最初の二つの呼び出し手順、すなわち、与えられた PDE、あるいは連立 PDEs 、ことによると ODEs 、代数的規則、そして不等式に関して、pdsolve 関数の主な目的は解析解を見つけることにあります。これらは、微分の階数、あるいは pdsolve が解こうと試みることができる PDEs または連立 PDE の従変数および独立変数の個数に全く制限されません。

残る二つの呼び出し手順に関して、pdsolve は入力した PDE または 連立 PDE の数値解を見つけます。pdsolve のこのような使用方法や、数値的に解けるような PDE の型、そして任意の numeric-specifif についての詳細は pdsolve/numeric をご参照ください。

このページの以下では、単独の PDE を完全に解く解法に関して議論します。連立 PDE を完全に解く解法のヘルプは pdsolve/system をご参照ください。

pdsolve コマンドは、標準的な計算法で解ける PDE の族の数を見つけます。与えられた PDE が認識されていない族のものであった場合、pdsolve は発見的なアルゴリズム、すなわち PDE の指定された構造に基づいて変数分離を行う方法を使用します。

pdsolve を使用する戦略としては、与えられた PDE の最も一般的な解を見つけるため、あるいは最悪な場合、完全な変数分離を見つけるために使用します。したがって、うまくいった場合のコマンドは以下のうちの一つを返すことになります :

- 一般解

- 疑似の一般解 ( 任意の関数を含むが、十分な数を含むわけではなく、あるいは一般解を構成することができるほどの変数をもたないような解 )

- 分離した全ての変数を含む分離された ODEs の集合、あるいは ( オプションの INTEGRATE が指定された場合 ) この集合を積分して得られた完全な解

不完全な変数分離となった場合、関数は再び自身を呼び出し ( より小さい問題を含みます ) 、ことによると解の異なった計算法を使用することになります。もし、より小さい問題を解けなかった場合は、不完全な ( 警告メッセージを含んだ ) 変数分離を返します。

デフォルトの pdsolve の結果は、三つの形式の一つで返されます。

a) PDE の一般解を得た場合、関数は不定関数のために簡潔な結果を返します。

PDE := x*diff(f(x,y),y)-y*diff(f(x,y),x) = 0;

pdsolve(PDE);        # _F1 is an arbitrary function

b) 解を得たが、最も一般的な解ではなかった場合、pdsolve は内部の PDESolStruc 関数を用いて結果を表現し、最初の引数としての不定関数のために見つけた関数形式を含む &where を使用して出力します。二番目の引数は、任意の関数または pdsolve によって導入された変数の変更と同様に、変数を切り離している間に見つかった任意の ODEs からなるリストを含むことになります。PDESolStruc は、ユーザが得られた特殊解を見ることができます。この場合、不定関数、特殊解のための明らかな結果は、build を含んだ pdsolve を呼び出すか、PDEtools[build] のコマンドを使用したこの PDE の解の構造の形式で得ることができます。詳細は例をご参照ください。

c) pdsolve がうまくいかない場合、NULL を返します。

使用者は環境変数 _EnvBuildPdsolve に 1 または 2 を割り当てることで結果の表現の方法のデフォルトを変更することができます。デフォルトで、_EnvBuildPdsolve には 1 が割り当てられています。_EnvBuildPdsolve に 2 を割り当てた場合、pdsolve は得られた結果の一般性の如何によらず、常に簡潔な解を構築することを試みます。

PDE := x*diff(f(x,y),y)-diff(f(x,y),x)=f(x,y)^2*g(x)/h(y);

ans := pdsolve(PDE);

pdetest(ans,PDE);

PDE := Diff(r^2*diff(F(r,theta,phi),r),r)
+ 1/sin(theta)*Diff(sin(theta)*diff(F(r,theta,phi),theta),theta)
+ 1/sin(theta)^2*diff(F(r,theta,phi),phi,phi) = 0;

ans := pdsolve(PDE);

simplify( pdsolve(PDE, build), size) assuming 0 <= theta, theta <= Pi;

PDE := -diff(S(t,xi,eta,phi),t) =
1/2*diff(S(t,xi,eta,phi),xi)^2*(xi^2-1)/sigma^2/m/(xi^2-eta^2)
+ 1/2*diff(S(t,xi,eta,phi),eta)^2*(1-eta^2)/m/sigma^2/(xi^2-eta^2)
+ 1/2*diff(S(t,xi,eta,phi),phi)^2/m/sigma^2/(xi^2-1)/(1-eta^2)
+ (a(xi)+b(eta))/(xi^2-eta^2);

ans := pdsolve(PDE);

pdetest(ans,PDE);

PDE := S(x,y)*diff(S(x,y),y,x) + diff(S(x,y),x)*diff(S(x,y),y) = 1;

struc := pdsolve(PDE,HINT=f(x)*g(y));

PDEtools[build](struc);

pdsolve(PDE,HINT=P(x,y)^(1/2));

PDE := diff(f(x,y,z),x) + diff(f(x,y,z),y)^2 = f(x,y,z)+z;

pdsolve(PDE,HINT=strip);

E.S. Cheb-Terrab and K. von Bulow. "A Computational Approach for the Analytical Solving of Partial Differential Equations". Computer Physics Communications 90 (1995): 102-116.