presentacin es afianzar el uso de campos vectoriales, divergencia, rotor, flujo de un vector o de un rotor,  por medio de este Sistema de Clculo Simblico.

INTRODUCCIN

Sabemos de la importancia que tienen los conceptos de campos vectoriales (campos de velocidades, gravitatorios, elctricos, magnticos, etc.).  Como as tambin, los conceptos de trabajo, circulacin, divergencia, rotor y flujo de un campo vectorial  o flujo del rotor de un campo vectorial, dada la necesidad de ellos por sus multiples aplicaciones. Para trabajar esta temtica, se deben tener un muy buen manejo de Integrales Mltiples, de Lnea y de Superficie.
La coneccin de estos tipos de integrales es por medio de los teoremas integrales o formas integrales de Gauss y Stokes, dado que el Teorema de Green es una consecuencia de estos en el plano.
Es por ello que presentamos  estas integrales  haciendo uso de MAPLE. Resaltamos la importancia de la representacin grfica de campos vectoriales y de dominios de integracin en dos y tres dimensiones, permitiendo visualizar algunos conceptos y propiedades de los mismos.

Campo Vectorial

Cmo graficar el campo vectorial    e interpretar el resultado obtenido?.

Se recuerda la definicin de campo vectorial. " Una funcin que asigna un vector a cada punto en alguna regin en el plano, o el espacio, se llama campo vectorial, usualmente se denota por F ".

Para graficar campos vectoriales se utiliza el comando fieldplot del paquete grfico plots, cuya sintaxis es fieldplot(vector,x=a..b,y=c..d);

>	with(plots): fieldplot([-y,x],x=-4..4,y=-4..4,arrows=THICK,colour= green,title=`Campo Vectorial F`);

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Cada punto del plano (x,y) tiene asignado un vector de coordenadas (-y,x). En este caso se observa que los vectores describen circunferencias centradas en el origen de radio constante. Se obtienen los vectores de longitud c calculando la norma de F o sea    ecuacin de circunferencias concntricos. Es un campo similar al campo de velocidad determinado por una rueda que gira en el origen.

Cmo graficar el campo vectorial   ?.

>	fieldplot3d([-y,x,0],x=-2..2,y=-2..2,z=0..3,grid=[5,5,5],arrows=SLIM,title=`Campo Vectorial F`);

Gravedad

Un ejemplo de campo vectorial en surge de la ley de atraccin gravitatoria de Newton.

Esta ley establece que  la atraccin gravitacional entre dos partculas de masa y respectivamente viene dada por:    .

La grfica del campo vectorial gravitatorio  considerando , se obtiene:

>	fieldplot3d([-10*x/(x^2+y^2+z^2)^(3/2),-10*y/(x^2+y^2+z^2)^(3/2),-10*z/(x^2+y^2+z^2)^(3/2)],x=-2..2,y=-2..2,z=0..3,grid=[3,2,3],arrows=THICK,title=`Campo Gravitatorio`);

El campo vectorial definido se denomina campo de fuerzas y la figura muestra la representacin de algunos vectores de este campo. Esta grfica corrobora que el campo vectorial gravitatorio siempre est dirigido y orientado  hacia el origen de coordenadas.

Gradiente

El ms comn de los ejemplos de campos vectoriales es el campo gradiente de una funcin escalar.

Sea  f=f(x,y) una funcin escalar, existen las derivadas parciales     y    , entonces el gradiente de f est definido por .

Recordar que el gradiente de una funcin apunta en la direccin de mximo crecimiento de la misma.

Para calcular el gradiente de la funcin    y  determinar algunas curvas de nivel de la funcin y su campo gradiente, se procede de la siguiente forma:

>	with(plots):

>	f:=(x,y)->x^2-2*x+y^2+4*y-8;

>	plot3d(f(x,y),x=-10..10,y=-10..10,color=x*y,title=`Grfica de f`);

>	gradf:=[diff(f(x,y),x),diff(f(x,y),y)];# Gradiente de f

>	v:=fieldplot(gradf,x=-10..10,y=-10..10,arrows=thick, colour=magenta): c:=contourplot(f(x,y),x=-10..10,y=-10..10,thickness=2): display({c,v},scaling=constrained,title=`Campo Gradiente-Curvas de Nivel`);

Obsrvese que el gradiente en un punto es  normal a la curva nivel que pasa por ese punto. Es decir el campo gradiente es normal al mapa de contorno de la funcin.

Para calcular el gradiente de la funcin   y  determinar algunas curvas de nivel  y el campo gradiente, se procede de la siguiente forma:.

>	f1:=(x,y)->x^2-y^3;

>	plot3d(f1(x,y),x=-1..1,y=-1..1,color=x*y,title=`Grfica de f1`);

Se calcula el vector gradiente haciendo uso del paquete algebraico linalg. Su sintaxis es grad(funcin escalar, vector);

>	with(linalg):with(plots):

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redefined and unprotected

>	gradf1:=grad(f1(x,y), vector([x,y]));

>	v:=fieldplot(gradf1,x=-1..1,y=-1..1,arrows=thick, colour=magenta): c:=contourplot(f1(x,y),x=-1..1,y=-1..1,thickness=2): display({c,v},scaling=constrained,title=`Campo Gradiente - Curvas de Nivel`);

Se observa que el campo gradiente est dirigido hacia las cotas crecientes de la superficie y adems es perpendicular a la curva de nivel que pasa por cada punto del dominio de la funcin.

GRADIENTE EN 3D

Para calcular y graficar el gradiente de , se procede de la siguiente forma:

>	g:=(x,y,z)->-x^2-y^2+z^2;# campo escalar, (superficie en 3D)

>	gradg:=grad(g(x,y,z),vector([x,y,z])); gradg:=gradplot3d(g(x,y,z),x=-5..5,y=-5..5,z=-5..5,arrows=THICK,grid=[5,5,5]): surfg:=implicitplot3d(g(x,y,z)=0,x=-5..5,y=-5..5,z=-5..5,style=patchnogrid,lightmodel=light1,grid=[33,33,33],title=`Superficie-Campo Gradiente`): display3d({gradg,surfg});

Laplaciano

Sea  f= f(x,y,z)   un campo escalar.

El campo escalar formado al tomar la divergencia del gradiente de   f se llama laplaciano de f . Si  f describe la temperatura, el laplaciano d informacin acerca de la ganancia o prdida de calor en una regin.

Calcular el laplaciano de     que describe la temperatura en una lmina metlica de regin A.

>	with(linalg):

>	f:=(x,y)->x^3-3*x*y^2;

>	laplaciano:=laplacian(f,[x,y]);

El resultado indica que la temperatura permanece estable en la regin.

Una funcin cuyo laplaciano es cero se llama armnica. Las funciones armnicas son importantes en el estudio de electricidad, distribuciones de temperatura y funciones de variable compleja.

Si se quiere calcular el laplaciano de la siguiente funcin , se procede de la siguiente manera:

>	w:=(x,y,z)->x*z/sqrt(1-x^2-y^2-z^2);

>	laplacian(x*z/sqrt(1-x^2-y^2-z^2), [x,y,z]);

>	laplaciano:=simplify(%);

Calcular la divergencia del gradiente de funcin dada.

>	gradw:=grad(x*z/sqrt(1-x^2-y^2-z^2),vector([x,y,z]));

>	simplify(%);

>	w1 := vector([z*(-1+y^2+z^2)/(-1+x^2+y^2+z^2)/(1-x^2-y^2-z^2)^(1/2), x*z/(1-x^2-y^2-z^2)^(3/2)*y,x*(-1+x^2+y^2)/ (-1+x^2+y^2+z^2) / (1-x^2-y^2-z^2)^(1/2)]):  v := vector([x, y, z]): diverge(w1, v);# Divergencia del gradiente

>	laplaciano:=simplify(%);

>

Como el laplaciano es igual a la divergencia del gradiente, se obtiene el mismo resultado que calculando directamente el laplaciano.

Notar que para funciones con dificultad en el clculo de derivadas el software proporciona gran ayuda, adems, sabiendo  que existen varias opciones para encontrar el mismo resultado, se logra afianzar los conceptos tericos al poder ejercitarlos.

Conclusiones

Este trabajo muestra una forma de aproximarse al concepto de campo vectorial y algunas aplicaciones de los mismos mediante el uso de este software. Sabemos que la sintaxis de los comandos  de MAPLE  es semejante a la utilizada en  matemtica. Tambin es oportuno poder mostrar que el lenguaje de programacin de este software permite disear procedimientos, para resolver situaciones no inmediatas. El poder grfico de este software posibilita aclarar la resolucin de ciertos problemas.

        Bibliografa

*         MARDSDEN, J. Y TROMBA, A. (1996). Clculo Vectorial. Addison-Wesley Iberoamericano.
*         LARSON, R.; HOSTETLER, R. y EDWARDS, B. (1999). Clculo y Geometra Analtica. Mac Graw Hill.
*         HEAL, K., HANSEN, M. y RICKARD, K.(1998).  V, Learning Guide. Springer-Verlag.
*         BELTRAN, A; IGEA, D. Y AGUSTN,J. (1996). Bases Metodolgicas de la Investigacin Educativa. GR92 - Barcelona.
* MILLAN, Z., GIL,Y., BERENGUER,M.C., CUADROS,P., DE LA TORRE,E., DE LOS RIOS, C., GARCIA, C., OLIVA, l., (2002). Funciones con MAPLE V. EFU.

* STEIN, S. K., BARCELLOS, A., (1994) Clculo y Geometra analtica, Vol. 2. Mc Graw Hill