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PDEtools[ConsistencyTest] - 指定の方程式系に対する整合性の有無を検証する
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使い方
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ConsistencyTest(S, PDESYS, DepVars)
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パラメータ
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PDESYS
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1 つの PDE またはそのセットかリスト。ODE は包含できるが微分方程式や不等式は包含できない
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DepVars
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オプション - 必須の場合があり、問題の従属変数であることを示す 1 つの関数またはそのリスト
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outputthesystem
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オプション - 系の可積分性の条件に応じて簡約化した系等価な PDESYS を返す
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no_Fn
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outputthesystem に関するオプションの引数で、プロセスに導入されるすべての補助関数  (n は整数) を出力前に排除するように指定する
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説明
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ConsistencyTest は、不等式が含まれる場合があり、微分方程式が関係する場合と関係しない場合がある方程式の系について、その整合性の有無を検証します。方程式の中に他と矛盾する場合がある場合、その系は不整合になります。解を得るためには、系は最初の段階から整合していなければなりません。
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DepVars が指定されないと、ConsistencyTest は PDESYS 内のすべての微分未知関数を解に対して未知とみなします。
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デフォルトでは、ConsistencyTest は true または false を返します。オプションの引数 outputthesystem が指定されたときに系に整合性がある場合、ConsistencyTest は、微分多項式形式の PDESYS を表す、式、不等式、置換用の関数という 3 つのリストを返します。この場合の式と不等式は、この PDESYS の可積分性に応じて簡約した PDESYS に等価となります。このように返される 3 つのリストは、dpolyform を使用しても計算できますが、ConsistencyTest による計算の方が演算回数が少なくなります。PDESYS が不整合な場合に outputthesystem が指定されると、ConsistencyTest から NULL が返されます。
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outputthesystem を指定している場合に補助関数を使用せずに出力を得るには、追加のオプション引数 no_Fn を使用します。
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例
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| (4.1) |
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![sys[1] := [diff(f(x, y), y, y) = 0, -6*(diff(f(x, y), y))*y+diff(g(x, y), y, y)-2*(diff(f(x, y), y, x)) = 0, -9*(diff(f(x, y), y))*a*y^2-12*(diff(f(x, y), y))*a^2*y-3*(diff(f(x, y), y))*b-3*(diff(f(x, y), x))*y+2*(diff(g(x, y), y, x))-(diff(f(x, y), x, x))-3*g(x, y) = 0, -6*g(x, y)*a*y-6*(diff(f(x, y), x))*a*y^2-8*(diff(f(x, y), x))*a^2*y+3*(diff(g(x, y), y))*a*y^2+4*(diff(g(x, y), y))*a^2*y-4*g(x, y)*a^2-2*(diff(f(x, y), x))*b+(diff(g(x, y), y))*b-3*y*(diff(g(x, y), x))+diff(g(x, y), x, x) = 0]](/support/helpjp/helpview.aspx?si=1649/file00649/math126.png)
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![sys[1] := [f[y, y] = 0, -6*f[y]*y+g[y, y]-2*f[x, y] = 0, -9*f[y]*a*y^2-12*f[y]*a^2*y-3*f[y]*b-3*f[x]*y+2*g[x, y]-f[x, x]-3*g = 0, -6*g*a*y-6*f[x]*a*y^2-8*f[x]*a^2*y+3*g[y]*a*y^2+4*g[y]*a^2*y-4*g*a^2-2*f[x]*b+g[y]*b-3*y*g[x]+g[x, x] = 0]](/support/helpjp/helpview.aspx?si=1649/file00649/math129.png)
| (4.2) |
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![ConsistencyTest(sys[1])](/support/helpjp/helpview.aspx?si=1649/file00649/math133.png)
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| (4.3) |
可積分性の条件を考慮した後の整合する系 sys[1] の実際の形式を見てみます。
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![ConsistencyTest(sys[1], outputthesystem)](/support/helpjp/helpview.aspx?si=1649/file00649/math142.png)
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![[g = 0, f[x] = 0, f[y] = 0], [], []](/support/helpjp/helpview.aspx?si=1649/file00649/math145.png)
| (4.4) |
sys[1] の任意の方程式 2 つ (いずれも 0 に等価) を乗算し、結果を 1 に等化することで sys[1] から生じる不整合の系を作成します。
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![sys[2] := [op(sys[1]), expand(lhs(sys[1][1])*lhs(sys[1][2])) = 1]](/support/helpjp/helpview.aspx?si=1649/file00649/math151.png)
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![sys[2] := [f[y, y] = 0, -6*f[y]*y+g[y, y]-2*f[x, y] = 0, -9*f[y]*a*y^2-12*f[y]*a^2*y-3*f[y]*b-3*f[x]*y+2*g[x, y]-f[x, x]-3*g = 0, -6*g*a*y-6*f[x]*a*y^2-8*f[x]*a^2*y+3*g[y]*a*y^2+4*g[y]*a^2*y-4*g*a^2-2*f[x]*b+g[y]*b-3*y*g[x]+g[x, x] = 0, -6*f[y, y]*f[y]*y+f[y, y]*g[y, y]-2*f[y, y]*f[x, y] = 1]](/support/helpjp/helpview.aspx?si=1649/file00649/math154.png)
| (4.5) |
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![ConsistencyTest(sys[2])](/support/helpjp/helpview.aspx?si=1649/file00649/math158.png)
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| (4.6) |
この系が不整合で、オプションの outputthesystem を受け取った場合、ConsistencyTest は NULL を返し、以下のように関連する警告メッセージが表示されます。
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![ConsistencyTest(sys[2], outputthesystem)](/support/helpjp/helpview.aspx?si=1649/file00649/math169.png)
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Warning: System is inconsistent
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算術関数を伴う例 (exp)
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![sys[3] := [f[y, y] = 0, -6*f[y]*y+g[y, y]-2*f[x, y] = 0, -9*f[y]*a*y^2-12*f[y]*a^2*y-3*f[y]*b-3*f[x]*y+2*g[x, y]-f[x, x]-3*exp(x)-3*g = 0, -6*(exp(x)+g)*a*y-6*f[x]*a*y^2-8*f[x]*a^2*y+3*g[y]*a*y^2+4*g[y]*a^2*y-4*(exp(x)+g)*a^2-2*f[x]*b+g[y]*b-3*y*(exp(x)+g[x])+exp(x)+g[x, x] = 0]](/support/helpjp/helpview.aspx?si=1649/file00649/math184.png)
| (4.7) |
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![ConsistencyTest(sys[3])](/support/helpjp/helpview.aspx?si=1649/file00649/math188.png)
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| (4.8) |
出力される 3 つのリストは (代表的な出力は dpolyform)、sys[3] の形式が整合することを示していますが、ここに含まれる補助関数 _F1 は、系が元々含んでいる exp (指数) を使用する微分多項式形式で表われます。
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![ConsistencyTest(sys[3], outputthesystem)](/support/helpjp/helpview.aspx?si=1649/file00649/math205.png)
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![[g = -_F1(x, y), f[x] = 0, f[y] = 0], [], [_F1(x, y) = exp(x)]](/support/helpjp/helpview.aspx?si=1649/file00649/math208.png)
| (4.9) |
同じ系による casesplit からの代表的な出力には補助関数は含まれません。これを得るにはオプションの引数 no_Fn を使用します。
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![ConsistencyTest(sys[3], outputthesystem, no_Fn)](/support/helpjp/helpview.aspx?si=1649/file00649/math219.png)
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![`&where`([g = -exp(x), f[x] = 0, f[y] = 0], [])](/support/helpjp/helpview.aspx?si=1649/file00649/math222.png)
| (4.10) |
補助関数 _Fn を含まず、完全な微分多項式でもあるために算術関数を伴わない系の形式を計算するには、dpolyform を使用します。
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![dpolyform(sys[3], no_Fn)](/support/helpjp/helpview.aspx?si=1649/file00649/math234.png)
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![`&where`([f[x] = 0, f[y] = 0, g[x] = g, g[y] = 0], [g <> 0])](/support/helpjp/helpview.aspx?si=1649/file00649/math237.png)
| (4.11) |
ただし、例によっては、上記の出力のような補助関数を削除すると、計算プロセスが膨大になる可能性があります。
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