1.5 Los Mercados Financieros
1.5.1 Marco de Referencia
En el cap?tulo pasado vimos a la deuda p?blica y al dinero como veh?culos que las familias y el gobierno utilizan para transferir recursos de un periodo a otro. Ah? llevamos a cabo el ejercicio de optimizaci?n de los agentes econ?micos teniendo como variable de decisi?n al consumo a trav?s del tiempo.
En este cap?tulo veremos otro ?ngulo de los instrumentos financieros. Estos habr?n de permitir a los consumidores definir su perfil de gasto dependiendo de estado que guarde la econom?a en un entorno incierto. Por esta raz?n, el ejercicio de optimizaci?n tendr? como variable de decisi?n al consumo a trav?s de diversos estados de la naturaleza.
Fama y Lucas, presentaron durante los a?os setenta un marco de referencia basado en agentes optimizadores que permit?a predecir cual ser?a la estructura de precios relativos entre distintos instrumentos financieros, dependiendo tanto su rendimiento como de la volatilidad de dicho rendimiento.
Adem?s del concepto de riesgo, ellos incorporaron las ideas de no-arbitraje, mercados eficientes o la ley de un s?lo precio, y demostraron que bajo supuestos razonables estas tres son equivalentes. El mensaje que subyace a estas las definiciones es que dos instrumentos que generan los mismos rendimientos bajo las mismas circunstancias deben tener el mismo precio, de lo contrario el p?blico podr?a vender (tomar posiciones cortas) del m?s caro y comprar el m?s barato, generando as? ganancias sin riesgo. Si los mercados funcionan bien, el precio del instrumento barato empezar? a subir y del caro a bajar hasta que se igualen.
Otra idea, se?alada por Arrow y Debreu es que dado un cierto n?mero de instrumentos, cuyos rendimientos sean independientres entre s?, la gran mayor?a de los activos financieros pueden describirse como combinaciones de estos instrumentos b?sicos. Ello, aunado al criterio de no-arbitraje , hace posible establecer el precio de alg?n instrumento como la suma de los precios de sus ingredientes. En ese sentido, basta con tener un modelo que establezca el precio de los instrumentos b?sicos para poder explicar la totalidad de los mercados financieros. A estos instrumentos b?sicos se les conoce como instrumentos-Arrow-Debreu, y al vector de sus precios como n?cleo de precios (pricing kernel).
Aunque en los ?ltimos a?os se ha visto un crecimiento muy vigoroso de la literatura sobre mercados financieros, mucha de ella concentrando su atenci?n en sus fallas, el marco de referencia que se presenta en esta secci?n sigue siendo tomado como punto de partida obligado en cualquier an?lisis.
1.5.2 El concepto de riesgo
Tal y como lo hicimos en la mayor parte del cap?tulo anterior, trabajaremos aqu? con una funci?n de utilidad separable: . Es decir, la utilidad total va a ser definida como una suma ponderada de funciones de utilidad que dependen, cada una de ellas, del consumo en un cierto estado de la naturaleza. Un poco m?s adelante precisaremos cu?les son esos ponderadores.
Por lo pronto, cada componente de nuestra funci?n de utilidad, tomar? la forma .
Esta funci?n tiene como propiedad el hecho de que , es decir el ?ndice de aversi?n relativa al riesgo , es constante. Cuando se dice que el individuo es adverso al riesgo. Si , la persona se clasificar? como neutral al riesgo.
La gr?fica siguiente muestra la forma de la fuci?n de utilidad para distintos valores de . El lector puede observar que a medida que aumenta el ?ndice de aversi?n al riesgo, la funci?n de utilidad se vuelve m?s c?ncava hacia abajo. El caso particular donde corresponde a una funci?n de utilidad representada por una l?nea recta que pasa por el origen y que tiene una pendiente de 45 grados.
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Conviene recordar que el ?ndice de aversi?n relativa al riesgo guarda una estrecha relaci?n con la proporci?n de riqueza que un individuo estar?a dispuesto a sacrificar para sustituir un entorno de consumo incierto por otro donde el consumo es constante sin importar el escenario que se presente. Esto se puede ver con alguna facilidad. En primer lugar, definamos a w como la riqueza de una persona, y a como la prima de seguro. Ser? la utilidad esperada por una persona que ha comprado su seguro por el cual pag? .
Por su parte, la utilidad esperada por una persona que no compr? un seguro sino que recibe , donde es una variable aleatoria, est? dada por , y donde es la varianza de la variable aleatoria , cuya media se ha supuesto igual a cero.
La prima de seguro que permite alcanzar este nivel de indiferencia entre un escenario de incertidumbre y otro de certeza es la que resuelve la ecuaci?n .
As?, y son proporcionales, siendo el factor de proporcionalidad la varianza de la riqueza (normalizada), multiplicada por .
1.5.3 El comportamiento de las familias
Nuestra funci?n de utilidad adtiva y separable , considera dos periodos. En el periodo inicial no hay incertidumbre y el consumo, C0, es conocido. Al final de este periodo incial, los consumidores tomar?n las decisiones necesarias para estructurar el consumo del siguiente periodo bajo dos escenarios. En el escenario 1, el cual ocurrir? con probabilidad , su consumo ser? C1, mientras en el escenario 2, el cual ocurre con probabilidad , el consumo ser? C2.
Este tipo de funci?n de utilidad, definida como el valor esperado de la utilidad del consumo, se le conoce como VonNeuman-Morgenstern.
Para entender la restricci?n presupuestal R, tenemos que hacer referencia a los instrumentos Arrow-Debreu a que aludimos en la introducci?n.
Pensemos que existe un instrumento financiero que paga una unidad de bien de consumo en el estado de la naturaleza 1, y nada en el estado de la naturaleza 2. Si una persona quiere consumir C1 bienes en el periodo 1, entonces deber? tener C1 unidades de dicho instrumento en su portafolio.
Suponemos que el precio de dicho instumento es q1. Lo mismo suceder? si la persona quiere consumir C2 en el estado de la naturaleza 2. Finalmente, supondremos que el individuo cuenta con una riqueza incial W.
Como es usual en el enfoque neocl?sico, el problema del consumidor se define como uno de optimizaci?n con restricciones, donde las condiciones de Kuhn-Tucker se definen a partir del Lagrangiano siguiente:
Dichas condiciones son las usuales, donde las variables de control son la cantidad de cada uno de los instrumentos de Arrow-Debreu que el individuo desea tener en su portafolio.
Solamente con fines de presentaci?n, a continuaci?n se despliegan las expresiones correspondientes.
Su soluci?n simult?nea nos permite obtener las funciones correspondientes a la demanda de los instrumentos Arrow-Debreu como funci?n del grado de aversi?n al riesgo, de la dotaci?n inicial de bienes, del consumo en el primer periodo y de la distribuci?n de probabilidad de los distintos estados de la naturaleza.
1.5.4 Los instrumentos Arrow-Debreu y el n?cleo de precios
Supongamos ahora que la econom?a en su conjunto tiene una capacidad dada de generar cierta cantidad de bienes en los distintos estados de la naturaleza. Esto puede pensarse ya sea como una funci?n producci?n inel?stica o como una oferta inel?stica de activos financieros. cualquiera de las dos interpretaciones es igualmente v?lida.
Sin p?rdida de generalidad, podemos suponer que la oferta disponible de bienes para consumo en el estado de la naturaleza 1 es igual a la unidad, y que la oferta disponible en el estado de la naturaleza 2 es k.
Los precios y que resuelven el sistema de ecuaciones y , corresponden al n?cleo de precios Arrow-Debreu, a partir del cual es posible obtener los precios de instrumentos con estructuras de pagos m?s complicadas.
Por convenci?n, es com?n encontrar en la literatura sobre el tema a las llamadas densidades precio-probabilidad, que no es otra cosa que el precio del instrumento Arrow-Debreu dividido por la probabilidad del evento en el cual dicho instrumento paga una cantidad positiva, y .
La gr?fica siguiente muestra el comportamiento del precio del instrumento Arrow-Debreu 1 en funci?n de la probabilidad del evento 1. Lo que la l?nea muestra es que el precio del instrumento crece al aumentar la probabilidad de ocurrencia, pero lo hace m?s lentamente que dicha probabilidad , para valores bajos de .
La gr?fica est? animada para distintos valores del grado de aversi?n relativa al riesgo, . En este ejercicio, hemos supuesto que los distintos estados de la naturaleza son descritos a trav?s de una variable aleatoria que tiene una distribuci?n binomial con n=1. Para calibrar el ejemplo que se presenta abajo podemos tomar en cuenta que la varianza de la variable aleatoria es igual a . Sabemos que esto supone que el valor m?ximo de la varianza es 0.25.
Si adicionalmente suponemos w=1, y estando conscientes de que tiene que tomar valores entre cero y uno, entonces dpodremos asignar a valores entre 0 y 8 .
De la inspecci?n de la gr?fica siguiente se desprende que a medida que crece, el precio del instrumento Arrow-Debreu se mantiene cercano a cero cuando su probabilidad de ocurrencia es baja, debido a que la demanda se sesga hacia el instrumento m?s seguro.
Asimismo, para valores m[as bajos de es decir, a medida que los individuos son m?s neutrales al riesgo, el precio relativo de los instrumentos se aproxima al cociente de sus valores esperados.
1.5.5 Valuaci?n de activos con mercados completos
De lo que hemos presentado hasta ahora se desprende que si suponemos que hay solamente dos estados de la naturaleza en el segundo periodo y que dada la base de producci?n de una econom?a como ?sta es capaz de generar una unidad de producto en el primer estado de la naturaleza y unidades en el segundo, entonces tendremos los precios correspondientes de los instrumentos Arrow-Debreu de las expresiones . Dados estos precios, m?s el principio de no arbitraje podr?amos valuar a cualquier otro instrumento o flujo de pagos en esta econom?a.
Supongamos, por ejemplo que hay un instrumento que paga unidades de bien en el estado de la naturaleza 1 y unidades en el estado de la naturaleza 2. Es razonable pensar que el precio de este instrumento estar? dado por ya que, en efecto, podr?amos construir un instrumento id?ntico mediante la combinaci?n de unidades del instrumento Arrow-Debreu que solamente paga en el estado de la naturaleza 1 y del instrumento que paga en el estado de la naturaleza 2.
En la realidad no es com?n encontrarnos con los instrumentos Arrow-Debreu, y por lo tanto el n?cleo de precios no est? disponible directamente , sin embargo, cuando los mercados financieros son completos los precios de estos activos fundamentales se pueden obtener a partir de la informaci?n de precios en el mercado. A continuaci?n presentamos un ejemplo que nos permite precisar la definici?n de mercados completos mientras usamos la informaci?n disponible en el mercado para obtener el n?cleo de precios para valuar cualquier otro instrumento.
El procedimiento para llegar a este punto ser?a como sigue:
Pensemos por un momento en que tuvieramos tres instrumentos, que pagan la cantidad respectivamente, en j-?simo estado de la naturaleza. La matriz A, a continuaci?n, resume la estructura de pagos de los tres instrumentos en los tres estados de la naturaleza.
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Si la estructura de los pagos que hace cada instrumento, contingente a los estados de la naturaleza, es tal que la matriz A es invertible (matriz de rango completo), entonces es posible construir artificialmente a los instrumentos Arrow Debreu mediante combinaciones de los instrumentos disponibles en el mercado. Por ejemplo, el vector nos muestra las combinaciones de los tres instrumentos que existen en el mercado con las que se puede construir un portafolio que tiene el mismo flujo de pagos que el instrumento de Arrow-Debreu que paga una unidad de bien en el estado de la naturaleza y cero en cualquier otro estado de la naturaleza. A continuaci?n vemos, primero, el ejemplo de c?mo se ver?a el vector de ponderadores para el ejemplo que nos ocupa, y comprobamos como dichos ponderadores permiten efectivamente construir al instrumento Arrow-Debreu que paga una unidad en l primer estado de la naturaleza.
Finalmente, si sabemos cu?les son los pagos posibles en esta econom?a en cada uno de los estados de la naturaleza, el grado de aversi?n al riesgo de los agentes econ?micos y el vector de probabilidades, podemos conocer el precio de los instrumentos Arrow Debreu resolviendo el ejercicio de optimizaci?n de los consumidores y luego encontrarndo el correspondiente equilibrio general.
De lo anterior se desprende que para construir el n?cleo de precios, necesitamos contar con un n?mero suficiente de instrumentos financieros de tal manera que podamos construir una matriz A de rango completo. Si esto ocurre, diremos que se trata de una econom?a con mercados financieros completos. Consecuentemente, teniendo al n?cleo de precios, podremos valuar a cualquier instrumento, por las razones arriba expuestas. Por cierto, cuando hay mercados completos puede concluirse que el precio de todos los instrumentos financieros que pueden existir en esta econom?a puede verse como un operador lineal en el que se suman de manera ponderada los pagos del instrumento en cuesti?n en cada estado de la naturaleza. El ponderador, que llamaremos en la secci?n de preguntas es lo que hemos definido como la densidad precio-probabilidad. Por cierto, en la secci?n de preguntas se presentar?n una serie de ejemplos en los que aprovechamos la relaci?n que existe entre los precios de los instrumentos disponibles en el mercado y el n?cleo de precios para valuar diversos instrumentos a partir de las preferencias, tecnolog?as y probabilidades.
1.5.6 Usando el modelo
Pregunta 1. Dado el precio de los instrumentos Arrow-Debreu en esta econom?a, ?cu?l ser?a el precio de un bono libre de riesgo?
En virtud del principio de no-arbitraje, el precio de un bono libre de riesgo, es decir que paga 1+r en el estado de la naturaleza 1, y 1+r en el estado de la naturaleza 2, debe ser igual al precio de un portafolio integrado por (1+r) unidades del instrumento Arrow-Debreu 1 y (1+r) unidades del instrumento Arrow-Debreu 2.
El vector Q, es el n?cleo de precios presentado de manera m?s compacta. La primera columna, por ejemplo, es el precio del instrumento Arrow-Debreu 1.
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Escribamos la matriz Z que muestra dos instrumentos. El primero, en la primera columna, corresponde al bono libre de riesgo ya que muestra pagos constantes independientemente del estado de la naturaleza que se presente. El segundo instrumento, que puede ser cualquier otro, muestra pagos equivalentes a P[1] en el primer estado de la naturaleza y P[2] en el segundo.
El vector V contiene los precios de mercado de los bonos y del otro instrumento gen?rico. V[1,1] , que se reporta enseguida, corresponde al precio del bono, como funci?n de la tasa de inter?s, r; las probabilidades de los distintos estados de la naturaleza, , de la riqueza, W, y del consumo posible en el estado de la naturaleza 2, k.
S?lo para completar la respuesta, se reporta el precio del instumento gen?rico que corresponde al elemento V[1,2] del vector V.
Pregunta 2. ?Cu?l es la relaci?n que existe entre el rendimiento de los instrumentos financieros y el de los bonos libres de riesgo?
Antes de contestar la pregunta, ser? conveniente definir algunos operadores de Maple 8. Estos operadores nos permitir?n trabajar directamente con las definiciones usuales de media, varianza y covarianza de una variable aleatoria o de una combinaci?n lineal de variables aleatorias. Para los fines de esta pregunta, E(.) ser? el operador de valor esperado, y V(.) el operador de varianza.
Antes de seguir es necesario subrayar que las definiciones de Maple 8 podr?an confundirse con alguna notaci?n m?s convencional. Concretamente, cuando usemos a en notaci?n de comando de Maple, nos estaremos refiriendo al valor esperado del producto de las variables por en notaci?n convencional. Se sugiere al lector inspeccionar cuidadosamente estos comandos para estar claro de su significado.
Para efectos de notaci?n, por su parte, consideraremos que se refiere al valor esperado de la variable aleatoria , y que es la covarianza de las variables aleatorias .
Una vez advertidos de todo lo anterior, vamos a necesitar algunas definiciones construidas a partir de lo que ya sabemos hasta ahora:
Pensemos ahora en un instrumento financiero cualquiera al que llamaremos z. Supondremos que hay j estados de la naturaleza, con probabilidad de ocurrencia , y que existen j instrumentos Arrow-Debreu cuyo precio es . Asumiremos tambi?n que el instrumento financiero que nos ocupa genera pagos de monto en el correspondiente estado de la naturaleza. Finalmente, por notaci?n, definimos a como la densidad precio/probabilidad , es decir, como .
En virtud de la condici?n de no arbitraje , el precio de el instrumento z estar? dado por . Por inspecci?n, puede establecerse que esta expresi?n es equivalente a .
Sabemos, de nuestra respuesta a la pregunta anterior, que la suma simple de todos los precios de los instrumentos Arrow-Debreu debe ser igual a 1/(1+r), lo cual es equivalente a decir que . Adem?s, definamos a
Si definimos a la tasa de rendimiento del instrumento como , entonces sabemos, por construcci?n, que . Esto es equivalente a decir que:
Dada la definici?n de , sabemos que , entonces resultar?, seg?n se ve abajop que el rendimiento esperado del instrumento z, , ser? igual a la tasa libre de riesgo m?s un premio, el cual depender? de la covariancia que exista entre el n?cleo de precios y el rendimiento del instrumento.
Sabemos, sin embargo, que las condiciones de primer orden que la densidad precio probabilidad satisface la definici?n siguiente,
Luego entonces, la prima que paga el instrumento riesgoso por encima de la tasa libre de riesgo y que est? dada por , depende de la covarianza entre su rendimiento y el nivel crecimiento del consumo , en distintos estados de la naturaleza. . Es por raz?n del uso de esta relaci?n entre el crecimiento del consumo y el rendimiento de los instrumentos riesgosos para determinar la prima de riesgo de estos ?ltimos, que lo que hemos presentado en este cap?tulo se conoce como el modelo beta-consumo de valuaci?n de activos.
Pregunta 3. A partir de los datos observados en los principales mercados financieros, ?qu? tan adversos al riesgo somos?
El modelo beta-consumo permite hacer predicciones que despu?s pueden contrastarse con la realidad. Retomemos la notaci?n de la pregunta anterior a partir de la definici?n de en t?rminos de la tasa de crecimiento del consumo, g.
Resultar? m?s f?cil trabajar con una aproximaci?n lineal de esta expresi?n, seg?n se presenta a continuaci?n.
Aplicando el m?todo delta para obtener el valor esperado de una funci?n continua y diferenciable de una variable aleatoria, podemos afirmar que:
Sustituyendo este ?ltimo resultado en la definici?n que ya ten?amos de , resulta:
Por su parte, definimos , el cual puede estimarse a trav?s del m?todo de momentos o de m?nimos cuadrados sobre una regresi?n lineal entre el crecimiento del consumo y el rendimiento de el activo financiero z.
Sustituyendo esta definici?n nuevamente en , obtenemos una expresi?n donde todas las variables, excepto son observables en los mercados financieros .
Ahora estamos en condici?n de ver las implicaciones de la teor?a. Tomemos como activo financiero z a una canasta de instrumentos, cuyo precio est? representado por el ?ndice Standard and Poors 500.
Si despejamos de esta expresi?n a , es decir, al ?ndice de aversi?n relativa al riesgo podemos construir una gr?fica con rangos comparables con lo observado.
Entre 1925 y 2000, este ?ndice de acciones ha tenido un rendimiento promedio anual de alrededor de 12.5%, mientras que la tasa libre de riesgo se ha colocado en aproximadamente 3.5%. La covarianza entre el S&P 500 y la tasa de crecimiento del consumo en los Estados Unidos que resulta de una regresi?n simple es de aproximadamente 0.0014, mientras que la desviaci?n est?ndar de la tasa de crecimiento consumo es de alrededor de 3.5%. Esto implica valores de de alrededor de 1.142. El valor impl?cito de se presenta en la gr?fica, para un cierto rango de volatilidades del consumo en el vecindario de una desviaci?n est?ndar de 3.5%. Sobra decir que la evidencia apunta hacia un ?ndice muy alto de aversi?n al riesgo, de entre 55 y 85.
Para dar un mayor sentido a la respuesta, recordemos que el ?ndice de aversi?n relativa al riesgo, multiplicado por la mitad del cociente de la varianza del activo riesgoso entre la riqueza total es igual a la prima de riesgo como proporci?n de dicha riqueza que las personas est?n dispuestas a cubir para eliminar el riesgo. Esto nos puede dar una idea sobre la volatilidad m?xima que el mercado puede sostener, como porcentaje de la riqueza total, . Digamos que tal volatilidad es aqu?lla en la que para un valor de como el observado, la prima de seguro que el p?blico est? dispuesto a pagar, , es cercana al valor total de su riqueza, w.
Tomando los valores de que implica el modelo para los datos observados en los mercados, la volatilidad m?xima tolerable ser?a una en la que el p?blico pudiera perder hasta el 25% de su riqueza en el 8% de las observaciones. Este porcentaje corresponde al ?rea bajo la cola una funci?n de densidad normal en valores inferiores en una desviaci?n est?ndar o m?s, con relaci?n a la media.
Lecturas Recomendadas
Arrow, Kenneth. Essays in the theory of risk bearing. North Holland, Amsterdam, 1971
Fama, Eugene. Foundations of Finance: portfolio decisions and securities prices. Basic Books, New York, 1976
Laffont, Jean-Jacques. The Economics of Uncertainty and Information. Cambridge, MIT Press, 1989
Lucas, Robert. Asset Prices in an Exchange Economy. Econometrica, vol 46, 1978
