compute the inverse of a matrix modulo a regular chain

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RegularChains[MatrixTools][MatrixInverse] - compute the inverse of a matrix modulo a regular chain

	Calling Sequence
	MatrixInverse(A, rc, R)

Parameters

A	-	square Matrix with coefficients in the ring of fractions of R
rc	-	regular chain of R
R	-	polynomial ring

Description

•	The command MatrixInverse(A, rc, R) returns two lists.

•	The first list the command returns is a list of pairs where is a regular chain and is the inverse of A modulo the saturated ideal of .

•	The second list the command returns is a list of triplets where is a regular chain and A is the input matrix such that A is not invertible modulo the saturated ideal of .

•	All the returned regular chains form a triangular decomposition of rc (in the sense of Kalkbrener).

•	It is assumed that rc is strongly normalized.

•	The algorithm is an adaptation of the algorithm of Bareiss.

•

This command is part of the RegularChains[MatrixTools] package, so it can be used in the form MatrixInverse(..) only after executing the command with(RegularChains[MatrixTools]). However, it can always be accessed through the long form of the command by using RegularChains[MatrixTools][MatrixInverse](..).

Examples

Automatic case discussion.

(1)

Assume we have two variables y and z that have the same square and z is a 4th root of -1. Suppose we need to compute modulo this relation.

(2)

m := Matrix([[1, y+z], [0, y-z]])

(3)

We want to compute the inverse of the previous matrix.

mim := [[[Matrix([[1, 0], [0, (1/2)*z^3]]), regular_chain]], [["noInv", Matrix([[1, y+z], [0, y-z]]), regular_chain]]]

(4)

Let us check the first result.

m1 := Matrix([[1, 0], [0, (1/2)*z^3]])

(5)

Matrix([[1, 0], [0, 1]])

(6)

Consider now this other matrix.

m := Matrix([[1, y+z], [2, y-z]])

(7)

mim := [[[Matrix([[1, 0], [-z^3, (1/2)*z^3]]), regular_chain], [Matrix([[0, 1/2], [-(1/2)*z^3, (1/4)*z^3]]), regular_chain]], []]

(8)

m1 := Matrix([[1, 0], [-z^3, (1/2)*z^3]])

(9)

m2 := Matrix([[0, 1/2], [-(1/2)*z^3, (1/4)*z^3]])

(10)

Matrix([[1, 0], [0, 1]])

(11)

Matrix([[1, 0], [0, 1]])

(12)

Get a generic answer that would hold both cases.

clr := [[Matrix([[(1/2)*y*z^3+1/2, -(1/4)*y*z^3+1/4], [-(3/4)*z^3+(1/4)*z^2*y, (3/8)*z^3-(1/8)*z^2*y]]), regular_chain]]

(13)

Check.

Matrix([[1, 0], [0, 1]])

(14)

	See Also
	Chain, Empty, Equations, IsStronglyNormalized, IsZeroMatrix, JacobianMatrix, LowerEchelonForm, MatrixCombine, MatrixMultiply, MatrixOverChain, MatrixTools, NormalForm, PolynomialRing, RegularChains