関数 BackwardSubstitute(A, B)。この関数は上側階段形 A に対して、式 A . X = B の解を返します。

関数 ForwardSubstitute(A, B)。この関数は下側階段形 A に対して、式 A . X = B の解を返します。

 B の各列 b に対して、このルーチンは  A . x = b の解 x を得るために前方に（または後方に）代入を実行します。返される行列 (または、単独に、ベクトル) 解はこれらの解ベクトルから成っています。ある列 b に対してそのような解ベクトルが存在しないならば (たとえば、A が上三角行列 (または下三角行列) でなく、しかも代入が正しくない場合)、エラーが返されます。

代入により、一意的な解が得られない場合、可能な解の無限族は次のようにパラメータ表示されます。

     *   B がベクトルならば、解は必要に応じて t[1], t[2], 等によりパラメータ表示されます。

     *   B が行列ならば、解行列の j 番目の列は t[1,j], t[2,j], 等によりパラメータ表示されます。

パラメータ t が提供されないときは、割り当てられていない名前 _t<#> が 生成されます。たとえば、_t0 , _t1.._t<i> がすべて割り当てられているが、_t<i+1> は割り当てられていないとき、_t<i+1> が生成される名前です。

 B が呼出し手順に含まれないならば、A は拡大行列であると仮定されます。

 inplace オプション (ip) は結果がどこに返されるかを決定します。inplace=true と与えられ、A が正方行列ならば、結果は 2 つ目の引数 B に上書きされます。inplace=false が与えられるか、このオプションを手続きを呼び出し手順に含まないとき、結果は新しい行列またはベクトルに返されます。

条件 inplace=true は inplace と略記することができます。

 inplace オプションは注意して使用しなければなりません。なぜなら、もし演算が失敗した場合、もとの行列引数は壊れてしまうかもしれないからです。

 outputoptions オプション (outopts) はその結果を作成する行列またはベクトル・コンストラクタに追加情報 (readonly, shape, storage, order,datatype, attributes) を提供します。

 inplace と outputoptions オプションを同時に使うことはできません。

この関数は LinearAlgebra パッケージの一部分ですから、コマンド with(LinearAlgebra) を実行した後のみ、BackwardSubstitute(..) の形で使うことができます。ただし、コマンドの長い形 LinearAlgebra[BackwardSubstitute](..) を使えばいつでもアクセスすることができます。

with(LinearAlgebra):
A := <<1,0,0,0>|<0,1,0,0>|<2,-1,0,0>|<0,0,1,0>|<-2,1,-2,0>|<3,1,2,0>>;

BackwardSubstitute(A);

A[1..-1,1..-2] . %;

B := <<1,0>|<0,1>|<0,1>|<0,1>>:
X := <<1,-1>|<0,3>>:
ForwardSubstitute(B,X,free='x');

C := <<1,0,0>|<0,1,0>|<1,1,1>>:
Y := <3,2,4>:
BackwardSubstitute(C,Y,inplace);

Y;