Find regular parts of a linear ode

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DEtools[regular_parts] - Find regular parts of a linear ode

	Calling Sequence
	regular_parts(L, y, t, [x=x0])

Parameters

L	-	linear homogeneous differential equation
y	-	unknown function to search for
t	-	name used as parametrization variable
x0	-	(optional) a rational, an algebraic number or infinity

Description

•

The regular_parts function computes the minimal generalized exponents of L at the point x0 and the corresponding regular parts. These are operators L_e which result from L by replacing y(x) by exp(int(e, x))*y(x). The Newton polygon of L_e at x_0 has a segment of slope 0 and 0 is a root of the indicial polynomial.

•	The equation must be homogeneous and linear in y and its derivatives, and its coefficients must be rational functions in the variable x.

•	x0 must be a rational or an algebraic number or the symbol infinity. If x0 is not passed as argument, x0 = 0 is assumed.

•	The output is a set of solutions which are of the form exp(int(e, x))*y where e is a minimal generalized exponent and y is given as DESol object.

•	The command with(DEtools,regular_parts) allows the use of the abbreviated form of this command.

Examples

ode := y(x)-2*x^2*(diff(y(x), x))-6*x^3*(diff(y(x), x, x))-2*x^4*(diff(y(x), x, x, x))+x^6*(diff(y(x), x, x, x, x))

ode := y(x)-2*x^2*(diff(y(x), x))-6*x^3*(diff(y(x), `$`(x, 2)))-2*x^4*(diff(y(x), `$`(x, 3)))+x^6*(diff(y(x), `$`(x, 4)))

(1)

Then 0 is a singular point of this equation. Newton polygon is:

(2)

There are slopes > 0 so 0 is an irregular singular point.

(3)

yields two transformed differential equations:

ode1 := (-(20/27)*t^4+(25/9)*t^3+(5/36)*t-(46/27)*t^2-(20/81)*t^5)*y(t)+((2/27)*t^6+(26/27)*t^5-(2/3)*t^2-(4/3)*t^4-t+(2/27)*t^3)*(diff(y(t), t))+((4/81)*t^7-(2/9)*t^4-(1/3)*t^6-(1/3)*t^3+(1/6)*t^5)*(diff(y(t), `$`(t, 2)))+(-(2/81)*t^8-(1/27)*t^5+(1/27)*t^7)*(diff(y(t), `$`(t, 3)))+(1/324)*t^9*(diff(y(t), `$`(t, 4)))

(4)

ode2 := (141*t+1230*t^2+3024*t^3)*y(t)+(2016*t^4+802*t^3+120*t^2+8*t)*(diff(y(t), t))+(432*t^5+132*t^4+12*t^3)*(diff(y(t), `$`(t, 2)))+(36*t^6+6*t^5)*(diff(y(t), `$`(t, 3)))+t^7*(diff(y(t), `$`(t, 4)))

(5)

These operators have a Newton polygon with slope 0:

(6)

(7)

This can help to find closed-form solutions:

ode := (1/x^12-15/x^9+38/x^6-6/x^3)*y(x)+(3/x^8-18/x^5+6/x^2)*(diff(y(x), x))+(3/x^4-3/x)*(diff(diff(y(x), x), x))+diff(diff(diff(y(x), x), x), x)

ode := (1/x^12-15/x^9+38/x^6-6/x^3)*y(x)+(3/x^8-18/x^5+6/x^2)*(diff(y(x), x))+(3/x^4-3/x)*(diff(y(x), `$`(x, 2)))+diff(y(x), `$`(x, 3))

(8)

$r := [[x(t) = t, y(t) = exp((1/3)/t^3)*t*DESol({t^3*(diff(y(t), `$`(t, 3)))}, {y(t)})]]$

(9)

Since the general solution of the regular part is a+b*x+c*x^2 for some constants a,b and c, we obtain the general solution of the original equation by taking into account the exponential transformation: