解法の過程は二つのステップからなります。

1.  方程式系は、多項式方程式系に対して differential algebra のテクニックを用いて最初の三角化を行います。未知変数とそれらの導関数と非多項式係数を含む有理連立常微分方程式であった場合、微分拡大によって多項式形式の方程式系に書き直すことで、三角化 - 連続微分と呼ばれるもの - を実行します。( PDEtools[dpolyform] をご参照ください。 )

自然な微分代数消去の本質は、この最初のステップがいつも次のような ( ことによると多くの ) 常微分方程式、または代数方程式を生成することです。

- それぞれの常微分方程式と代数方程式の非特異解の組は、もとの連立常微分方程式の一般解と特異解の集合に等しくなります。

- もとの常微分方程式が準定義されなければ、ステップ 1 で生じる常微分方程式の一つは、唯一の未知変数によって定まります。

2.  唯一の未知変数で定まった常微分方程式が解ければ、その未知変数を他の常微分方程式に代入することで取り除くことができます。自然な微分消去の過程は、当然、この一つの未知変数を取り除いた後に、別の唯一の変数から定まる常微分方程式が得られることになります。

ステップ 2 は、ステップ 1 で得られた全ての常微分方程式を解くまで繰り返します。この結果、もとの連立常微分方程式の解を得ることができます。

連立線形常微分方程式で成功した場合、dsolve は独立変数で表された全ての未知変数を含む一つの解の集合 (sets) を返します。

連立非線形常微分方程式の場合、dsolve はデフォルトでは、( もしあるならば ) 特異解を含む解の列を返します。これらの特異解は、( 積分定数 _Cn が現れる ) 解空間の次元が一般解の次元より低いという事実によって特定することができます。

非線形の場合、それぞれの解は方程式系の各々の ( ことによると多くの ) 未知変数を見つけるための解を含んだ集合の要素のリスト (list) として返されます。最初の集合は独立変数に関する一つの未知変数の解を含むリストの中に現れます。次の集合は最初に解かれた未知変数と独立変数に関する他の未知変数で表されます。詳細は例をご参照ください。このように、解を可能な限り簡潔な形で表すことで、解法の簡単な解析を可能にします。ただし、解法のオーダーに依存しているため、解の形式は全く異なっている場合があることに注意してください。

dsolve が二番目のステップ、または最初のステップでさえうまくいっているならば、得られる解の形は各々の集合が独立変数を右辺に含んでいるような解の形で、全ての未知変数を含んでいる集合の列、または簡潔な解の形として影響を受けます。このような簡潔な解の形を得るためには、dsolve にキーワードを加えてください。ただし、この形で表された解はどのようにして方程式系を分離、または解いたのかは示せず、上記にあるような通常の解の形よりはるかに大きく現れることに注意してください。簡潔な解の形は、より高度な簡略化と積分の過程が関わるため、より多くの時間が顕著にかかることがあります。

dsolve が部分的にうまくいっているならば、それぞれの " 解のリスト " の要素は集合かリストのどちらかとなります。この集合は、リストに未解決の微分方程式が含まれている間は、解を含んでいます。より簡単に解ける可能性があるため、これらの部分的な解を持つことには価値があります。例えば、未解決の方程式の数がより少ないかもしれないし、微分のオーダーがより低いかもしれません。これらに関しましては、例をご参照ください。

デフォルトでは、連立常微分方程式のみが与えられた場合、dsolve は未知変数の方程式系に関する全ての未知変数を提示することを考えます。これらは解の変数と呼ばれます。このデフォルトは、解の変数を未知関数の名前 ( 例えば  {f, g, ...}) 、または未知関数 ( 例えば {f(x), g(x), ...}) の集合 (set) かリスト (list) として指定した dsolve によって、変更することができます。

解の変数が集合 (set) としての未知変数とそれらの導関数で表された有理連立常微分方程式に対し、方程式系を分離するための dsolve によるオーダーの選択は、 PDEtools[casesplit] の三角化のコマンドを実行することで選ぶことができます。解の変数が [f, g, h] のようなリスト (list) として与えられた場合、分離のオーダーは、h のみからなる常微分方程式、他の常微分方程式の中で {g, h} のみからなるもの、さらに別の常微分方程式の中で {f, g, h} のみからなるものから得ることができます。このような三角化がうまくいかない場合、dsolve は h のみの常微分方程式を最初に解き、次に {g,h} (h のみの常微分方程式が未解決でも、h は既知であるとして ) からなる方程式を解き、最後に {f, g, h} ( 同様に {h, g} は既知であるとして ) からなる方程式を解きます。

未知変数の " 解のオーダー " の概念は、微分代数の " ランク " の概念 ( ランクに関しては rifsimp[ranking] をご参照ください。) と同様のものとなります。事実上、dsolve による " 解のオーダー " への指摘は、diffalg や DEtools[Rif] などのパッケージの一つを使用したときの " ランク " と同様に、より詳述することができます。例えば、未知変数が [{f, g}, h, {j, k}] として与えられた場合、f は g より ( または反対に ) 優先されて h は三番目にランク付けされるか、そして j が k より優先されるかを dsolve は決定します。この柔軟性は、連立非線形常微分方程式を解く上で非常に役立つことになります。それは、解のオーダーが微小に変化するところでは微分の形をしているが、そうでないところでは (dsolve において ) 非可解であるような問題の解法などに見られます。

解の変数を示すか上記のような解のオーダーの選択に加え、オプションとして parameters=P を一つ使用することができます。この P は、低い演繹的な解の変数の集合かリストとなり、この意味はこれらがいつも上記で説明された解の変数のリストの最後に表れるということになります。P がリストとして与えられた場合、特定のオーダーを選ぶためのルールは、ちょうど上記の解の変数で説明されたものとなります。

非有理な未知変数に依存している方程式系を解くために用いるスキームは、以下に従ってまとめられています。

1) 方程式系の全体は、それぞれの準方程式系の中では結合されていて、その他の準方程式系では独立してしているような常微分方程式の準方程式系に分けられます ( 詳細は PDEtools[splitsys] をご参照ください ) 。

2) それぞれの準方程式系は、他の準方程式系の常微分方程式を用いずとも解けるような準々方程式系を探すことによって解析されます。このステップは、準方程式系の全体が解決するか、どのような準方程式系も存在しなくなるまで繰り返されます。この場合、dsolve はステップ 3) へ進みます。

3) このステップは、ステップ 2 で扱われた準方程式系を減少させるための、三つの微分代数アルゴリズムからなります。

上記のスキームが成功した場合、互いに分離し、独立した常微分方程式の答えを得ることができます。これは、dsolve がどの関数から実行すべきかを決定する場合などに役立ちます。例えば、最初は f で次に g と決めることができます。これは、二番目の要素 ( 不定の関数 ) として、集合の変わりに ( [f, g] のような ) リストを与えることによって行うことができます。これは、最初の f か g が同等である場合のみ実行されます。

分離された常微分方程式の一つが dsolve によって解けなかった場合、このコマンドは前のものが既に解かれたものとして次の常微分方程式に進みます。そして、解には一つ、または多くの未解決の常微分方程式を含むことになります。

非有理連立常微分方程式の出力に関しては、上記の有理連立常微分方程式と同様のものとなります。

デフォルトでは、連立常微分方程式が非線形である場合の dsolve の出力には、別々の解のリストか集合に方程式系の特異解も含むことになります。このことは、 PDEtools[casesplit] の中で方程式系を分離する場合とそれらを解く場合のどちらにおいても、特異な場合を計算することになります。これらの計算は一般解の計算よりも多くの時間を費やすことになりますが、多くは特異な計算は避けることができます。これは、オプションがこの振る舞いを抑える可能性があることに理由付けられます。オプションに singsol=false を与えることで、これらの特異解は計算せず、全く時間を費やすことはありません。

連立常微分方程式が解けた場合、( 与えた積分定数による ) 解空間の次元は、方程式系の " 見かけの微分の階数 " だけでなく、様々な要素に依存しています。これらのいくつかでは、検討する解が次元の最小値を持っていることがあります。この場合、 N ( 正の整数 ) より小さい次元の解を捨てるため、オプションとして mindim=N を使用します。連立非線形常微分方程式に対するこのオプションは、低次元の場合を計算して解くために全く時間を費やさないので、計算の過程を高速にしてくれるかもしれません。解を一つしか返さないような線形常微分方程式では、もしこの一つの解の次元よりも大きな N を指定してしまうと、dsolve は NULL を返します。

デフォルトでは、dsolve は、連立常微分方程式には DEtools[Rifsimp] パッケージを使用し、非線形方程式系には diffalg パッケージを使用して、全ての微分消去の過程を計算します。このデフォルトは、オプションとして rif または RIF を与えることで換えることができます。独立した連立偏微分方程式の場合、計算には Rif パッケージを使用します。dsolve の出力についての、さらに深い数学的な決まりに関しては、solve, dsolve そして int の使い方に関するページをご参照ください。