ArrayInterpolation コマンドは、xdata と ydata (または xydata) で与えられた個別のデータ点の有限なセットから、xvalues で与えられた点に対応する y の値を補間により近似します。このコマンドは、xdata と ydata (または xydata) の各点のすべてのペア  について  のような補間関数  と見なします。このような関数は、さまざまな手法を使用して構築できます (以下を参照)。関数で計算が行われると、xvalues のすべての  に対して  が返されます。

ArrayInterpolation コマンドは、迅速かつ効率的なリサンプリングとテーブルルックアップの実行に特化します。実際に計算して補間式を返すようにするには、代わりに CurveFitting[Spline] や CurveFitting[RationalInterpolation] のような関数を使用します。

ArrayInterpolation 関数は、 次元の数値データを補間できます ( は任意の正の整数)。

xdata で指定するデータ点の独立座標のリストは、さまざまな方法で入力できます。xdata の例を以下に示します。

( の場合に推奨) ベクトル、リスト、または ★x-座標方向に単調増加する 1 次元配列。データセットは、サイズ  を持ちます。ここで  は、xdata の長さです。

( の場合に推奨)  ベクトルの リスト、リスト、または 1 次元配列 (データの各次元ごとに 1 つ)。入力データにおける  番目のベクトル、リスト、配列は、増加する順にデータ点のあらゆる  番目の座標を含む必要があります。この場合、データ点のブロックは、 *  * ... *  グリッドに配列されていると仮定されます。 は入力での  番目のベクトルまたは配列の長さです。インデックス  (ここで ) でのデータ点の 番目の座標は、入力における  番目の配列の  番目の要素と等価です。

サイズ  *  * ... *  *  の配列で、順序付けられた  組として各  *  * ... *  データ点の独立座標を指定するもの。これらの座標は適切な「グリッド」の値を形成するとともに、各次元に沿って単調増加の順番で格納される必要があります。より正式には、 は、 の場合に 0 になり、 の場合に正の数になります。

サイズ  *  * ... *  の  配列 のリスト。ここで  番目の配列は、各  *  * ... *  データ点の  番目の独立座標を含む必要があります。座標は適切な「グリッド」の値を形成するとともに、各次元に沿って単調増加の順番で格納される必要があります。より正式には、 は、 の場合に 0 になり、 の場合に正の数になります。

推奨手法では、冗長なデータの不要な記憶域および検証を排除することにより、メモリ使用量と実行時間を最小限に抑えることができます。すべての場合で、xdata は numeric 型の実数の値を含む必要があります。

ydata に与えられたデータ点の従属座標のリストは、 の値がインデックス  の xdata の要素に相当するように、サイズ  *  * ... *  の配列 (または  の適切な値に対応する行列、ベクトル、リスト) として入力する必要があります。ydata の値は numeric 型の実数になる必要があります。

もう一つの入力方法として、データ点のすべての座標を含む単一構造の xydata を入力できます。以下のいずれかの形式を使用します。

サイズ  *  * ... *  * () の配列または行列で、順序付けられた () 組として各  *  * ... *  データ点の独立または従属座標を指定するもの。各 () 組の最初の n 要素は、各点の独立座標を表しています。また上記と同じ制約を守ることが必要です (つまり、適切な「グリッド」が形成され、独立座標が各次元に沿って単調増加の順番で格納される必要がある)。各 () 組の  番目の座標は、それぞれのデータ点の従属座標を表します。

 配列、ベクトル、行列のリスト、またはサイズ  *  * ... *  のリスト。ここで  番目の配列は  の範囲における各  *  * ... *  データ点の 番目の独立座標を含みます。また  番目の配列は各点の従属座標を含みます。上記のとおり、独立座標は特定の制約を守る必要があります (適切な「グリッド」が形成され、独立座標が各次元に沿って単調増加の順番で格納される必要がある)。

多次元のデータについては、これらの手法は推奨されません。というのは、各次元においてすべての使用可能な座標のリストではなく、独立座標の完全なグリッドを格納するスペースが無駄に消費されるからです。どちらの場合でも、座標は numeric 型の実数の値である必要があります。

xvalues で与えられた点で補間する値のリストは、以下の形式のいずれかで入力できます。

1 次元データについては、単一の数値、つまりベクトル、リスト、または数値の 1 次元配列を入力できます。出力は入力と一致する形式で返されます。

多次元のデータでは、数値のサイズ  *  * ... *  *  の配列または行列を入力できます。これには、各点の  番目の座標を指定する値  を使用して補間する値  *  * ... *  のそれぞれについて、 座標が含まれる必要があります。出力は補間された結果を含むサイズ  *  * ... *  の配列で返されます。

その他、 ベクトル、リスト、1 次元配列を入力できます。入力における  番目のベクトル、リスト、配列は、補間する値での  番目のあらゆる座標を含むと見なされます。この場合、補間は点のブロック  *  * ... *  上で実行されます。 は、 番目の入力ベクトルまたは入力配列の長さを表します。出力はサイズ  *  * ... *  のベクトル、行列、リスト、配列で返されます。

xvalues のデータ点のいずれかが入力で指定された四角形の境界ボックス外に配置されている場合、外挿法を使用して y の値を近似します。外挿法の手法については、extrapolate オプションを使用して制御できます (下記を参照)。

このルーチンにはハードウェアおよびソフトウェア浮動小数を処理するための別の数値手法があります。どのルーチンを使用するかは、UseHardwareFloats 環境変数を設定して制御します。UseHardwareFloats が未設定であれば、Digits <= evalhf(Digits) である場合にのみハードウェア浮動小数が使用されます。この際、入力におけるすべてのソフトウェア浮動小数はハードウェア浮動小数に変換されます。

浮動小数点データに関連する計算のみがこのルーチンでサポートされています。入力に浮動小数点が含まれない場合、エラーがスローされます。

パフォーマンスを最適化するためには、入力するすべての rtables を、四角形の記憶域を持つ Fortran オーダーにする必要があります (デフォルト設定)。これ以外の設定では変換が発生します。出力ではすべての rtables が四角形の記憶域を持つ Fortran オーダーになります。

この機能は CurveFitting パッケージの一部です。そのため、コマンド with(CurveFitting) の実行後にのみ short form ArrayInterpolation(..) で使用できます。ただし、CurveFitting[Interpolation](..) を使用すれば、コマンドの long form からいつでもアクセスできます。

オプション method = <name> が指定されると、以下の補間手法のいずれかを使用して、xvalues の各点  での補間式  を計算し、 を評価します。

method = nearest : 最近接補間法を実行します。xvalues の点  が指定されると、 は  として定義されます。ここで  は、ユークリッド距離  が最小になるデータ点です。

method = lowest : 下方近接補間法を実行します。xvalues の点  が指定されると、 は  として定義されます。ここで  は、 がすべての座標で負の数ではなく、ユークリッド距離  が最小になるようなデータ点です。

method = highest : 上方近接補間法を実行します。xvalues の点  が指定されると、 は  として定義されます。ここで  は、 がすべての座標で負の数ではなく、ユークリッド距離  が最小になるようなデータ点です。

method = linear : n 次元の線形補間 (★lerping) を実行します。1 次元の場合、 は入力のデータ点  を通る区分線形関数です。多次元の場合、 は  区分線形関数のテンソル積です (各次元ごとに 1 つ)。 は、最初の次元に沿って線形補間を行うことにより計算され、次に2番目、3番目などの各次元に移ります。

method = cubic : 区分的 3 次エルミート補間を実行します。1 次元の場合、 は入力の各データ点  を通る区分的 3 次関数です。この場合、 が区間  に存在すると、 =  になります。ここで各  は、入力にけるすべてのデータ点  についての  や  のような 3 次多項式を表します ( は、から  までの範囲)。関数  の係数は、傾き  を各データ点  に割り当てることでローカルに決定され、次に一意の 3 次関数  の解は、 および  という拘束を付加して決定されます。これにより  は連続微分可能になります ()。 自体はベッセルの法を使用して計算されます。 は、、、および  を通る放物線の  での傾きです。多次元の場合、 は -スプライン関数のテンソル積です (各次元ごとに 1 つ)。

method = spline : スプライン補間を実行します。デフォルトでは、普通の 3 次スプライン補間を使用します。1 次元の場合、 は入力の各データ点  を通る区分的 3 次関数です。この場合、 が区間  に存在すると、 =  になります。ここで各  は、入力におけるすべてのデータ点  についての  や  のような 3 次多項式を表します ( は、から  までの範囲)。関数の係数  は、 や  のような 2回連続微分可能な  として選択されます()。さらにスプラインの「自然」条件により、 と  が指定されます。多次元の場合、 は -スプライン関数のテンソル積です (各次元ごとに 1 つ)。method=spline を使用すると、method=cubic に比べてより滑らかな補間が生成されますが ( ではなく  の使用による)、その分設定にコスト負担が増し、数値がより不安定になりがちです。これは、スプラインの各セグメントがデータセット内の他のすべての点の位置によってグローバルに決定されるからです。

デフォルト設定では method=linear が使用されます。

オプション degree=d と endpoints=e が指定されると(ここで d は正の整数、e は natural、notaknot、または periodic のいずれか)、設定された角度と端点の条件を使用してスプライン補間が実行されます。詳細は、Spline Continuity and End Conditions  を参照してください。このオプションは method=spline が使用されている場合にのみ有効です。多次元配列の場合、各次元でのスプラインの生成には同一の連続条件と境界条件が使用されます。デフォルト設定は degree=3、endpoints=natural で、この場合、普通の 3 次スプライン補間が実行されます。

等しい角度のスプラインが使用されている場合、knots=data により、スプラインのノットがノード上に配置されたスプライン関数が使用されます。詳細は、Spline Continuity and End Conditions  を参照してください。等しい角度のスプラインが使用されている場合、デフォルトの手法 (knots=default) により、ノードの中点でスプラインノットが定義されます。このオプションは、他の手法が使用されている場合には有効になりません。

uniform=true オプションが指定されると、ArrayInterpolation は、データ点が均一に配置された点のグリッドに各次元ごとにサンプリングされるものと見なします。つまり、 が  次元における  番目の座標である場合、任意の固定値  が指定されると、 はあらゆる  で定数であると仮定されます。これによって、入力に含まれるデータが均一な場合に大幅な高速化が実現できます。これは、指定された点での補間を評価する際に ArrayInterpolation が迅速なルックアップアルゴリズムを使用できるからです。デフォルト設定は uniform=false です。この場合、ArrayInterpolation は高速ではないものの、汎用性の高い 2 分探索アルゴリズムを使用して補間を実行します。uniform=true オプションを不均一なデータに使用すると、不正な結果が生成されます。

verify=false オプションが指定されると、ArrayInterpolation は正しい形式の入力かどうかを確認するためのさまざまなチェックをスキップします。これにより大規模な問題を解くのに必要な時間を削減できますが、関数は入力でのエラーを検出できなくなります。入力が不適切な形でソートされた場合、1 以外の値からインデックス化された配列を含む場合、非四角形や C オーダーの rtable またはその他の不正な形式の場合、ArrayInterpolation は不正な結果を返すか、予期しないエラーをスローします。

 が入力で指定された境界ボックス外に配置されている場合、extrapolate=e オプション が指定されると (e は extended_numeric 型または truefalse)、以下の使用可能な補間手法のいずれかを使用して  を計算します。

extrapolate = true : 補間関数の有効な最近接の分岐を使用して外挿法を実行します。method=lowest や method=highest を使用すると、点によっては定義されません。この場合、undefined が返されます。

extrapolate = false: 外挿法を実行しません。xvalues の任意の点が入力で指定された境界ボックス外に配置されている場合、エラーがスローされます。

extrapolate = e (e は extended_numeric 型) :  が入力で指定された境界ボックス外に配置されている場合、 を e として定義します。e は通常 0 か未定義です。

デフォルトでは、extrapolate=true が使用されます。

container=c オプションが指定されると (c は適切なサイズの rtable)、インプレースで計算が実行され c に結果が返されます。c は、ルーチンの出力と一致する正しいサイズと データ型である必要があります。このオプションを使用すると、結果を格納するための追加のメモリは割り当てられません。これはプログラマレベルの機能で、これによりメモリの使用量を削減し、Maple のガーベイジコレクタで消費される時間を短縮できます。デフォルトは、container=false です。この場合、Maple は結果を含む新規 rtable を作成して返します。

with(CurveFitting):

with(plots):

Times := [0.00,0.01,0.02,0.03,0.04,0.05,0.06,0.07,0.08,0.09, 0.10]:

Amplitudes := [-0.6, 0.0, 0.4, 0.6, 0.3, -0.1, -0.2, 0.0, 0.1, -0.3, -0.6]:

pointplot(Times,Amplitudes);

NewTimes := [seq(0.001*i,i=0..100)]:

NewAmplitudes := ArrayInterpolation(Times,Amplitudes,NewTimes):

pointplot(NewTimes,NewAmplitudes);

NewAmplitudes := ArrayInterpolation(Times,Amplitudes,NewTimes,method=spline):

pointplot(NewTimes,NewAmplitudes);

NewAmplitudes := ArrayInterpolation(Times,Amplitudes,NewTimes,method=spline,endpoints=periodic):

pointplot(NewTimes,NewAmplitudes);

Ranges := [[seq(1..10)],[seq(1..16)]]:

Img := evalf(Matrix([[255, 255, 255, 255, 255, 255, 255, 255, 255, 255, 255, 255, 255, 255, 255, 255], [255, 255, 208, 93, 22, 0, 16, 98, 210, 255, 255, 255, 255, 255, 255, 255], [255, 196, 16, 0, 0, 0, 0, 0, 19, 200, 255, 255, 54, 54, 212, 255], [255, 61, 34, 156, 231, 255, 230, 154, 26, 58, 255, 255, 61, 0, 59, 255], [255, 5, 205, 255, 255, 255, 255, 255, 196, 7, 255, 255, 230, 91, 7, 255], [255, 20, 235, 255, 255, 255, 255, 255, 235, 36, 255, 255, 255, 233, 32, 255], [255, 125, 129, 255, 255, 255, 255, 255, 133, 186, 255, 255, 217, 89, 147, 255], [255, 255, 125, 50, 91, 99, 93, 40, 22, 121, 93, 58, 10, 140, 255, 255], [255, 255, 255, 216, 131, 75, 14, 5, 7, 12, 59, 121, 214, 255, 255, 255], [255, 255, 255, 255, 255, 255, 255, 255, 255, 255, 255, 255, 255, 255, 255, 255]])):

listdensityplot(Img,style=PATCHNOGRID,axes=none,range=0..255);

NewRanges := [[seq(3..52)],[seq(3..82)]]/5.0:

NewImg := ArrayInterpolation(Ranges,Img,NewRanges,extrapolate=255):

listdensityplot(NewImg,style=PATCHNOGRID,axes=none,range=0..255);

NewImg := ArrayInterpolation(Ranges,Img,NewRanges,extrapolate=255,method=cubic):

listdensityplot(NewImg,style=PATCHNOGRID,axes=none,range=0..255);

f := (i,j) -> (3-sin(i))^2-(3-j)^2:

plot3d(f,0..10,0..10,axes=normal);

v := Array([0,1.5,3.5,5,6,8,9]):

w := Array([0,3,5,6,6.5,7.5]):

y := Matrix(7,6,(a,b)->evalf(f(v[a],w[b]))):

pointplot3d([seq(seq([v[i],w[j],y[i,j]],j=1..6),i=1..7)],axes=normal,symbol=sphere);

a1 := Matrix(50,50,(i,j)->i/5):

a2 := Matrix(50,50,(i,j)->j/5):

A := ArrayTools[Concatenate](3,a1,a2):

B := ArrayInterpolation([v,w],y,A,method=linear):

matrixplot(Matrix(B),axes=normal);

B := ArrayInterpolation([v,w],y,A,method=nearest):

matrixplot(Matrix(B),axes=normal);

B := ArrayInterpolation([v,w],y,A,method=spline):

matrixplot(Matrix(B),axes=normal);

B := ArrayInterpolation([v,w],y,A,method=spline,degree=5):

matrixplot(Matrix(B),axes=normal);

A := evalf(Vector([seq(0..50000)])):

B := evalf(Vector([seq(i^(2),i=0..50000)])):

C := evalf(Vector([seq(0..200000)]/4)):

time(ArrayInterpolation(A,B,C));

time(ArrayInterpolation(A,B,C,verify=false));

time(ArrayInterpolation(A,B,C,verify=false,uniform=true));

time(ArrayInterpolation(A,B,C,verify=false,uniform=true,method=cubic));