PDEtools パッケージは、E.S. Cheb-Terrab と K. von Bulow による研究 "A Computational Approach for the Analytical Solving of Partial Differential Equations", Computer Physics Communications 90 (1995): 102-116 に基づいて、偏微分方程式 (PDE) の解析的な解を見出すコマンドとルーチンの集まりです。このパッケージは PDE を解くために知られている方法を実装したものです。しかしながら、このパッケージはまた、これによりまだ自動的には解けない方程式の解を探したり、またパッケージが最も一般的ではない解を返すときに「異なる解」を探すことも可能にします。この目的のためには、コマンド dchange および コマンド pdsolve の オプション HINT (特に関数のヒント) を利用することができます。どちらも対応するヘルプページでより詳しく説明されています。

利用できる関数は:

これらのコマンドの短い説明は次の通りです。

build コマンドは、psolve により与えられる結果を取り込み、不定関数の最終的な数式を返します。(pdsolve により使われる方法が変数分離法または変数変換であるときに便利です。)

casesplit コマンドは、方程式系、および (または) 不等式を、方程式または不等式の列に分け、後者の正則な解の合併集合が元の方程式系の解の集合に等しくなるようにします。さらに、返される系の各々において、すべての微分的あるいは代数的に余分な部分が除去され、またすべての可積分条件が自動的に満たされます。この計算はパッケージ diffalg を使って実行されます。

charstrip コマンドは 1 階の PDE に付随する特性帯を評価します。すなわち、その PDE と同値な組の ODE の系を構築します。

dchange コマンドは、任意の代数的オブジェクト (PDE、多重積分、積分微分方程式など) において、手続きと同様に、変数変換を実行する。このコマンドは PDE のフォーマットを、解くのが難しいものから解けるものへ変換するのに役立ちます。

dcoeffs コマンドは、多項式微分方程式の係数を返します。代数的多項式の coeffs と全く同様です。

declare コマンドにより、関数および導関数を画面上に単純かつコンパクトに表示できます。典型的には、関数を、declare(f(x,y,z)); のように宣言すると、f(x,y,z) は 'f'として (すなわち、単に名前だけにより) 表示されます。また、導関数も添字付きの関数として「表示」され、また「プライムの変数」を宣言できますます。いいかえれば、1 変数の関数に対し、その変数に関する微分はプライム ' を付けて表示します。

difforder コマンドは、偏導関数の微分の全 (あるいは任意の特定の変数に関する) 階数 (あるいは偏導関数を含む式のすべて、または特定の変数に関する微分の階数の最大値を) 返します。

dsubs コマンドは、微分方程式の中に導関数を代入し、その結果の式が代入された導関数に依存しないようにします。

mapde コマンドは、PDE を、(現時点で実装されているいくつかの中の) 異なる形式で、おそらくより簡単に解ける PDE に写します。

PDEplot コマンドは、与えられた初期データに対して、1 階の線形 (または非線形) の偏微分方程式 (PDE) の解のプロットを生成します。

pdetest コマンドは、(PDEが解 sol によりゼロになるとき) 0 を返し、解が正しいことを示すか、または (提案された解に関して PDE を簡単化した後に得られる) 代数式を返し、解が間違っているかもしれないことを示します。

PDE が与えられたとき、pdsolve の主要な目的は、その解析的な解を求めることです。pdesolve が解くのを試みることが可能なPDE の種類、微分の階数、独立変数の個数については制限がありません。

separability コマンドは、与えられた PDE に対し、和や積による変数分離を通じて、どんな条件の下で完全解を得ることができるかを決定します。完全解とは、sum(diff_ord[i]+1,i=1..n) 個のパラメータに依存する解と定義されます。ただし、n は独立変数の個数で、diff_ord は各独立変数の関する PDE の微分の階数の最大値です。

splitstrip コマンドは、strip コマンドと同様に、PDE に付随する帯を評価しますが、この帯を、可能な場合、特性帯の ODE を引数として splitsys を呼び出すことにより得られる部分集合に分割します。

splitsys コマンドは、(ODE、PDE、代数式、またはそれらすべてからなる) 方程式の集合を部分集合に分割します。ここで、各部分集合の方程式は、それら自身の間で結び付けられますが、他の部分集合の方程式とは結び付けられません。

undeclare コマンドは以前になされた宣言を消去します。

この PDEtools パッケージの第1版は、リー変換群に関する PDE の不変性、すなわちリー理論を利用していません。この方法は、他の標準的な方法 (特に PDE 系を解くための方法) と同様、将来のバージョンには包含されると期待されます。現在のバージョンの他の制限については、ヘルプファイル pdsolve および dchange で指摘されています。

参考文献

E.S. Cheb-Terrab and K. von Bulow, "A Computational Approach for the Analytical Solving of Partial Differential Equations", Computer Physics Communications 90 (1995): 102-116.