新しい Physics パッケージが追加され簡単な計算からより高度な量子場理論に関する各種の物理計算を実現します。このパッケージには、例えば、Kronecker 記号、計量テンソル g_[mu, nu] 、Pauli Dirac 行列、Indexed Differentiation Operator (微分演算子) d_[mu]、d'Alembertian、可換・非可換、および非可換変数と微分を含むそれらに関連した演算、繰返し添え字に対する和のルールの適用などを提供しています。このパッケージは、テンソルの表記などを用いて伝統的な力学系の問題の解法や研究に用いられます。さらには、ひも理論や場における典型的な超対称モデルの入力など、超空間で定義された量子場に対する各種の式表現による計算を実現します。詳細は、 New Packages in Maple 11 を参照してください。

厳密解を計算する微分方程式解法のための dsolve および pdsolve コマンドは、新しいアルゴリズムにより拡張されました:

dsolve コマンドは 1 次および 2 次の非線形 ODE 系クラスについて楕円関数解(JacobiPQ, WeierstrassP, WeierstrassPPrime)を計算できます。

pdsolve コマンドでは、自動化して方程式系の対称性から解を導出するためのまったく新しい計算機能を提供しています。これは、Maple V R5 以降、PDE 系の厳密解における最も重要な成果を代表しています。

PDEtools パッケージには、20 種の新コマンドが追加され、そのほとんどは基本アルゴリズムに基づき対称性のアプローチに関連しています。これらの詳細についても Updates to Differential Equation Packages をご覧ください。

新しい DifferentialGeometry パッケージは、ベクトル場の計算や微分形式とその変換、テンソル解析、ジェット空間上の計算、リー代数およびリー群、変換群などに対して特徴付けられたコマンドやサブパッケージの包括的な一式を提供しています。各種の計算はユーザが指定する座標系で実現されます。このパッケージには、de Rham 理論や 2 重複体(bicomplexes)に対する各種のホモトピー作用も提供しています; その他には リー代数の分解のためのプログラムや、そのリー代数から可解なリー群の構成のためのプログラムが提供されています。さらには、リー代数の各種の指標、ベクトルのリー代数、および数学・数理物理学から取り上げられている微分方程式についても含まれています。これらの詳細については、 New Packages in Maple 11 を参照してください。

Int(2*Ei(exp(x))/exp(x)*exp(exp(x))-Ei(exp(x))^2/exp(x), x);

value(%);

Int(BesselJ(nu+1,x)/BesselJ(nu,x), x);

value(%);

Int(exp(x)*HeunTPrime(a,b,c,exp(x))*HeunT(a,b,e,x)+HeunT(a,b,c,exp(x))*HeunTPrime(a,b,e,x), x);

value(%);

Int((1-a^2*JacobiSN(x, k)^2)^2, x);

value(%);

Int(1/(1+I*JacobiSC(x,k)), x);

value(%);

Int(JacobiDN(x,k)*JacobiCN(x,k)/JacobiNC(x,k), x);

value(%);

新規コマンド intsolve が線形の積分方程式を解くためのコマンドとしてライブラリに追加されています。このコマンドは、各種の積分方程式の閉形式の解を探し出します。例えば、第 1 種および第 2 種の Fredholm-Volterra 方程式で、既存の問題にマッチしない特殊なタイプの方程式については、まず初期条件を持った常微分方程式として表現することで扱われ、Maple の dsolve コマンドにより処理されます。オプションとして、このコマンドはラプラス変換を用いて計算するか、または Neuman の方法により解の級数近似を計算します。

f(x) + b*Int((x*y+x^2*y^2)*f(y), y = -1..1) = h(x);

intsolve(%, f(x));

ee := p(x) -1/2*Int(x*y*p(y),y=0....1) = 5/6*x;

intsolve(ee, p(x), method=Neumann, order=20);

intsolve(ee, p(x));

solve コマンドでは、いろいろな種類のパラメータを含む方程式や不等式に対して条件解(区分的な解)を返すことができるようになりました。1 変数または多変数の線形不等式系は関連する線形な表現の簡単な関数のタイプを含むものと同様に完全にサポートされます。条件解(区分的な解)は、パラメータに依存した区分関数(piecewise 関数)の形式で返されます。

solve([x>0,y>0,x+y<=4,x+y<a],[x,y]);

solve(abs(x + a) + abs(x + b) > 2, x);

solve(abs(x + a) + abs(x + b) > 2, x) assuming b > 2, a < 0;

solve([(x-1)*(x-2)*(x-3)=0,a*(x-1)<2+b*(x-1)],[x]);

_EnvConditionalSolutions := false;

solve([(x-1)*(x-2)*(x-3)=0,a*(x-1)<2+b*(x-1)],[x]);

[WeierstrassP(z,g2, g3), WeierstrassPPrime(z,g2, g3), WeierstrassSigma(z,g2, g3), WeierstrassZeta(z,g2, g3), discriminant = g2^3 - 27*g3^2];

eval(%, [g2 = 3*t^2, g3=t^3]);

map(Diff = diff, %[1..-2], t);

JacobiTheta3(z,q):
Diff(%, q) = diff(%, q);

`@@`(D[1],3)(f)(x):
Diff(%, x) = diff(%, x);

convert/Sum の機能が、与えられた点の付近で展開された表現を持つ総和形式(形式的な Laurent-Puiseux 級数)を計算するよう拡張されました。また、この総和形式は表現式内部の各関数を変換するだけではなく、大域的な表現となるよう計算されます。この新しいアルゴリズムは、可能である場合はその表現式をある線形常微分方程式(gfun[holexprtodiffeq] を参照)へとマップし、その形式的なベキ級数根(dsolve, formal_solution を参照)を計算します。従って、その計算途中では異なる方法も使われます(Slode を参照)。

convert(cos(x)*exp(x), Sum);

convert(exp(arcsin(x)), Sum);

convert(ln(x), Sum, x=1, dummy = k);

convert(Int(erf(t)/t, t=0..x), Sum, expansionvariable = x, dummy = k);

LREtools パッケージと SumTools パッケージが拡張されました。詳細は Enhanced Packages in Maple 11 を参照してください。

sum コマンドが未知関数についても無限級数を計算できようになりました。

Sum(u[n+1]-u[n], n);

value(%);

Sum(u[n+2]/(u[n+1]^p)-u[n+1]/(u[n]^p), n);

value(%);

Sum((n+1)^3*u[n+2]*v[n+1]^5+v[n+2]^3-n^3*u[n+1]*v[n]^5,n);

value(%);

Maple の整数係数多変数多項式の GCD 計算用ルーチンが、以前の実装よりも数倍のオーダーで高速に GCD を計算する新しいルーチンに置き換えられました。

新しいアルゴリズムは Zippel ベースのもので、Allan Wittkopf の博士論文 第 6 章で記述されている LINZIP アルゴリズムに基づいています。

Content, Expand, Gcd, Gcdex, Normal, Quo, Prem, Primpart, Rem, Resultant, および Sqrfree を mod で用いた際に 1 つ以上の RootOf を含む入力についても扱えるようになりました。

f := Expand((x+RootOf(_Z^2+2))*(x+1)) mod 11;

g := Expand((x+RootOf(_Z^2+3))*(x+1)) mod 11;

Gcd(f, g) mod 11;

h := Expand(f*g) mod 11;

Sqrfree(h) mod 11;

Groebner, PolynomialIdeals, および RegularChains の各パッケージがさらに拡張されています。詳細は Maple 11 で拡張されたパッケージ および Maple 11 における効率性の改善点 を参照してください。 

ln(z):
% = convert(%, arcsin);

%% = convert(%%, arccot);

(cosh(x)-sinh(x))^2/sinh(x)^2:
% = convert(%, coth);

polar(a,x):
% = convert(%, sin);

simplex[convexhull] コマンドに 3 つの新オプション output=area, output=hull, および output=plot を追加しました。詳細については対応するヘルプページを参照してください。

type コマンドで整数の分割を判定するための新しい partition を用意しました。

type( [ 1, 2, 2/3 ], 'partition' ); # not a list of positive integers

type( [ 1, 2, 3 ], 'partition' );