convert/Hankel converts, when possible, special functions admitting a 1F1 or 0F1 hypergeometric representation into Hankel (Bessel of third kind) functions. The Hankel functions are

FunctionAdvisor( Hankel );

The 2 functions in the "Hankel" class are:

$\left[\mathrm{HankelH1}\,\mathrm{HankelH2}\right]$

$\mathrm{BesselJ}\left(a\,z\right)$

$\mathrm{BesselJ}\left(a\,z\right)$

$\mathrm{convert}\left(\,\mathrm{Hankel}\right)$

$\frac{\mathrm{HankelH1}\left(a\,z\right)}{2}+\frac{\mathrm{HankelH2}\left(a\,z\right)}{2}$

$\mathrm{BesselK}\left(a\,z\right)$

$\mathrm{BesselK}\left(a\,z\right)$

$\mathrm{convert}\left(\,\mathrm{Hankel}\right)$

$\frac{\mathrm{I}\left(\left(-{\left(z^a\right)}^2{\ⅇ}^{\mathrm{I}a\mathrm{\pi }}+{\left({\left(\mathrm{I}z\right)}^a\right)}^2{\ⅇ}^{2\mathrm{I}a\mathrm{\pi }}\right)\mathrm{HankelH1}\left(a\,\mathrm{I}z\right)+\left({\left({\left(\mathrm{I}z\right)}^a\right)}^2-{\left(z^a\right)}^2{\ⅇ}^{\mathrm{I}a\mathrm{\pi }}\right)\mathrm{HankelH2}\left(a\,\mathrm{I}z\right)\right)\mathrm{\pi }}{{\left(\mathrm{I}z\right)}^a{z}^a\left(2{\ⅇ}^{2\mathrm{I}a\mathrm{\pi }}-2\right)}$

$\mathrm{KummerU}\left(a\+\frac{1}{2}\,2a\+1\,z\right)$

$\mathrm{KummerU}\left(a+\frac{1}{2}\,2a+1\,z\right)$

$\mathrm{convert}\left(\,\mathrm{Hankel}\right)$

$\frac{\left(\left(-\frac{{\ⅇ}^{\mathrm{I}a\mathrm{\pi }}{\left(\frac{\mathrm{I}}{2}z\right)}^a{2}^{2a+1}}{8z^{2a}{2}^a}+\frac{2^a}{8{\left(\frac{\mathrm{I}}{2}z\right)}^a{2}^{-1+2a}}\right)\mathrm{HankelH1}\left(a\,\frac{\mathrm{I}}{2}z\right)+\left(-\frac{{\left(\frac{\mathrm{I}}{2}z\right)}^a{2}^{2a+1}}{8z^{2a}{\ⅇ}^{\mathrm{I}a\mathrm{\pi }}{2}^a}+\frac{2^a}{8{\left(\frac{\mathrm{I}}{2}z\right)}^a{2}^{-1+2a}}\right)\mathrm{HankelH2}\left(a\,\frac{\mathrm{I}}{2}z\right)\right)\sqrt{\mathrm{\pi }}{\ⅇ}^{\frac{z}{2}}}{\sin \left(\mathrm{\pi }\left(a+1\right)\right)}$

$\mathrm{LaguerreL}\left(-\frac{1}{2}-a\,2a\,2Iz\right)-\mathrm{WhittakerM}\left(0\,a\,2Iz\right)$

$\mathrm{LaguerreL}\left(-\frac{1}{2}-a\,2a\,2\mathrm{I}z\right)-\mathrm{WhittakerM}\left(0\,a\,2\mathrm{I}z\right)$

$\mathrm{convert}\left(\,\mathrm{Hankel}\right)$

$\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{-\frac{1}{2}+a}{-\frac{1}{2}-a}\right){\ⅇ}^{\mathrm{I}z}\mathrm{\Gamma }\left(a+1\right)\left(\mathrm{HankelH1}\left(a\,-z\right)+\mathrm{HankelH2}\left(a\,-z\right)\right)2^a}{2{\left(-z\right)}^a}-\frac{{\left(2\mathrm{I}z\right)}^{a+\frac{1}{2}}\mathrm{\Gamma }\left(a+1\right)\left(\mathrm{HankelH1}\left(a\,-z\right)+\mathrm{HankelH2}\left(a\,-z\right)\right)2^a}{2{\left(-z\right)}^a}$

$\mathrm{MeijerG}\left(\left[\left[\right]\,\left[\right]\right]\,\left[\left[\frac{1a}{2}\right]\,\left[-\frac{1a}{2}\right]\right]\,z\right)$

$\mathrm{MeijerG}\left(\left[\left[\right]\,\left[\right]\right]\,\left[\left[\frac{a}{2}\right]\,\left[-\frac{a}{2}\right]\right]\,z\right)$

$\mathrm{convert}\left(\,\mathrm{Hankel}\right)$

$\frac{z^{\frac{a}{2}}\left(\mathrm{HankelH1}\left(a\,-2\sqrt{z}\right)+\mathrm{HankelH2}\left(a\,-2\sqrt{z}\right)\right)2^a}{2{\left(-2\sqrt{z}\right)}^a}$