Multiplicadores de Lagrange
Guía electrónica de estudio para el estudiante
Dr. M. Ranferí Gutierrez M.
matematicaurl@gmail.com
Introducción
En esta guía de estudio tendrá oportunidad de utilizar la capacidad que tiene Maple para generar gráficos en 3D y poderlos manipular de diversas maneras de tal forma que usted pueda adquirir una mejor comprensión geométrica de lo que significa buscar valores extremos de una función que está sujeta a una restricción.
Durante la guía hará uso de nuevos elementos que anteriormente en otras guías no había utilizado, como por ejemplo componentes en forma de barra móvil, los cuales le permitirán, junto a la acción de rotar y estudiar las figuras, adquirir una visión más profunda de los procesos analíticos que realiza cada vez que encuentra valores extremos de una función aplicando el método de multiplicadores de Lagrange.
Procure responder a cada una de las preguntas planteadas en esta guía. Si tiene dudas consulte a su catedrático.
Objetivos
Al finalizar de estudiar esta guía asegúrese que usted esté en capacidad de:
Explicar correctamente qué significa, geométricamente, buscar los valores extremos de una función cuando está sujeta a una condición de restricción.
Explicar la relación que existe entre el gradiente de la condición de restricción y el gradiente de la curva nivel que corresponde al punto donde se presenta un extremo de la función.
Interpretar geométricamente el proceso de resolución de cualquier problema aplicado cuya resolución involucre el uso del método de multiplicadores de Lagrange.
Ejemplo 1
Determine los valores extremos de la función sobre la circunferencia
Solución: En la figura de abajo puede observar la gráfica de la función , el cilindro y la curva de intersección de ambas superficies. Recuerde que haciendo clic sobre la figura y luego presionando el botón puede rotar la figura. Observe que el eje azul es el correspondiente al eje , mientras que el eje negro es el correspondiente al eje .
Rote la figura de tal forma que el eje apunte hacia usted y observe que la curva azul adquiere la apariencia de una circunferencia, tal como se esperaría ya que está completamente sobre la ecuación de restricción
Por simple inspección de la figura, prediga en qué puntos , sobre la curva de restricción, la función tendrá máximos y mínimos absolutos. ¿Cuál es el valor de en los puntos que acaba de predecir?
Como la curva azul de intersección está sobre la circunferencia una posibilidad de parametrización de la misma es ¿Sabe cómo verificar que esa parametrización es correcta? Verifique que con esa elección de parametrización para e , entonces
Suponga que hubiera empleado como parametrización . ¿Sería esa parametrización adecuada? Verifique que con esta nueva elección de parametrización para e , entonces
Abajo puede utilizar la barra deslizante vertical que aparece a la derecha del gráfico para desplazar planos de la forma y obtener las distintas curvas de nivel. Rote la figura para observar desde distintos ángulos lo que sucede cuando y .
Rote la figura y observe detenidamente cómo se relacionan las curvas de nivel (curva azul) y la curva de intersección (la curva roja), especialmente en los casos y . Para estos dos últimos casos, rote la figura de tal forma que el eje apunte perpendicularmente hacia usted. Compare sus observaciones con el mapa de curvas de nivel que se muestra abajo : Sugerencia: Haga clic sobre la figura de arriba, y esto activará una barra de herramientas como el que se indica a continuación: Ajuste los valores de los ángulos a los indicados en la imagen anterior con lo que podrá realizar mejor sus comparaciones.
Verifique que la curva de nivel de tiene como ecuación , y por tanto, un conjunto posible de parametrizaciones es ¿Cuál hubiera sido el conjunto completo de parametrizaciones para la curva de nivel si hubiera escogido ?
De acuerdo al método de Lagrange, . Calcule y . Calcule y dibuje los gradientes anteriores en los puntos . ¿Recuerda su predicción del numeral 2? ¿Se cumple, en los puntos críticos, que ?
Abra esta pestaña para verificar sus resultados de cálculos de gradientes en puntos críticos
Observe que al aplicar el método de Lagrange, debe resolver el sistema de ecuaciones
donde usted puede verificar que los valores que puede adquirir el multiplicador de Lagrange λ son 1 y 2, respectivamente.
Aplique el método de multiplicadores de Lagrange y muestre que el valor máximo absoluto de sobre la circunferencia es , mientras que el valor mínimo es .
Ejemplo 2
Determine los valores extremos de sobre la elipse
Solución: En la figura de abajo se muestra la gráfica de la función -en color amarillo-, el cilindro elíptico (color naranja), la curva de intersección de ambas superficies (la curva en color azul) y algunas curvas de nivel de (curvas rojas). Rote la figura para estudiarla y localizar, por inspección, los valores extremos de la función sobre la elipse Observe cuidadosamente las cuatro curvas de nivel que son tangentes al cilindro elíptico (la restricción) y su relación con la posición de los extremos relativos de .
Note que se ha utilizado un sistema de coordenadas tipo "caja".
Abajo puede observar una figura similar a la de arriba, excepto que ahora se han quitado la superficie y el cilindro elíptico.
Rote la figura de arriba de tal forma que el eje apunte directamente hacia usted (Sugerencia: Utilice ) Rote ahora la figura y note nuevamente la posición de los extremos relativos y su relación con las curvas de nivel con las que la elipse es tangente en la figura. ¿Cómo puede, a partir de la información de la figura de arriba, determinar el valor de para las curvas de nivel que son tangentes a la elipse de restricción? Sugerencia: Fije las condiciones . Para la curva de nivel en la posición superior izquierda que es tangente a la elipse, note que ella corta al eje vertical en el punto ¿Cuánto vale ? Repita el procedimiento para las otras tres curvas de nivel tangente a la elipse y verifique su resultado rotando la figura de arriba para observar el valor de en esos puntos.
Utilice el método de multiplicadores de Lagrange para demostrar analíticamente que los valores extremos absolutos de son y , y que ocurren en los puntos y respectivamente.
Nota: Cuando resuelva el problema, encontrará que una solución corresponde al punto ; sin embargo, deberá descartarla. ¿Por qué?
En la figura de abajo mueva la barra deslizante que se encuentra a la figura de la derecha y estudie detenidamente el comportamiento, especialmente en los casos y .
Finalmente, aunque no es necesario hacerlo al aplicar el método de multiplicadores de Lagrange, dibuje (utilizando una escala adecuada, como la que se muestra abajo) las curvas de nivel correspondientes a , y los vectores . ¿Obtuvo lo indicado por el método de multiplicadores de Lagrange? Vea la respuesta, pero únicamente después que usted intentó hacerlo por su propia cuenta.
Solución
Figura de apoyo para ejemplo 3 de la sección 13.10
Problemas aplicados propuestos
Créditos de figuras
Las figuras estáticas de la presente guía pertenecen al libro "Calculus. Early Transcedentals", 6a. Edición., por James Stewart.
