1.2 El Modelo Básico
1.2.1. Los Agentes Económicos.
En esta sección hablaremos del ejemplo más sencillo de un modelo de equilibrio general en el que aún no aparece el gobierno. Como a lo largo del libro vamos a referirnos a temas Macroeconómicos, cuando hablemos de bienes, factores o agentes económicos lo estaremos haciendo en forma agregada. Es decir, hablaremos de un "grupo de individuos" en vez de a un solo individuo. Igualmente, estaremos pensando en un grupo de empresas, en lugar de una sola empresa. Asimismo, tendremos un solo bien, un producto y/o servicio que bien puede identificarse en abstracto con el Producto Interno Bruto o con una canasta de bienes.
Por lo general, una vez que tenemos al grupo de consumidores, la Macroeconomía Neoclásica los tratará como la juxtaposición de individuos idénticos.Cabe señalar que esta agregación no presupone colusión. En efecto, estaremos sumando las decisiones de individuos que concurren a los mercados sin tener ningún tipo de poder monopólico o monopsónico. Así pues, primero se analiza la respuesta de un individuo representativo y atomísticamente pequeño, y después se construye la oferta o demanda agregada correspondiente.
Lo mismo sucede del lado de las empresas. Es práctica común en la formalización del Modelo Neoclásico, se agregan muchas pequeñas empresas para llegar a las funciones de producción, costos y demanda de factores agregadas así como una oferta agregada de bienes. En cualquier caso, tanto productores como consumidores se comportarán como tomadores de precios.
1.2.2. Comportamiento de las familias
Iniciemos la construcción del modelo básico con la descripción de lo que sucede con el sector de las familias en una economía dada (país, región, etc). Las familias están compuestas por personas que no sólo consumen, sino que ofrecen su mano de obra a cambio de la cual obtienen un ingreso. Más aún, también como parte del sector familias se encuentran las personas que son dueñas de las empresas y cuyos ingresos provienen directamente de las ganancias que tales empresas generan.
Supongamos que el sector familias ( familia representativa) tiene una función de utilidad que depende, positivamente, de la cantidad de bienes que consume, C, es decir, del consumo agregado o consumo nacional y negativamente, del trabajo realizado, T. En otras palabras, el bienestar de las familias se incrementa al aumentar el tiempo dedicado al ocio y disminuye en la medida en que más tiempo se destine a trabajar. Podemos ilustrar lo anterior mediante una expresión como la que aparece enseguida. Se trata de una función de utilidad se conoce como Cobb-Douglass donde tomará valores entre cero y uno a lo largo del ejercicio.
La gráfica que aparece a continuación nos muestra lo que sucede con el nivel de bienestar de las familias para distintos valores del consumo (entre 0 y 100 unidades), del trabajo (entre 0 y 24 unidades) y del parámetro de preferencias (entre 0.1 y 0.9). Ciertamente no es posible ver el la relación entre estas cuatro variables (U, C, T y ) en una sola gráfica. Por esta razón se optó por hacer 10 gráficas que muestran la relación entre U,C y T para 10 distintos valores de . Más aún, si estas diez gráficas se presentan una después de otra tendremos algo parecido a lo que ocurre cuando presentamos varios dibujos en secuencia: es decir, una animación. Dicha animación puede activarse mediante el posicionamiento del cursor sobre la gráfica
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Conviene mencionar que las curvas de nivel son cóncavas hacia abajo. Esto es debido a que decidimos graficar trabajo, T, contra consumo C . Si en lugar de T hubiéramos graficado el ocio (H-T) contra consumo C, observaríamos la forma convencional de las curvas de indiferencia. Por otro lado, y como es de esperarse, a medida que toma valores más cercanos a la unidad, las curvas de nivel toman la forma de líneas rectas paralelas al eje de la variable T.
Supongamos ahora que los individuos que nos ocupan son racionales. Lo anterior significa que buscan siempre alcanzar el máximo bienestar, dadas sus restricciones. En este caso su restricción está dada por el hecho de que para poder comprar bienes, deben contar con un ingreso. Este puede provenir ya sea de su trabajo o de las ganancias que obtengan las empresas en que tengan alguna participación accionaria. En este modelo el ingreso familiar, pues, dependerá de tres variables: del salario por hora, del número de horas trabajadas y de las ganancias que reciban las familias.
En virtud de que supusimos que las familias eran "tomadoras de precios", el nivel de salario por hora de trabajo, w, es visto como una variable exógena, es decir, sobre la cual no tienen control alguno. Lo mismo sucede con la variable ganancias, . De esta forma, la única manera en que las familias pueden controlar por sí mismas el nivel de ingreso que reciben es mediante la determinación del número de horas que estén dispuestas a trabajar. En síntesis, dados los salarios y las ganancias, mientras más horas se trabajen más ingreso puede alcanzarse y más puede consumirse, y viceversa.
Para encontrar la solución al problema de optimización de las familias, resultará conveniente definir la siguiente función Lagrangiana:
Es sabido que las condiciones de primer orden de Kuhn-Tucker para un extremo (máximo o mínimo) se cumplen cuando, simultáneamente, las derivadas parciales de la función Lagrangiana respecto de las variables de control (C y T) y respecto del multiplicador de Lagrange ( ) se igualan a cero:
A continuación, y sólo con fines informativos, se presentan las expresiones correspondientes a las referidas derivadas parciales.
Antes de seguir adelante conviene recordar que estamos tratando de encontrar la forma en que los individuos determinan su consumo y la cantidad de trabajo que desean ofrecer en el mercado de trabajo, dados los salarios vigentes en el mercado y las ganancias que esperan recibir. Es decir, queremos obtener una demanda de bienes y una oferta de trabajo a partir del comportamiento optimizador de las familias.
Las solución simultánea de las condiciones de primer orden del ejercicio de optimización, resulta en las expresiones correspondientes a la función consumo, c[d], y oferta de trabajo, t[s]. Faltaría complementar estas expresiones con las restricciones de no-negatividad (es decir, precios y cantidades positivas) y otras condiciones relacionadas con la curvatura de la función objetivo, para poder asegurar que estamos efectivamente hablando de la función consumo y oferta de trabajo. Nos referiremos a ellas más adelante. Asumamos por ahora que tales condiciones adicionales se cumplen.
En virtud de la especificación que hicimos de la función de utilidad, U, la función consumo, c[d], indica que las familias buscarían asignar a la compra de bienes una proporción igual a del ingreso potencial: . Por su parte, los consumidores estarán dispuestos a trabajar más horas en la medida en que los salarios, w, sean mayores y los ingresos provenientes de las utilidades de las empresas, , sean menores, siempre y cuando sea positiva pero menor que la unidad.
Sólo falta verificar el cumplimiento de las condiciones Kuhn-Tucker de segundo orden. Estas condiciones son suficientes para afirmar que las funciones de demanda de bienes y oferta de trabajo efectivamente correspondan a un punto en que las familias están maximizando su bienestar dada la restriccion presupuestal. Lo que estamos buscando es un valor positivo para el determinante del Hessiano orlado correspondiente a la función Lagrangiana con que se ha venido trabajando.
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Tal Hessiano orlado se obtiene al substituir la demanda de bienes, c[d], la oferta de trabajo, t[s], en la matriz A en la forma en que se indica a continuación:
El numerador del determinante , , es obviamente negativo . Por su parte, el denominador es negativo siempre y cuando , lo cual hemos venido suponiendo a lo largo del ejercicio.
1.2.3 Comportamiento de las Empresas
El tratamiento que se da a las empresas es muy similar al de los consumidores. De hecho, suponemos que los empresarios son racionales y que participan en mercados competitivos.
Las empresas tienen como objetivo maximizar sus ganancias mediante la producción y venta de bienes y/o servicios. Para lograr lo anterior concurren al mercado de factores de la producción, en este caso muy simple es el mercado de mano de obra. De ahí se allegan los recursos necesarios para llevar a cabo la producción de bienes, ello en un entorno determinado por una cierta tecnología o función producción como la que se define a continuación.
Para visualizar las características de esta ecuación podemos ayudarnos otra vez de una gráfica animada.. En ella puede verse que cuando se aproxima a la unidad, esta toma la forma de una línea con pendiente de 45 grados que pasa por el origen. Este es el caso en que la tecnología exhibe rendimientos constantes a escala. Por su parte, los rendimientos decrecientes e hacen más pronunciados a medida que los valores del parámetro son más cercanos a cero.
El siguiente paso es modelar el comportamiento optimizador de las empresas. Para ello es necesario especificar la función de beneficios económicos de la empresa representativa como la diferencia entre ingresos y costos. Los ingresos provienen de las ventas de la producción en el mercado y los costos del pago de la nómina, según aparece a continuación.
Las empresas buscarán maximizar las ganancias mediante la determinación del número de trabajadores que estarían dispuestos a contratar. Así, la variable de control es T . Por cierto, en esta ocasión la optimización no presenta otra restricción que la propia especificación de la función producción, de manera que las condición de primer orden es la anulación de la derivada parcial de la función beneficios respecto del nivel de empleo.
Ahora bien, hemos dicho que aunque las empresas contratan trabajadores, ellas no hacen como un fin en sí mismo. En efecto, su propósito es contratar trabajadores para producir bienes. Es por ello que la demanda de trabajo, t[d], y la oferta de bienes, c[s], son resultado del mismo proceso optimizador.
Para obtener la oferta de bienes, bastará con sustituir la demanda de trabajo, t[d], en la función producción, y[T], como se muestra a continuación:
Las condiciones de segundo orden para este ejercicio de optimización serán satisfechas si . Ello ocurrirá mientras la función producción muestre rendimientos decrecientes, es decir, si .
1.2.4 El Equilibrio General: Ley de Walras
De los ejercicios resueltos en las dos secciones previas obtuvimos las ecuaciones necesarias para determinar el equilibrio simultáneo en los mercados de bienes y mano de obra, es decir, a lo que nos referiremos como el equilibrio general.
Una condicion que impondremos en este equilibrio provendrá de sustituir la función de beneficios que resulta de la optimización de las empresas en el nivel de ganancias que utilizan los trabajadores para definir su demanda de bienes. Esta condición presupone que los consumidores cuentan con muy amplia información, y que procesan dicha información de la manera en que mejor responde a sus objetivos.
Hecho lo anterior, determinaremos el punto donde se cruzan las ofertas y las demandas respectivas. Es decir, donde el exceso de demanda en el mercado de bienes y el exceso de demanda en el mercado de trabajo se hacen iguales a cero.
Las funciones de exceso de demanda en el mercado de bienes , E[c], y en el mercado de trabajo, E[t], son las que enseguida aparecen:
Aunque no es evidente a primera vista, bastará con que se tenga equilibrio en uno de los mercados para obtener el equilibrio en el otro mercado. Para probar esta afirmación será necesario sumar el valor de los excesos de demanda en ambos mercados: E[c]+wE[t] . Una vez realizadas las simplificaciones necesarias resulta que dicha suma es igual a cero. Eso quiere decir, que si en un mercado el exceso de demanda es cero, tambi[en lo ser[a en el otro. Esta propiedad del modelo con que estamos trabajando se conoce como la Ley de Walras.
En su forma más general, la Ley de Walras establece que cuando se tienen mercados en los que participan agentes optimizadores, basta con que seá calcule el equilibrio en de ellos para garantizar que el último también esté en equilibrio.
Tomemos ahora una de las funciones de exceso de demanda, por ejemplo, el exceso de demanda en el mercado debienes, E[c], y encontremos el nivel de salario real que garantice que tal exceso de demanda es igual a cero.
Sólo con fines ilustrativos, comprobamos que el resultado es el mismo si en vez de resolver el equilibrio en el mercado de bienes lo hacemos en el mercado de trabajo.
El equilibrio puede visualizarse de varias formas. Un primer ejemplo aparece en las siguientes dos gráficas, las cuales corresponden al caso hipotético en el que y . Cada curva muestra respectivamente el exceso de demanda en el mercado de bienes y en el mercado de trabajo para distintos niveles del salario real, w. Resalta la forma que toman ambas curvas, donde una de ellas es aproximadamente la imagen de espejo de la otra, por virtud de la Ley de Walras. El lector podrá modificar el valor de los parámetros aludidos para hacer la estática comparativa del equilibrio general ante cambios en las formas de la función de utilidad y la función producción.
Los niveles de empleo en el equilibrio, t[e] , y de actividad económica, y=c[e], se determinan, respectivamente, sustituyendo la solución del salario de equilibrio, w[e], en la demanda, t[d] (u oferta, t[s]) de trabajo, y este resultado a su vez en la función producción, y[T].
Aunque las expresiones que aparecen arriba pueden parecer un tanto cuanto ilegibles, una rápida inspección nos permite llegar a un par de conclusiones interesantes:
El equilibrio general depende sola y precisamente de y de . Es decir, cualquier cambio en la asignación de recursos y, por lo tanto, cualquier variación en los niveles de actividad y empleo tendrían que darse como resultado de variaciones en las preferencias y/o en la tecnología
Sólo hay un precio en la economía: el salario real, w. Sin embargo, hay dos mercados, uno en el que se intercambian bienes y otro en el que se compra y vende el factor de la producción T. Esto es el resultado de que escogimos como numerario a los bienes de consumo cuyo precio, en términos de sí mismo es igual a la unidad, por definición. En otras palabras, en un entorno como el modelado en esta sección del curso, lo que importa en la determinación del equilibrio y la distribución del ingreso son los precios relativos y no sus niveles absolutos.
1.2.5 El Equilibrio General y el bienestar de la sociedad.
La gráfica que aparece a continuación, muestra la posición de la función de utilidad, U, y de la frontera de posibilidades de producción, alrededor del equilibrio general.
La curva cóncava hacia abajo y de color azul corresponde a las combinaciones de producción c[s], y ocio H-t[s] que resultan del ejercicio de optimización de las empresas. Por su parte, la línea convexa y de color negro es la curva de indiferencia para un nivel de utilidad equivalente al que se obtiene cuando el consumidor representativo determina su demanda de bienes, c[d], y oferta de trabajo, t[s], al nivel del salario real de equilibrio w[e]. El resultado puede resumirse como sigue:
En el equilibrio, la tasa marginal de sustitución de los consumidores es igual a la tasa marginal de transformación de las empresas. Dicha tasa corresponde al nivel del salario real, ' w, y se desprende del hecho de que ambas curvas son tangentes entre si en dicho equilibrio
Dadas las decisiones de los productores, las familias no pueden alcanzar una combinación más satisfactoria de consumo y ocio que la que tienen en el equilbrio. Toda vez que las curvas de indiferencia no se cruzan entre si, como vimos al principio de este capítulo, cualquier otro punto sobre la frontera de producción correspondería a curvas de indiferencia con un menor nivel de bienestar.
Toda vez que la frontera de posibilidades de producción proviene del ejericicio de optimización de las empresas, tenemos que concluir que los productores están asignando optimamente los recursos en cada punto.
Por lo tanto, en esta sociedad hipotética de agentes optimizadores, el resultado de decisiones individuales enfocadas a maximizar los objetivos de cada persona, se traducen a través de su correncia en el mercado, en resultados de producción y asignación que maximizan el bienestar colectivo.
1.2.6 Usando el Modelo
Pregunta 1. ¿Qué tan diferentes pueden ser los países?
De acuerdo con los resultados que se presentaron anteriormente, las únicas razones por las cuales la economía de un país puede ser diferente a la de otro son diferencias en tecnología o en preferencias. La gráfica siguiente presenta los niveles que mostraría el Producto Nacional Bruto per capita de un país para distintos valores de y dentro de un rango entre 0.1 y 0.9. Dicha gráfica sugiere que es posible observar grandes diferencias en el ingreso per capita en un mundo con individuos optimizadores. Por ejemplo, la economía más pequeña registra un PNB per cápita de aproximadamente 1, mientras que la más grande toma un valor de alrededor de 16.
Claro esta que las diferencias se deben, en parte a las preferencias y en parte a la tecnología. Si rotamos la gráfica, colocando el cursor sobre ella, de manera que desaparezca el eje , veremos exclusivamente el efecto de cambios en . En ese caso, y aun si el valor de se mantiene en 0.9, veremos importantes diferencias en el PNB per capita, con rangos que van desde alrededor de 4 hasta 16. En consecuencia, según la teoría que subyace a este modelo, no son solamente las diferencias en tecnología las que explican la brecha entre naciones más ricas y las menos prósperas, sino que las preferencias pueden explicar una parte importante de estas discrepacias.
Pregunta 2. ¿Cómo se distribuye el ingreso entre trabajadores y empresarios?
En este modelo, el ingreso se distribuye entre trabajadores y propietarios de las empresas. Por eso, la pregunta que podemos contestar es qué proporción del Producto Nacional Bruto va a la nómina, y obviamente por diferencias, qué parte toma la forma de ganancias. La gráfica siguiente reporta los valores que toma el cociente n[e]/c[e], donde n[e], la nómina total que resulta de multiplicar los salarios en el equilibrio por el nivel de empleo en equilibrio, w[e] t[e]. Por su parte, c[e], es el producto nacional bruto.
Se observa que la distribución del ingreso depende exclusivamente de la tecnología. Es decir, para un nivel dado de , cambios en el valor de no se traducen en diferencias en la distribución del ingreso.
Se observa que la distribución del ingreso depende exclusivamente de la tecnología. Es decir, para un nivel dado de , cambios en el valor de no se traducen en diferencias en la distribución del ingreso. Adicionalmente, la participación de la nómina en el PNB es igual al parámetro .
Pregunta 3. ¿Es correcto equiparar mayores niveles de producción con mayores niveles de bienestar?
Antes de contestar la pregunta es necesario hacer algunas precisiones. En las secciones anteriores vimos que el equilibrio general se alcanzaba en el punto donde la frontera de posibilidades de producción y cierta curva de indiferencia eran tangentes entre sí. En dicho caso, era posible ver niveles de producción mayores, sin embargo el bienestar que dicha producción implicaba era menor puesto que se lograba a costa de un menor ocio. En consecuencia, el modelo reconoce que fuera del equilibrio es posible ver mayor producción y menor bienestar.
Sin embargo, si refraseamos la pregunta para saber si mayores niveles de producción de equilibrio corresponden a mayores niveles de bienestar, la respuesta será diferente..
La gráfica que aparece enseguida muestra varias curvas. Cada una de ellas describe la relación entre el nivel de producción de equilibrio, el cual cambia como resultado de variaciones en el valor del parámetro , para distintos niveles . En todos los casos, la relación es positiva, si bien se refleja el hecho de que la utilidad marginal del consumo es decreciente, puesto que a niveles de bienestar relativamente altos, se necesita de aumentos muy importantes en la producción para observar incrementos sucesivos en la satisfacción del público.
En síntesis, de acuerdo con este modelo, una mayor capacidad de producción es condición indispensable para elevar el bienestar de la sociedad.
Lecturas Recomendadas
El lector puede profundizar en las ideas presentadas en este capítulo consultando las secciones referentes a teoremas de bienestar y equilibrio general en los siguientes textos.
McCallum, Bennett. Monetary Economics. Mcmillan, New York, 1989
Parkin, Michael. Microeconomía. México, Pearson, 2001
Romer, David. Advanced Macroeconomics. McGraw Hill, New York, 1996
Varian, Hal. Intermediate Microeconomics. WW Norton, Cincinnati, 1999
