<Text-field layout="Heading 1" style="Heading 1"> Macro-commande dsolve</Text-field>

restart;

<Text-field layout="Heading 2" style="Heading 2"> Solution g\351n\351rale</Text-field>

Une \351quation diff\351rentielle est une \351quation qui comporte des d\351riv\351es. L'\351quation est dite \351quation diff\351rentielle ordinaire (EDO) s'il n'y a qu'une seule variable ind\351pendante et que les d\351riv\351es sont exprim\351es par rapport \340 cette variable. L'ordre d'une EDO est celui de la d\351riv\351e de l'ordre le plus \351lev\351 apparaissant dans l'\351quation et le degr\351 d'une EDO est le degr\351 de la d\351riv\351e de l'ordre le plus \351lev\351.

Dans cette feuille Maple, on ne traitera que des \351quations diff\351rentielles ordinaires d'ordre 1 et de degr\351 1 dont la forme normale est

NiMvKiglImRHIiIiJSJ5R0YmKiZGJUYmJSJ4R0YmISIiLSUiZkc2JEYpRic=

Dans les manuels de math\351matiques, la forme diff\351rentielle d'une \351quation diff\351rentielle ordinaire d'ordre 1 de degr\351 1

NiMvLCYqJi0lIk1HNiQlInhHJSJ5RyIiIiUjZHhHRitGKyomLSUiTkdGKEYrJSNkeUdGK0YrIiIh

est utile pour classifier de telles \351quations.

La macro-commande dsolve de la biblioth\350que de base sera employ\351e pour trouver de mani\350re analytique la solution g\351n\351rale. (Rappelons que, malgr\351 son nom, la solution g\351n\351rale peut ne pas contenir toutes les solutions particuli\350res d'une \351quation diff\351rentielle.)

Soit l'\351quation diff\351rentielle suivante \340 r\351soudre.

NiMvLCYqJiUieEciIiIlI2R4R0YnRicqJiUieUdGJyUjZHlHRichIiIiIiE=

Pour bien se faire comprendre par l'\351valuateur, il faudra lui communiquer l'\351quation dans une \351criture formul\351e en termes de d\351riv\351es plut\364t qu'en termes de diff\351rentielles. Reformul\351e, l'\351quation diff\351rentielle \340 r\351soudre est donc NiMvLCYlInhHIiIiKiglInlHRiYlI2R5R0YmJSNkeEchIiJGKyIiIQ==. De plus, il sera n\351cessaire d'utiliser la syntaxe fonctionnelle pour communiquer \340 l'\351valuateur laquelle des deux variables est d\351sign\351e variable d\351pendante.

La formule d\351riv\351e peut \352tre \351nonc\351e soit avec l'op\351rateur de d\351rivation D, soit avec la macro-commande diff.

Nommons EDO l'\351quation diff\351rentielle NiMvLCYlInhHIiIiKiglInlHRiYlI2R5R0YmJSNkeEchIiJGKyIiIQ==.

Utiliser la macro-commande diff requiert 14 caract\350res \340 taper.

EDO:=x-y(x)*diff(y(x),x)=0;

Tandis que l'op\351rateur D en requiert 9.

EDO:=x-y(x)*D(y)(x)=0;

La macro-commande odeadvisor de l'extension DEtools donne pour r\351sultat le type d'\351quation diff\351rentielle reconnue par l'\351valuateur.

with(DEtools, odeadvisor);

odeadvisor(EDO);

\300 l'aide de la macro-commande dsolve, r\351solvons cette \351quation diff\351rentielle \340 variables s\351parables.

Sol:=dsolve(EDO,y(x));

Par d\351faut et sous certaines conditions, l'\351valuateur s'efforcera de formuler la solution g\351n\351rale de mani\350re explicite. Par contre, il est possible d'imposer ponctuellement \340 l'afficheur la formulation implicite de la solution g\351n\351rale qui a \351t\351 trouv\351e en pr\351cisant, en option, l'attribut implicit.

Sol:=dsolve(EDO,y(x),implicit);

Pour une formulation plus habituelle de la r\351ponse, reformulons Sol en termes de y et de C.

Sol_generale:=subs([y(x)=y,_C1=C],Sol);

Durant les "efforts" de r\351solution d\351ploy\351s par l'\351valuateur, on peut \352tre tenu au courant des diff\351rentes tentatives de dsolve dans la recherche d'une m\351thode pouvant \352tre appliqu\351e pour la r\351solution analytique de l'\351quation en cours. Il suffit d'initialiser la variable infolevel comme suit:

infolevel[dsolve]:=3;

R\351solvons de nouveau l'\351quation EDO pour voir.

Sol:=dsolve(EDO,implicit);

Pour r\351tablir la "discr\351tion" de l'\351valuateur, il faut taper:

infolevel[dsolve]:=0;

Parfois, la r\351solution explicite peut faire appara\356tre certaines fonctions analytiques inconnues du niveau coll\351gial. Soit l'\351quation diff\351rentielle \340 variables s\351parables NiMvKiYlI2R5RyIiIiUjZHhHISIiKigiIiRGJiUieUdGJiwmKiYiIiNGJiokRitGLkYmRiZGJkYmRig=. La solution g\351n\351rale est tr\350s facile \340 trouver en r\351solvant \253 papier-crayon \273. Voyons le r\351sultat que donnera l'\351valuateur dans la formulation explicite de la solution qu'il trouvera.

EDO:=Diff(y(x),x)=3*y(x)/(2*y(x)^2+1);

Sol:=dsolve(EDO,y(x));

R\351solvons de nouveau mais en sp\351cifiant l'option implicit.

Sol:=dsolve(EDO,y(x),implicit);

Reformulons Sol en termes de y et de C.

Sol_generale:=subs([y(x)=y,_C1=C],Sol);

<Text-field layout="Heading 2" style="Heading 2"> Solution avec condition initiale</Text-field>

La solution g\351n\351rale d'une \351quation diff\351rentielle d'ordre n contient n constantes arbitraires et ind\351pendantes. Une solution particuli\350re est une solution dans laquelle les constantes sont d\351termin\351es g\351n\351ralement \340 l'aide d'une ou de plusieurs hypoth\350ses sur y, y', y'', ... Ces hypoth\350ses sont appel\351es conditions initiales.

Dans le cas des \351quations diff\351rentielles d'ordre 1 et de degr\351 1, une solution particuli\350re s'obtient en sp\351cifiant une valeur de la constante C. Par exemple, en posant NiMvJSJDRywkIiImISIi dans la solution g\351n\351rale NiMvLCgqJCUieUciIiMiIiIqJCUieEdGJyEiIiUiQ0dGKyIiIQ== de l'\351quation diff\351rentielle NiMvLCYlInhHIiIiKiglInlHRiYlI2R5R0YmJSNkeEchIiJGKyIiIQ==, on obtient la solution particuli\350re NiMvLCgqJCUieUciIiMiIiIqJCUieEdGJyEiIiIiJkYoIiIh.

Il est possible aussi d'isoler des solutions particuli\350res en pr\351cisant des conditions initiales. Par exemple, soit la condition initiale pr\351cisant que NiMvJSJ5RyIiIw== quand NiMvJSJ4RyIiJA==, c'est-\340-dire NiMvLSUieUc2IyIiJCIiIw==.

Rappelons-nous l'\351quation \340 r\351soudre.

EDO:=x-y(x)*diff(y(x),x)=0;

R\351solvons avec dsolve.

Sol:=dsolve(EDO,y(x),implicit);

Reformulons de mani\350re habituelle ce r\351sultat.

Sol_generale:=subs([y(x)=y,_C1=C],Sol);

Obtenons la valeur de la constante C impos\351e par la condition initiale NiMvLSUieUc2IyIiJCIiIw==.

C:=solve(subs([x=3,y=2],Sol_generale),C);

Puisque que C est maintenant initialis\351e \340 la valeur 5, on obtient alors directement la solution particuli\350re correspondante.

Sol_particuliere:=Sol_generale;

Rendons \340 nouveau la variable C libre.

C:='C':

La condition initiale NiMvLSUieUc2IyIiJCIiIw== a d\351termin\351e NiMvJSJDRywkIiImISIi. Il y a donc une correspondance entre la condition initiale NiMvLSUieUc2IyIiJCIiIw== et la valeur 5 de la constante C.

La macro-commande dsolve permet \351galement la r\351solution d'une \351quation diff\351rentielle avec conditions initiales. R\351solvons de nouveau l'\351quation NiMvLCYlInhHIiIiKiglInlHRiYlI2R5R0YmJSNkeEchIiJGKyIiIQ== mais cette fois-ci, trouvons la solution particuli\350re satisfaisant la condition initiale NiMvLSUieUc2IyIiJCIiIw==.

Le premier argument de dsolve, entre accolades, devra toujours sp\351cifier l'\351quation diff\351rentielle \340 r\351soudre accompagn\351e de toutes les hypoth\350ses sur y et/ou ses d\351riv\351es. (Voir dsolve,ics)

Sol_particuliere:=dsolve({EDO,y(3)=2},y(x));

En r\351solvant \253 papier-crayon \273 cette \351quation, la solution particuli\350re est plut\364t formul\351e par NiMvLCgqJCUieUciIiMiIiIqJCUieEdGJyEiIiIiJkYoIiIh. Or, l'\351valuateur, au lieu de produire la solution particuli\350re implicite NiMvLCgqJCUieUciIiMiIiIqJCUieEdGJyEiIiIiJkYoIiIh, a donn\351 pour r\351sultat l'une des formulations explicites de NiMvLCgqJCUieUciIiMiIiIqJCUieEdGJyEiIiUkQ18xR0YrIiIh satisfaisant la condition initiale NiMvLSUieUc2IyIiJCIiIw==, c'est-\340-dire NiMvJSJ5Ry0lJXNxcnRHNiMsJiokJSJ4RyIiIyIiIiIiJiEiIg==. Les trois conditions initiales y(-3) = 2, y(3)=-2 et y(-3) = -2 am\350ne \351galement l'une ou l'autre des solutions explicites obtenues de la solution g\351n\351rale avec la constante \351gale \340 NiMsJCIiJiEiIg==.

Sol_particuliere_2:=dsolve({EDO,y(-3)=2},y(x)); Sol_particuliere_3:=dsolve({EDO,y(3)=-2},y(x)); Sol_particuliere_4:=dsolve({EDO,y(-3)=-2},y(x));

Par d\351faut et sous certaines conditions, la macro-commande dsolve r\351soud explicitement. C'est ce qui explique le r\351sultat pr\351c\351dent. En somme, il faudra donc \352tre circonspect lorsqu'il s'agira d'obtenir une solution particuli\350re avec Maple. Heureusement, que dsolve est "sensible" \340 la variable d'environnement _EnvExplicit. Trouvons de nouveau la solution particuli\350re en initialisant au pr\351alable la variable _EnvExplicit_ \340 false.

Initialisons de nouveau la session Maple avec restart.

restart;

_EnvExplicit:=false:

EDO:=x-y(x)*D(y)(x)=0;

Sol_particuliere:=dsolve({EDO,y(3)=2},y(x));

En traduisant par NiMqJCUieUciIiM= la variable NiMqJCUjX1pHIiIj cr\351\351e par Maple, on a donc la solution particuli\350re implicite NiMvLCgqJCUieUciIiMiIiIqJCUieEdGJyEiIiIiJkYoIiIh formul\351e en terme de la macro-commande RootOf.

Montrons, avec la macro-commande allvalues, que la formulation explicite de l'\351quation NiMvLSUieUc2IyUieEctJSdSb290T2ZHNiMsKCokJSNfWkciIiMiIiIqJEYnRi4hIiIiIiZGLw== correspond effectivement aux deux formulations explicites de la solution particuli\350re NiMvLCgqJCUieUciIiMiIiIqJCUieEdGJyEiIiIiJkYoIiIh.

### WARNING: allvalues now returns a list of symbolic values instead of a sequence of lists of numeric values allvalues(Sol_particuliere);

La macro-commande odetest de la biblioth\350que de base permet la v\351rification des solutions implicites et explicites qui ont \351t\351 obtenus avec dsolve. Si l'\351quation est v\351rifi\351e, odetest donnera comme r\351sultat la valeur 0. V\351rifions d'abord la solution particuli\350re implicite.

odetest(Sol_particuliere,EDO);

Contr\364lons maintenant les deux solutions particuli\350res explicitent. \300 l'aide de la macro-commmande map, appliquons odetest sur chacune des deux solutions particuli\350res explicites.

### WARNING: allvalues now returns a list of symbolic values instead of a sequence of lists of numeric values map(odetest,[allvalues(Sol_particuliere)],EDO);

Les deux solutions particuli\350res explicites v\351rifient donc l'\351quation diff\351rentielle EDO.

<Text-field layout="Heading 1" style="Heading 1"> Interpr\351tation graphique</Text-field>

La solution g\351n\351rale d'une \351quation diff\351rentielle consiste en une famille de courbes qui satisfait l'\351quation diff\351rentielle donn\351e et chacune de ces courbes repr\351sente une solution particuli\350re. Illustrons quelques solutions particuli\350res implicites de l'\351quation diff\351rentielle NiMvLCYlInhHIiIiKiglInlHRiYlI2R5R0YmJSNkeEchIiJGKyIiIQ==.

Afin de nous rappeler la r\351solution en cours, ex\351cutons de nouveau les trois requ\352tes suivantes.

EDO:=x-y(x)*D(y)(x)=0;

On doit r\351soudre EDO de fa\347on implicite. Initialisons _EnvExplicit avec la valeur de v\351rit\351 false.

_EnvExplicit:=false;

Sol:=dsolve(EDO);

Reformulons Sol en termes de y et de C.

Sol_generale:=subs([y(x)=y,_C1=C],Sol);

Maintenant, tra\347ons quelques solutions particuli\350res de cette famille avec NiMvJSRfQzFHLCQiIikhIiI=, -5, 5, 15.

Puisque chaque solution particuli\350re d\351finit y implicitement comme fonction de x, employons la macro-commande impliciplot de l'extension plots.

with(plots,implicitplot);

Initialisons la premi\350re valeur de C et tra\347ons implicitement l'\351quation Sol_generale.

C:=-8: Courbe1:=implicitplot(Sol_generale,x=-5..5,y=-5..5,color=orange): Courbe1;

On pourrait tr\350s bien cr\351er les trois autres courbes demand\351es (avec C = -5, 5 et 15) de cette fa\347on et r\351aliser ensuite dans un m\352me graphique la superposition de ces quatre trac\351s. Mais, pour plus d'efficacit\351, automatisons cette t\342che r\351p\351titive. La boucle suivante va faciliter la cr\351ation des quatre structures graphiques correspondant aux quatre valeurs de C retenues. En Maple V, l'op\351rateur de concat\351nation est le point \253 . \273 tandis qu'\340 partir de Maple 6, cet op\351rateur est les deux barres verticales \253 || \273.

Cr\351ons d'abord la liste des valeurs que la constante C prendra.

Valeurs_de_C:=[-8,-5,5,15];

Ensuite, avec une boucle, cr\351ons les quatre trac\351s.

for i from 1 to nops(Valeurs_de_C) do C:=Valeurs_de_C[i]; Courbe||i:= implicitplot(Sol_generale,x=-5..5,y=-5..5,color=orange,thickness=2); od: C:='C': # Pour rendre C libre i:='i': # Pour rendre i libre

\300 l'aide de la macro-commande display de l'extension plots, affichons la superposition de ces quatres trac\351s.

with(plots,display):

Famille:=display(Courbe||(1..nops(Valeurs_de_C)),scaling=constrained): Famille;

On peut tr\350s bien employer la macro-commande contourplot de l'extension plots pour r\351aliser plus directement la superposition de ces quatres trac\351s. En effet, la solution g\351n\351rale peut, d'un certain point de vue, \352tre consid\351r\351e comme une fonction F de deux variables d\351finit par NiMvLSUiRkc2JCUieEclInlHLCYqJEYoIiIjIiIiKiRGJ0YrISIi.

Formule:=solve(Sol_generale,C);

with(plots,contourplot):

Famille:=contourplot(Formule,x=-5..5,y=-5..5,grid=[70,70], contours=Valeurs_de_C,color=orange,thickness=2):

display(Famille,axes=normal,scaling=constrained);

Si vous \352tes un tantinet patient (environ 60s avec PII, 400Mhz), vous pouvez m\352me mettre un peu de couleurs en employant contourplot.

Famille:=contourplot(Formule,x=-5..5,y=-5..5,grid=[70,70],thickness=2, contours=Valeurs_de_C,coloring=[yellow,pink],filled=true):

display(Famille,axes=normal,scaling=constrained);

Pour mettre en \351vidence une solution particuli\350re, par exemple correspondant \340 NiMvJSJDRywkIiIiISIi, il suffit de tracer s\351par\351ment cette solution particuli\350re puis de superposer son trac\351 avec celui de la famille.

C:=-1: Sol_particuliere:=implicitplot(Sol_generale,x=-5..5,y=-5..5, color=magenta,thickness=3): C:='C': # Pour rendre C libre

display([Sol_particuliere,Famille],scaling=constrained);

<Text-field layout="Heading 1" style="Heading 1"> Champ des \351l\351ments de contact</Text-field>

Une \351quation diff\351rentielle ordinaire du premier ordre et du premier degr\351 est une \351quation de la forme NiMvKiYlI2R5RyIiIiUjZHhHISIiLSUiZkc2JCUieEclInlH. En se rappelant l'interpr\351tation graphique de NiMqJiUjZHlHIiIiJSNkeEchIiI=, f(x,y) est donc une formule donnant la pente de la tangente \340 la courbe solution passant par le point (x,y). Ainsi, l'\351quation diff\351rentielle NiMvLCYlInhHIiIiKiglInlHRiYlI2R5R0YmJSNkeEchIiJGKyIiIQ== (de mani\350re \351quivalente NiMvKiYlI2R5RyIiIiUjZHhHISIiKiYlInhHRiYlInlHRig= ) peut \352tre visualis\351e par un graphique appel\351 champ des \351l\351ments de contact.

Chaque \351l\351ment de ce champ est un petit segment de droite centr\351 au point (NiQmJSJ4RzYjIiIhJiUieUdGJQ==) d'orientation f(NiQmJSJ4RzYjIiIhJiUieUdGJQ==).

Ainsi, pour l'\351quation diff\351rentielle NiMvKiYlI2R5RyIiIiUjZHhHISIiKiYlInhHRiYlInlHRig=, au point (2,1), la pente de la tangente \340 la courbe de la solution particuli\350re passant par ce point est NiMvKiYlI2R5RyIiIiUjZHhHISIiKiYiIiNGJkYmRig=. Au point (2,2) la pente de la tangente \340 la courbe de la solution particuli\350re passant par ce point est NiMiIiI=. Dans le premier cas, on illustre le r\351sultat par un petit segment de droite centr\351 en (2,1) de pente NiMiIiM= et, dans le second cas, par un autre segment de droite centr\351 en (2,2) de pente NiMiIiI=. En r\351p\351tant ce processus avec un certain quadrillage de couples (x,y) r\351guli\350rement espac\351, on obtient ce qu'on appelle un champ d'\351l\351ments de contact, parfois traduit litt\351ralement de l'anglais par champ de pentes.

La macro-commande dfieldplot de l'extension DEtools permet le trac\351 d'un champ d'\351l\351ments de contact. L'extension DEtools impose la formulation fonctionnelle de la variable d\351pendante. Dans le cas d'une fonction de deux variables x et y, si la variable y est d\351sign\351e comme d\351pendante, on doit donc l'\351noncer dans les requ\352tes avec la syntaxe fonctionnelle NiMtJSJ5RzYjJSJ4Rw==.

with(DEtools,dfieldplot);

Champ:=dfieldplot(EDO,[y(x)],x=-6..6,y=-6..6, arrows=line,dirgrid=[20,20],color=orange, scaling=constrained):

Champ;

On peut \351galement repr\351senter dans un champ d'\351l\351ments de contact, des courbes appel\351es isoclines ( du grec iso qui signifie m\352me et du latin clinare qui signifie pencher). Les isoclines sont des courbes le long desquelles les \351l\351ments de contact ont une direction ( une inclinaison ) donn\351e.

Superposer, dans le champ d'\351l\351ments de contact pr\351c\351dent, les isoclines de pente -3, NiMqJiIiIkYkIiIkISIi et 2.

Pour obtenir de meilleurs trac\351, tra\347ons plut\364t les isoclines avec la macro-commande plot en tra\347ant NiMvJSJ5RyomJSJ4RyIiIiUnUGVudGVzRyEiIg== au lieu de tracer des \351quations de la forme NiMvJSdQZW50ZXNHKiYlInhHIiIiJSJ5RyEiIg== avec la macro-commande implicitplot car y peut \352tre explicit\351e de mani\350re unique en termes de x.

Pentes:=[-3,1/3,2];

for i from 1 to nops(Pentes) do isocline||i:=plot([x,x/Pentes[i]],x=-6..6,thickness=2,color=navy): od: i:='i': # Pour rendre i libre

display({isocline||(1..nops(Pentes)),Champ},view=[-6..6,-6..6],title="Isoclines d'\351quations x/y=Pentes");

L'int\351r\352t d'un champ d'\351l\351ments de contact appara\356t clairement avec l'usage de l'ordinateur. Que l'\351quation diff\351rentielle poss\350de ou non une solution analytique, ce type de trac\351 permet de visualiser les trajectoires des courbes solution d'une \351quation diff\351rentielle.

Superposons au champ d'\351l\351ments de contact pr\351c\351dent, les solutions particuli\350res correspondant aux conditions initiales donnant C = NiMsJCIiKSEiIg==, NiMsJCIiJiEiIg==, 5 et 15.

display([Famille,Champ],title="Solutions particuli\350res de x-y*dy/dx = 0",titlefont=[TIMES,ROMAN,12]);

La macro-commande DEplot de l'extension DEtools permet automatiquement la superposition du trac\351 d'un champ d'\351l\351ments de contact avec les trac\351s des solutions particuli\350res.

with(DEtools,DEplot);

Attention: Deplot r\351soud explicitement m\352me si la variable d'environnement _EnvExplicit est initialis\351e \340 false. Dans le cas o\371 la solution g\351n\351rale explicite n'est pas unique, le tra\347age des solutions particuli\350res doit \352tre limit\351 aux quadrants respectifs sp\351cifi\351s par les conditions initiales. Ainsi, pour la solution particuli\350re correspondant \340 la condition initiale NiMvLSUieUc2IyIiJCIiIw== et NiMvLSUieUc2IyIiJCwkIiIjISIi, nous devons faire la superposition de deux trac\351s.

C1:=DEplot(EDO,y(x),x=0..6,[[y(3)=2]],y=-0.001..6,linecolor=navy,color=khaki,scaling=constrained,arrows=line,dirgrid=[20,20]): C2:=DEplot(EDO,y(x),x=0..6,[[y(3)=-2]],y=-6..0,linecolor=navy,color=khaki,scaling=constrained,arrows=line,dirgrid=[20,20]):

display([C1,C2]);

Pour le trac\351 pr\351c\351dent, il a fallu pr\351ciser l'intervalle NiMvJSJ5RzssJCQiIiIhIiQhIiIiIic=. au lieu de NiMvJSJ5RzsiIiEiIic= pour faire appara\356tre le champ d'\351l\351ments de contact.

Si on essait de le faire d'un seul jet, c'est-\340-dire sans se limiter au seul quadrant correspondant \340 la condition initiale, voici ce que cela donne.

DEplot(EDO,y(x),x=0..6,[[y(3)=-2]],y=-6..6,linecolor=navy,color=khaki,scaling=constrained,arrows=line,dirgrid=[20,20]);

Horrible!

De plus, dans un tel cas, lorsque la condition initiale est \340 l'origine, Deplot ne pourra repr\351senter correctement la solution particuli\350re dans un champ d'\351l\351ments de contact que d'une partie \351videmment de la solution g\351n\351rale.

DEplot(EDO,y(x),x=-6..6,[[y(0)=sqrt(10)]],y=-6..6,linecolor=navy,color=khaki,scaling=constrained,arrows=line,dirgrid=[20,20]);

En r\351sum\351, pour illustrer dans un champ d'\351l\351ments de contact des solutions particuli\350res lorsque la solution g\351n\351rale explicite n'est pas unique, il vaut mieux cr\351er s\351par\351ment les objets champ et trac\351s des solutions particuli\350res puis superposer le tout sans utiliser DEplot.

Dans le cas o\371 la solution g\351n\351rale explicite correspond \340 une seule solution, la macro-commande DEplot permet de tracer correctement les solutions particuli\350res, que les conditions initiales soient \340 l'origine ou non.

Soit l'\351quation diff\351rentielle NiMvJSN5J0csJiomIiIjIiIiJSJ4R0YoISIiJSJ5R0Yq.

EDO:=D(y)(x)=-2*x-y(x); Sol:=dsolve(EDO);

La solution g\351n\351rale explicite de cette \351quation est donc unique.

Sol_generale:=subs([y(x)=y,_C1=C],Sol);

Tra\347ons, avec DEplot, la solution particuli\350re correspondant \340 la condition initiale NiMvLSUieUc2IyomIiIiRigiIiYhIiIqJkYoRigiIiNGKg==.

Graphique:=DEplot(EDO,y(x),x=-2..2,[[y(1/5)=1/2]],y=-2..2,linecolor=navy,color=khaki,scaling=constrained,arrows=line,dirgrid=[25,25]): Graphique;

Superposons dans ce graphique le trac\351 du point (1/5,1/2). Utilisons la macro-commande disk de l'extension plottools.

with(plottools,disk);

P:=disk([1/5,1/2],0.05,color=navy): display(Graphique,P);

Bien s\373r, les trac\351s de solutions particuli\350res correspondant \340 des solutions initiales \340 l'origine seront correctement rendus.

P1:=disk([0,-2],0.05,color=navy): P2:=disk([0,-1],0.05,color=navy): P3:=disk([0,0],0.05,color=navy): P4:=disk([0,1],0.05,color=navy): P5:=disk([0,2],0.05,color=navy):

Graphique:=DEplot(EDO,y(x),x=-2..2,[[y(0)=-2],[y(0)=-1],[y(0)=0],[y(0)=1],[y(0)=2]],y=-2..2,linecolor=navy,color=khaki,scaling=constrained,arrows=line,dirgrid=[25,25]):

display([Graphique,P||(1..5)]);

Mais le trac\351 manuel des solutions particuli\350res avec la macro-commande plot donne des trac\351s de meilleurs qualit\351s. En effet, puisque la solution g\351n\351rale explicite est unique, on peut utiliser efficacement la macro-commande plot.

Champ:=dfieldplot(EDO,[y(x)], x=-2..2,y=-2..2,arrows=line,dirgrid=[25,25],scaling=constrained,color=khaki):

Superposons au champ d'\351l\351ments de contact pr\351c\351dent, les solutions particuli\350res correspondant aux conditions initiales NiMvLSUieUc2IyIiISUiQ0c= pour C = NiMsJCIiIyEiIg==, NiMsJCIiIiEiIg==, 0, 1 et 2.

Valeurs:=[-4,-3,-2,-1,0];

for i from 1 to nops(Valeurs) do C:=Valeurs[i]; Courbe||i:=plot([x,rhs(Sol_generale),x=-2..2],color=navy,thickness=2): od: C:='C': # Pour rendre C libre i:='i': # Pour rendre i libre

display([Courbe||(1..nops(Valeurs)),Champ,P||(1..5)],view=[-2..2,-2..2],title="dy/dx = -2x-y",titlefont=[TIMES,ROMAN,12]);

<Text-field layout="Heading 1" style="Heading 1"> R\351solution num\351rique</Text-field>

Soit l'\351quation diff\351rentielle NiMvKiYlI2R5RyIiIiUjZHhHISIiLSUkY29zRzYjKiYlInhHRiYlInlHRiY=.

EDO:=diff(y(x),x)=cos(x*y(x));

Utilisons la macro-commande dsolve pour r\351soudre cette \351quation.

dsolve(EDO,y(x));

Aucun r\351sultat n'est apparu. R\351solvons de nouveau cette \351quation mais en suivant l'\351valuateur dans sa recherche d'un m\351thode de r\351solution.

infolevel[dsolve]:=3:

dsolve(EDO,y(x));

Comme on le voit, l'\351valuateur a essay\351 plusieurs m\351thodes analytiques de r\351solution. Ces m\351thodes se sont av\351r\351es vaines. L'\351valuateur conna\356t, bien s\373r, d'autres techniques plus avanc\351es de r\351solution qui passent par des d\351velopements en s\351ries, par des transformations de Laplace. L'aide de dsolve donne de l'information sur ce sujet mais, en ce qui nous concerne, nous n'allons pas \351laborer l\340-dessus.

Quoique nous n'avons pu obtenir une solution g\351n\351rale analytique, cela ne veut pas dire pour autant qu'on ne peut pas obtenir de solutions particuli\350res. En effet, visualisons les trajectoires de ces solutions particuli\350res avec dfieldplot.

Champ:=dfieldplot(EDO,[y(x)],x=0..2*Pi,y=0..4,color=orange,arrows=LINE,dirgrid=[40,40]):

Champ;

L'\351valuateur a la capacit\351 d'employer certaines m\351thodes num\351riques de r\351solution pouvant donner de bonnes approximations des solutions avec conditions initiales. La feuille Maple intitul\351e \253 \311quations diff. et m\351thodes num\351riques \273, que vous pouvez retrouver sur mon site internet, \351labore sur quelques m\351thodes num\351riques \351l\351mentaires. Sans donner de d\351tails ici, voyons comment, avec dsolve, obtenir num\351riquement une courbe-solution particuli\350re.

En pr\351cisant, en option, l'attribut \253 numeric \273, le r\351sultat sera une proc\351dure (une fonction) de calcul pour y dans la courbe-solution de l'\351quation diff\351rentielle correspondant \340 la valeur de x. Donnons le nom Points_particuliers \340 cette proc\351dure.

infolevel[dsolve]:=0;

Points_particuliers:=dsolve({EDO,y(1)=2},y(x),numeric);

Ainsi, Points_particuliers(3) donnera comme r\351sultat le point dont les coordonn\351es sont (3,y(3)) de la solution particuli\350re isol\351e par la condition initiale NiMvLSUieUc2IyIiIiIiIw==.

Points_particuliers(3);

Reste donc \340 g\351n\351rer un certain nombre de points pour le trac\351 de cette solution particuli\350re qui seront superpos\351s dans le champ des \351l\351ments de contact de cette \351quation diff\351rentielle. Au lieu de le faire manuellement, la macro-commande odeplot de l'extension plots est plus efficace dans ce cas.

with(plots,odeplot);

Sol_Particuliere:=odeplot(Points_particuliers,[x,y(x)],0..2*Pi,color=navy,thickness=2):

display([Champ,Sol_Particuliere]);