HilbertSeries コマンドは J で生成されるイデアルの Hilbert 級数を計算します。Hilbert 級数は次の式で定義されます、 ただし  は次数が n 以下の多項式の (J に関する) 正規形のベクトル空間としての次元です。結果は次の形の有理関数  ただし  は J の HilbertDimension です。Hilbert 多項式は漸近的に  で定義される多項式です。

非可換多項式の場合、計算結果のこれらの不変量は J によって生成される左イデアルのものです。

その系の変数はオプションとして第 2 引数 X を指定することによって特定することができます。もし X が 単項式順序の短い記述 であったときは J の X に関する Groebner 基底が計算されます。特に指定がないとき X は、J が多項式のリストか集合であったときは出てくる全ての不定元のうち RootOf や根号の中に入っていないものとし、また、J がイデアルであった時は PolynomialIdeals[IdealInfo][Variables](J) として計算されます。

Hilbert 級数、あるいは多項式で用いられる変数は第 3 引数 s を入力することで指定できます。これが省略された場合はグローバルな名前 'Z' が使用されます。

オプションの引数で characteristic=p を指定したとき J が多項式のリストか集合であった時は環の標数を p とします。このオプションは J が PolynomialIdeal であった時か、X が MonomialOrder であった時は無視されます。

HilbertSeries とHilbertPolynomial のアルゴリズムは J の全次数順序の Groebner 基底の頭単項式を用います。(プログラムの一部として) この機能に直接使うためには J を頭単項式の集合とします。コマンドはそのような場合を検知し、計算にかかる無駄を最小限に抑えます。

hilbertseries コマンドと hilbertpoly コマンドは同じ働きをしますが、今後リリースされる Maple ではサポートされない可能性がありますのでご注意ください。

with(Groebner):

F := [x^31-x^6-x-y, x^8-z, x^10-t];

h := HilbertSeries(F, {x,y,z,t}, s);

HilbertPolynomial(F, {x,y,z,t}, n);

series(h, s=0, 10);

with(Ore_algebra):

A := diff_algebra([Dx,x], [Dy,y], polynom={x,y}):

T := MonomialOrder(A, tdeg(Dx,Dy,x,y)):

p := (x^2-x+y):

F := [p*Dx+diff(p,x), p*Dy+diff(p,y)];

G := Basis(F, T);

HilbertDimension(F, T);

p := HilbertPolynomial(F, T, n);

h := HilbertSeries(F, T, s);

series(h, s);

series(add(eval(p,n=i), i=0..6), s);

remove(has, Basis(F, MonomialOrder(A, lexdeg([x],[Dx,Dy,y]))), x);

remove(has, Basis(F, MonomialOrder(A, lexdeg([y],[Dx,Dy,x]))), y);

f := 1/p;

(x^2-x+y)*diff(f,x,y)+2*(2*x-1)*diff(f,y);

F2 := [op(F), (x^2-x+y)*Dx*Dy+2*(2*x-1)*Dy];

HilbertDimension(F2, T);

HilbertPolynomial(F2, T, n);

h := HilbertSeries(F2, T, s);

series(h, s=0);

remove(has, Basis(F2, MonomialOrder(A, lexdeg([x],[Dx,Dy,y]))), x);

remove(has, Basis(F2, MonomialOrder(A, lexdeg([y],[Dx,Dy,x]))), y);