呼出手順 DiscriminantVariety() は方程式および不等式システム  の discriminant variety を変数  およびパラメータ  について計算します。

呼出手順 DiscriminantVariety() は方程式および不等式システム

の discriminant variety を変数  およびパラメータ  について計算します。

discriminant variety は特異点、重複度が  より大きい解や  での解を含むシステムのすべての臨界点を表す 1 変数多項式の判別式の一般化として考えることができます。低次元のパラメータ空間のサブセットになります。詳細については、下記「リファレンス」に挙げられている D. Lazard および F. Rouillier による論文を参照してください。

discriminant variety は、同一オープンセル (open cell) から選択されたパラメータ値に対してシステム  の解の数が一定になるように、パラメータ空間を開いた、最大次元のセルに分割するという特性を持っています  (CellDecomposition 参照)。

入力システムは以下の特性を満たす必要があります：

方程式の数は最低でも変数の数と同じである。

ほとんどの複素パラメータ値に対して最低でも 1 つ、最大でも有限数の複素解が存在する (すなわち、システムは一般的に可解で、一般的に 0 次元である)。

ほとんどの複素パラメータ値に対して解の重複度は  を上回らない (すなわち、システムは一般的に根基である)。具体的には、入力方程式に平方因子は含まれていない。

上記のいずれかの条件に違反すると、エラーメッセージが返されます。

結果は discriminant variety が各内部リストの多項式の解集合の和になる  の多項式のリストリストとして返されます。

 が省略されている場合、 における変数ではないすべての名前がデフォルトで使用されます。

このコマンドは最小の discriminant variety の計算を試みますが、失敗した場合は適当な上位集合を返します。

discriminant variety は Groebner basis (グレブナ基底) の手法を使用して計算されます。

このコマンドは RootFinding[Parametric] パッケージの一部であるため、DiscriminantVariety(..) 形式での利用はその前に with(RootFinding[Parametric]) コマンドが実行されている場合に限ります。ただしコマンドをロングフォーマット RootFinding[Parametric][DiscriminantVariety](..) で指定すると、いつでも利用可能です。

with(RootFinding[Parametric]):

DiscriminantVariety([a*x^2=1,y+b*z=0,y+c*z=0,c>0],[x,y,z]);

DiscriminantVariety([x^2+a*x+b=0],[x]);

DiscriminantVariety([x^6+a*x^2+b],[a],[x],[a,b]);

DiscriminantVariety([x^6+a*y^2-a=0,x^6+a*y^2-b=0],[x,y]);

Error, (in RootFinding:-Parametric:-DiscriminantVariety) cannot solve the system: there is a nontrivial relation between the parameters, a-b

DiscriminantVariety([x^2+y^2=a^2,x=a],[x,y]);

Error, (in RootFinding:-Parametric:-DiscriminantVariety) cannot solve the system: either there are infinitely many complex solutions, or there are solutions of multiplicity > 1, for almost all parameter values

DiscriminantVariety([x=a*y,y=a*z,x=a^2*z],[x,y,z]);

Error, (in RootFinding:-Parametric:-DiscriminantVariety) cannot solve the system: either there are infinitely many complex solutions, or there are solutions of multiplicity > 1, for almost all parameter values

DiscriminantVariety([-z^2+z*x-y^2+y=0, -z^2+z*x+y*x-y-x+1=0, z^2-z*x+y^2-2*y+y*x-x+1=0],[y,z]);

Lazard, D., and Rouillier, F. "Solving parametric polynomial systems." Journal of Symbolic Computation. (2007).