BellB、IncompleteBellB、CompleteBellB は、それぞれ Bell 多項式、不完全な Bell 多項式（別称第二種 Bell 多項式）、完全な Bell 多項式を表します。Bell 多項式の詳細は、bell をご覧ください。

BellB 多項式は、第二種 Stirling 数 を用いて定義された、次数  の多項式。

IncompleteBellB 多項式の定義は、数列  （）を用いて次の数列を作ります。

ただし、n 番目の要素は次の通り。xxx

 とすると、IncompleteBellB 多項式は  個の要素を含む演算  を用いて次のように定義されます。

ここに、IncompleteBellB の出力は  変数について次数  の多変数多項式となることがわかります。この式の右辺には、数列  の最初の  項だけが関与します。従って、左辺の  は、最初の  項だけが意味を持ち、IncompleteBellB に入力として与えられていないものは 0 とみなされます。

 要素のひし形演算  による数列の最初の  項を計算するには、IncompleteBellB:-DiamondConvolution コマンドを使うことができます。このコマンドは、数列  の最初の  項を用いて  項の数列（最初の  項は 0 で、残りの  項は全て  変数について次数  の多項式）を戻します。IncompleteBellB とは違い、IncompleteBellB:-DiamondConvolution では数列  を、3 番目の引数にリストとして与えなければならないので注意してください。（例題のセクションを参照）

CompleteBellB 多項式は、IncompleteBellB 多項式を用いて次のように定義されます。

CompleteBellB に渡される数列  の項数が  よりも少ない場合、抜けているものは 0 とみなされます。

CompleteBellB、IncompleteBellB、IncompleteBellB:-DiamondConvolution は全て、 引数の一部として %seq や 'seq' の関数により生成された不活性数列を与えることができ、その場合計算はせず入力をそのまま戻します。

Bell 多項式は多くのアプリケーションで使われます。例えば、Faà di Bruno の公式は、

ただし、 は、 における  の k 階微分係数を表します。また、形式べき級数、xxx

その他、次の指数型部関数でも使われます。

BellB、IncompleteBellB、CompleteBellB の各コマンドは Maple 15 より導入されました。

Maple 15 の変更点についての詳細は、Maple 15 の更新情報 をご覧ください。

BellB(n, z) = Sum(Stirling2(n, k)*z^k, k=0..n);

eval((5.1), n = 4);

value((5.2));

seq('BellB'(n, z) = BellB(n, z), n=0..3);

Z := z[1], z[2], z[3], z[4], z[5];

IncompleteBellB(0, 0, Z);

IncompleteBellB(0, 1, Z), IncompleteBellB(1, 0, Z);

IncompleteBellB(1, 2, Z), IncompleteBellB(2, 3, Z), IncompleteBellB(3, 4, Z);

IncompleteBellB(n, n, Z) = Z[1]^n;

eval((5.9), n=3);

IncompleteBellB(n, k, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) = Stirling2(n, k);

eval((5.11), {n=7, k=4});

IncompleteBellB(n, k, %seq(j!, j=1..(n-k+1))) = binomial(n,k)*binomial(n-1,k-1)*(n-k)!;

eval((5.13), {n=8, k=3});

value((5.14));

IncompleteBellB:-DiamondConvolution(4, 2, [Z]);

IncompleteBellB(4, 2, Z);

IncompleteBellB:-DiamondConvolution(5, 3, [Z]);

IncompleteBellB(5, 3, Z);

CompleteBellB(5, Z);

Bell, E. T. "Exponential Polynomials", Ann. Math., Vol. 35 (1934): 258-277.