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Groebner[ToricIdealBasis] - トーリックイデアルの Groebner 基底計算
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使い方
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ToricIdealBasis(A, v, T, opts)
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パラメータ
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A
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トーリックイデアルを定義する整数要素の行列
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v
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変数のリスト
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T
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単項式順序かその短い記述
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opts
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keyword=value の形式のオプション
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説明
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ToricIdealBasis コマンドは整数要素の行列 A によって定義されるトーリックイデアルの、単項式順序 T に関する簡約 Groebner 基底を計算します。a[i] を A の第 i 列目とします。ToricIdealBasis(A, v, T) は消去イデアル <v[1] - x^(a[1]), ..., v[n] - x^(a[n])> の T に関する簡約 Groebner 基底と K[v] との共通部分を計算します。
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第 1 引数 A は整数要素の 行列 (Matrix) でなくてはなりません。それ以外ではエラーになります。
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オプションの method=hs または du は ToricIdealBasis で用いられる計算アルゴリズムを指定します。'hs' は Hosten, Sturmfels (GRIN) のアルゴリズム、'du' は Di Biase, Urbanke のアルゴリズムを表します。指定がなければ 'hs' が使われます。
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オプションの grading=table([v[1]=w[1], ..., v[n]=w[n]]) は変数 v の重みの系を指定します。Hosten, Sturmfels のアルゴリズムは各変数の正の重みに関して斉次であることを仮定しています。明白な重みの系は A の、全ての要素が正の行によって与えられます。'hs' アルゴリズムは自動的にこの重みの系を見つけ、計算に用います。しかしこのオプションを用いて指定することもできます。w[i] の重みは全て正でなくてはなりません。
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例
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Lawrence リフティングの Groebner 基底による原始分割恒等式
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A := Matrix(6, 8, [[1,1,1,1,0,0,0,0], [1,2,3,4,0,0,0,0], [1,0,0,0,1,0,0,0], [0,1,0,0,0,1,0,0], [0,0,1,0,0,0,1,0], [0,0,0,1,0,0,0,1]]);
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| (4.1) |
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zs := [seq(z[i],i=1..8)];
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![zs := [z[1], z[2], z[3], z[4], z[5], z[6], z[7], z[8]]](/support/helpjp/helpview.aspx?si=1584/file00584/math146.png)
| (4.2) |
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grd := table([seq(zs[i]=1,i=1..8)]);
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![grd := TABLE([z[8] = 1, z[1] = 1, z[3] = 1, z[2] = 1, z[4] = 1, z[5] = 1, z[6] = 1, z[7] = 1])](/support/helpjp/helpview.aspx?si=1584/file00584/math153.png)
| (4.3) |
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ToricIdealBasis(A, zs, plex(op(zs)), method = 'hs', grading = grd);
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![[z[2]*z[4]*z[7]^2-z[3]^2*z[6]*z[8], -z[2]*z[3]*z[5]*z[8]+z[1]*z[4]*z[6]*z[7], z[1]*z[4]^2*z[7]^3-z[3]^3*z[5]*z[8]^2, z[1]*z[3]*z[6]^2-z[2]^2*z[5]*z[7], z[1]^2*z[4]*z[6]^3-z[2]^3*z[5]^2*z[8]]](/support/helpjp/helpview.aspx?si=1584/file00584/math160.png)
| (4.4) |
説明のため、F4 アルゴリズムと Groebner walk を用いてこれらの基底を再計算します。
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sys := [seq(zs[i] - mul(x[j]^A[j,i], j=1..6), i=1..8)];
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![sys := [z[1]-x[1]*x[2]*x[3], z[2]-x[1]*x[2]^2*x[4], z[3]-x[1]*x[2]^3*x[5], z[4]-x[1]*x[2]^4*x[6], z[5]-x[3], z[6]-x[4], z[7]-x[5], z[8]-x[6]]](/support/helpjp/helpview.aspx?si=1584/file00584/math169.png)
| (4.5) |
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X := [seq(x[j], j=1..6)];
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![X := [x[1], x[2], x[3], x[4], x[5], x[6]]](/support/helpjp/helpview.aspx?si=1584/file00584/math176.png)
| (4.6) |
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G := remove(has, Basis(sys, lexdeg(X, zs), method=direct), X); # tdeg basis in zs
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![G := [z[2]*z[4]*z[7]^2-z[3]^2*z[6]*z[8], -z[2]*z[3]*z[5]*z[8]+z[1]*z[4]*z[6]*z[7], z[1]*z[3]*z[6]^2-z[2]^2*z[5]*z[7], z[1]*z[4]^2*z[7]^3-z[3]^3*z[5]*z[8]^2, z[1]^2*z[4]*z[6]^3-z[2]^3*z[5]^2*z[8]]](/support/helpjp/helpview.aspx?si=1584/file00584/math183.png)
| (4.7) |
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Walk(G, tdeg(op(zs)), plex(op(zs)));
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![[z[2]*z[4]*z[7]^2-z[3]^2*z[6]*z[8], -z[2]*z[3]*z[5]*z[8]+z[1]*z[4]*z[6]*z[7], z[1]*z[4]^2*z[7]^3-z[3]^3*z[5]*z[8]^2, z[1]*z[3]*z[6]^2-z[2]^2*z[5]*z[7], z[1]^2*z[4]*z[6]^3-z[2]^3*z[5]^2*z[8]]](/support/helpjp/helpview.aspx?si=1584/file00584/math190.png)
| (4.8) |
Sturmfels の "Groebner Bases and Convex Polytopes" における Example 12.7:
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B := Matrix(4, 8, [[1,2,3,4,0,1,4,5], [2,3,4,1,1,4,5,0], [3,4,1,2,4,5,0,1], [4,1,2,3,5,0,1,4]]);
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| (4.9) |
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ToricIdealBasis(B, zs, plex(op(zs)));
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![[z[4]^4-z[6]*z[8]^3, z[3]^4-z[5]*z[7]^3, -z[4]^3+z[2]*z[8]^2, z[2]*z[4]-z[6]*z[8], -z[6]*z[4]^2+z[2]^2*z[8], -z[4]*z[6]^2+z[2]^3, -z[3]^3+z[1]*z[7]^2, z[1]*z[3]-z[5]*z[7], -z[3]^2*z[5]+z[1]^2*z[7], z[1]^3-z[3]*z[5]^2]](/support/helpjp/helpview.aspx?si=1584/file00584/math207.png)
| (4.10) |
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参考文献
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Sturmfels, B. "Groebner Bases and Convex Polytopes.", University Lecture Series, no. 8. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 1996.
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Hosten, Serkan and Shapiro, Jay. "Primary Decomposition of Lattice Basis Ideals." Journal of Symbolic Computation, (May 2000): 625-639.
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Di Biase, Fausto and Urbanke, Rudiger. "An Algorithm to Calculate the Kernel of Certain Polynomial Ring Homomorphisms." Experimental Mathematics, (1995): 227-234.
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