series - 一般化された級数展開
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使い方
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series(expr, eqn)
series(expr, eqn, n)
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パラメータ
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expr
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式
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eqn
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等式 (例 x = a) または名前 (例 x)
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n
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(オプション) 非負整数
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説明
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series 関数は、点 a における変数 x を n 次で打ち切った expr の級数展開を 計算します。a が無限大の場合は、漸近展開が与えられます。
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eqn が名前 x で評価されると、等式 が仮定されます。
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3 番目の引数 n がある場合は、その引数は級数計算の「打ち切る次数」を指定します。これは、実際の級数の打ち切り次数を意味するものではありません。詳細については、Order を参照してください。n がない場合は、「打ち切る次数」はグローバルな変数 Order によって決まります。Order には、任意の非負整数を指定することができます。Order のデフォルト値は 6 です。詳細については、Order を参照してください。
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級数が厳密でない場合は、「位数の項」(たとえば ) が級数の最後の項になります。
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ユーザー定義の関数で、series を呼び出すことができます。たとえば、プロシージャ `series/f` を定義すると、級数を計算する `series/f`(x,y,x) を関数コール series(f(x,y),x) によって呼び出すことができます。なお、このユーザー定義による関数 `series/f` は、多項式だけではなく必ず級数データ構造を返します (type/seriesを参照してください)。
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seriesを未評価の積分に使用する場合は、その積分の級数展開が (可能な場合に) 計算されます。
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series 関数の結果は、一般化された級数展開になります。この結果は、Taylor 級数、Laurent 級数、またはより一般的な級数の場合があります。形式的には、「一般化された級数」に含まれる係数は次のように表されます。
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a=infinity または a=-infinity の場合、それぞれ正の実数 x または負の実数 x についてのみ、級数展開が有効であることが保証されます。代入 を使用し、 として series を呼び出すと、リーマン球面の北極点周辺で有効な展開が得られます。
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通常は series 関数の結果は、級数データ構造の形式で表されます。データ構造の詳細については、type/series ヘルプページを参照してください。ただし、series 関数の結果は、分数指数を使用する必要がある一般化された級数の場合は、級数データ構造ではなく通常の積和形式で表されます。
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例
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series(x/(1-x-x^2), x=0);
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| (1) |
2 番目の引数が x の場合は、等式 を前提とします。
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| (3) |
3 番目の引数によって、級数計算の「打ち切る次数」が指定されます。
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series(x+1/x, x=1, 3 );
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| (4) |
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series(exp(x), x=0, 8 );
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| (5) |
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series(exp(x)/x, x=0, 8 );
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| (6) |
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series(GAMMA(x), x=0, 2 );
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| (7) |
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series(x^3/(x^4+4*x-5),x=infinity);
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| (8) |
| (9) |
| (10) |
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p:=series(x^x, x=0, 3);
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| (11) |
| (12) |
series 関数の結果は、分数指数を使用する必要がある一般化された級数の場合、級数データ構造ではなく通常の積和形式で表されます。
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s := series(sqrt(sin(x)), x=0, 4);
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| (13) |
| (14) |
| (15) |
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