Laplace Transform (inttrans Package)

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Introduction

The laplace transform has a number of uses. One of the main uses is the solving of differential equations.

Let us first define the laplace transform:

int(f(t)*exp(-t*s), t = 0 .. infinity)

(1.1)

The invlaplace is a transform such that .

Algebraic, Exponential, Logarithmic, Trigonometric, Inverse Trigonometric, Hyperbolic, and Inverse Hyperbolic Functions

(2.1)

174/p^3-1344/p^5-672*a/p^4-112*a^2/p^3

(2.2)

(2.3)

(2.4)

(2.5)

(2.6)

(2.7)

laplace(sin(3*sqrt(t))/t^(1/4), t, p)

(3/8)*(Pi*3^(1/2)*2^(1/2)*exp(-9/(8*p))*(-BesselI(3/4, 9/(8*p))+BesselI(-1/4, 9/(8*p)))/p^(3/2))

(2.8)

invlaplace(sin(alpha/t)/t, t, p)

(2.9)

(2.10)

(2.11)

(2.12)

invlaplace(sinh(alpha/t)/sqrt(t), t, p)

(1/2)*((cosh(2*(alpha*p)^(1/2))-cos(2*(alpha*p)^(1/2)))/(Pi*p)^(1/2))

(2.13)

(2.14)

-(Int(BesselJ(0, _U)/_U, _U = p .. infinity))

(2.15)

Fresnel's C & S Integral

(1/4)*AngerJ(1/2, p^2/(2*Pi))-(1/4)*WeberE(1/2, p^2/(2*Pi))+(1/2)*((-sin(p^2/(2*Pi))+cos(p^2/(2*Pi)))/p)

(3.1)

invlaplace(((1/2-FresnelC(t^2))^2+(1/2-FresnelS(t^2))^2)/t, t, p)

Si(p^2/4)/Pi

(3.2)

(-1+LommelS2(1, 1/2, p^2/(2*Pi)))/Pi

(3.3)

Exponential, Sine, and Cosine Integral

(4.1)

(4.2)

(4.3)

(4.4)

Error Integral

exp(p^2/4)*erfc(p/2)/p

(5.1)

invlaplace(erf(sqrt(a*t))/sqrt(t), t, p)

Heaviside(-p+a)/(Pi*p)^(1/2)

(5.2)

(1-exp(p^2/4)*erfc(p/2))/p

(5.3)

invlaplace(exp(t^2)*erfc(t+a)/t, t, p)

(5.4)

Hankel's Functions 1 and 2

-I*2^(1/2)/(beta^(1/2)*(p-I*beta)^(1/2))

(6.1)

(6.2)

2^(1/2)*I/(delta^(1/2)*(p+delta*I)^(1/2))

(6.3)

(6.4)

Bessel and Modified Bessel Functions

1/2-p*EllipticK(2/(p^2+4)^(1/2))/(Pi*(p^2+4)^(1/2))

(7.1)

invlaplace(exp(-alpha/t)*BesselJ(0, beta/t)/t, t, p)

(7.2)

arccos(p)/(1-p^2)^(1/2)

(7.3)

Heaviside(p-beta)/(p^2-beta^2)^(1/2)

(7.4)

-2*ln((p^2+1)^(1/2)+p)/(Pi*(p^2+1)^(1/2))

(7.5)

invlaplace(exp(-mu/t)*BesselY(0, nu/t)/t, t, p)

BesselI(0, 2^(1/2)*(((mu^2+nu^2)^(1/2)-mu)*p)^(1/2))*BesselY(0, 2^(1/2)*(((mu^2+nu^2)^(1/2)+mu)*p)^(1/2))-2*BesselJ(0, 2^(1/2)*(((mu^2+nu^2)^(1/2)+mu)*p)^(1/2))*BesselK(0, 2^(1/2)*(((mu^2+nu^2)^(1/2)-mu)*p)^(1/2))/Pi