節における強制的な連続性

        p (x   ) = y     and   p (x ) = y    for i=1,2,...,n
         i  i-1     i-1         i  i     i

節における 1, 2, ..., d-1 次導関数の強制的な連続性

         (k)        (k)
        p   (x ) = p   (x )    for i=1,2,...,n-1 and
         i    i     i+1  i    
                                   k=1,2,...,d-1

自然なスプラインは、endpoints='natural' で指定されます。

端の節点における (d+1)/2, ..., d-1 次の導関数は、0 に等しくなります。

         (k)                (k)
        p   (x ) = 0  and  p   (x ) = 0   for k=(d+1)/2,...,d-1
         1    0             n    n

"Not-a-knot" スプラインは、endpoints='notaknot' で指定されます。

節 x[i] (i=1, 2, ..., (d-1)/2 および i=n-(d-1)/2, ..., n-1)における d 次の導関数の、強制的な連続性

         (d)        (d)
        p   (x ) = p   (x )
         i    i     i+1  i
   and                               for i=1,2,...,(d-1)/2
         (d)          (d)
        p   (x   ) = p     (x   )
         n-i  n-i     n-i+1  n-i

周期スプラインは、endpoints='periodic' で指定されます。

端の節点では、1, 2, ..., d-1次の導関数が一致するするようにします。

         (k)        (k)
        p   (x ) = p   (x )     for k=1,2,...,d-1
         1    0     n    n

Clamped スプラインは、endpoints=Vで指定されます。

端の節点における 1, 2, ..., (d-1)/2 次の導関数は、V に与えられた指定の値に等しくなります。ここで V は、指定された clamped 条件を含む、 d-1 次元のリスト、ベクトル、または配列を表します。特に、

               (1)            [(d-1)/2]
        V = [ p   (x ), ..., p         (x ),
               1    0         1          0
    
                 (1)            [(d-1)/2]
                p   (x ), ..., p         (x ) ],   with
                 n    n         n          n
  
         (k)
        p   (x ) = V
         1    0     k
   and                         for k=1,2,...,(d-1)/2
         (k)
        p   (x ) = V
         n    n     k+(d-1)/2

一般化スプラインは、endpoints=G で与えられます。

一般化された端条件は、(節点 x[0], x[1], x[n-1] および x[n]  (ここで n > 1)における任意の次数の)、導関数値の任意の線形結合を用いて指定されます。このような端条件は、x が 4*d 次元の(以下に示すような)ベクトルであるところの、Ax=b という形の線形系で表現することが可能です。

               (1)       (1)
        x = [ p   (x ), p   (x ), ...,
               1    0    2    1
  
                 (d-1)       (d-1)       (d)   (d)
                p     (x ), p     (x ), p   , p   ,
                 1      0    2      1    1     2
  
                 (1)         (1)
                p   (x   ), p   (x ), ...,
                 n-1  n-1    n    n
  
                (d-1)         (d-1)       (d)   (d)
               p     (x   ), p     (x ), p   , p     ]
                n-1    n-1    n      n    n-1   n

A は、d-1 × 4*d 次元の対応する係数行列となります。また b は、線形系の右辺を表す d-1 次元のベクトルです。

一般化された端条件は、オプションパラメータ endpoints=G （ここで G は行列または配列)を用いて指定されます。ここで G は、d-1 ×4*d+1 次元の拡大線形系を表します。

節点における強制的な連続性

        p (x   ) = y     for i=1,2,...,n+1
         i  i-1     i-1

節における強制的な連続性

        p (z ) = p   (z )    for i=1,2,...,n
         i  i     i+1  i

節における 1, 2, ..., d-1 次導関数の強制的な連続性

         (k)        (k)
        p   (z ) = p   (z )    for i=1,2,...,n and
         i    i     i+1  i
                                   k=1,2,...,d-1

自然なスプラインは、endpoints='natural' で指定されます。

端の節点における d/2, ..., d-1 次の導関数は、0 に等しくなります。

         (k)                (k)
        p   (x ) = 0  and  p   (x ) = 0   for k=d/2,...,d-1
         1    0             n+1  n

"Not-a-knot" スプラインは、endpoints='notaknot' で指定されます。

節 z[i] (i=1, 2, ..., d/2 および i=n+1-d/2, ..., n-1)における d 次の導関数の、強制的な連続性

         (d)        (d)
        p   (z ) = p   (z )
         i    i     i+1  i
   and                                    for i=1,2,...,d/2
         (d)              (d)
        p     (z     ) = p     (z     )
         n+1-i  n+1-i     n+2-i  n+1-i

周期スプラインは、endpoints='periodic' で指定されます。

端の節点では、1, 2, ..., d 次の導関数が一致するするようにします。

         (k)        (k)
        p   (x ) = p   (x )     for k=1,2,...,d
         1    0     n+1  n

Clamped スプラインは、endpoints=V で指定されます。

端の節点における 1, 2, ..., d/2 次の導関数は、V に与えられた指定の値に等しくなります。ここで V は、指定された clamped 条件を含む、 d 次元のリスト、ベクトル、または配列を表します。特に、

               (1)            (d/2)
        V = [ p   (x ), ..., p     (x ),
               1    0         1      0
   
                 (1)            (d/2)
                p   (x ), ..., p     (x ) ],   with
                 n+1  n         n+1    n
  
         (k)
        p   (x ) = V
         1    0     k
   and                      for k=1,2,...,d/2
         (k)
        p   (x ) = V
         n+1  n     k+d/2

一般化スプラインは、endpoints=G で指定されます。

一般化された端条件は、(節点 x[0] および x[n] における任意の次数 1, 2, ..., d の)、導関数値の任意の線形結合を用いて指定されます。このような端条件は、x が2*d 次元の(以下に示すような)ベクトルであるところの、Ax=b という形の線形系で表現することが可能です。

               (1)            (d-1)       (d)
        x = [ p   (x ), ..., p     (x ), p   ,
               1    0         1      0    1
  
                 (1)            (d-1)       (d)
                p   (x ), ..., p     (x ), p     ]
                 n+1  n         n+1    n    n+1

A は、d-1 × 2*d 次元の対応する係数行列となります。また b は、線形系の右辺を表す d 次元のベクトルです。

一般化された端条件は、オプションパラメータ endpoints=G （ここで G は行列または配列)を用いて指定されます。ここで G は、d-1 ×2*d+1 次元の拡大線形系を表します。