Dateiname: vektoren.mws Dateigr\366\337e: 42 KB Name: Fabian Hust Schule: Isolde-Kurz-Gymnasium Klasse: 13 Datum: 29.04.99 Kategorie: Lineare Algebra / Vektoren Thema: Vektoren Stichw\366rter: Vektoren, Vektorr\344ume, Addition, Multiplikation, Skalarprodukt, Vektorprodukt, Kreuzprodukt, Matrix, Spaltenvektor, L\344nge, Betrag, Winkel, linear, Schnitt, Parameterform, Koordinatenform Kurzbeschreibung: Anwendungen zu Vektoren: Addition von Vektoren, Multiplikation von Vektoren mit einem Skalar, Produkt zweier Skalare, L\344nge und Betrag eines Vektors, Winkel zwischen Vektoren, Orthogonalit\344t von Vektoren, Geometrische Bedeutung des Kreuzprodukts, sind Vektoren zueinander linear, von der Parameterform zur Koordinatenform

restart:with(linalg):Wir definieren uns zun\344chst einmal zwei Vektoren (Skalare)v1:=[v1x,v1y,v1z]; v2:=[v2x,v2y,v2z];Diese Art von Vektoren nennt man Zeilenvektor

v1+v2;v1:=[1,1,1]; v2:=[2,2,2]; v1+v2;

Mit der Skalarmultiplikation erh\344lt man ein Vielfaches eines Skalars.t*v1;t > 1 : Vektor wird gestreckt t < 1 : Vektor wird gestaucht < 0 : Vektor wird umgedrehtMaple multipliziert hier nicht selbst, hier helfen wir ein wenig nach:evalm(%);

Das '&' mu\337 vor dem Malzeichen stehen, sonst kann Maple mit dem Ausdruck nichts anfangenv1&*v2;Wie oben m\374ssen wir auch hier etwas nachhelfen:evalm(%);dotprod(v1,v2);innerprod(v1,v2);Mit dem Skalarprodukt kann man Winkel zwischen Vektoren berechnen, da gilt:NiMvLSUkY29zRzYjJSZhbHBoYUcqKCUiYUciIiIlImJHRioqJi0lJGFic0c2I0YpRiotRi42I0YrRiohIiI= Es gibt folgende Sonderf\344lle:Winkel = 0\260 also NiMvKiYlImFHIiIiJSJiR0YmKiYtJSRhYnNHNiNGJUYmLUYqNiNGJ0Ym , a und b sind also linear abh\344ngig Winkel = 90\260 also NiMvKiYlImFHIiIiJSJiR0YmIiIh , a und b sind also zueinander orthogonal Winkel = 180\260 also NiMvKiYlImFHIiIiJSJiR0YmLCQqJi0lJGFic0c2I0YlRiYtRis2I0YnRiYhIiI= , a und b sind also wieder linear abh\344ngig Beispiel:restart:with(geom3d):A:=[2,-1,5]; B:=[6,7,2];Winkel:=arccos(evalf(evalm((A&*B)/(linalg[norm](A,2)*linalg[norm](B,2)))))*180/evalf(Pi);Auch mit geom3d kann man den Winkel zwischen zwei Vektoren berechnen. Hierzu mu\337 man Maple jedoch etwas auf die Spr\374nge helfen, in dem man Gerade vom Ursprung zu den beiden Vektoren bildet und dann den Winkel zwischen den beiden Geraden mit FindAngle bestimmt. Auch hier mu\337 man den Wert vom Bogenma\337 in das Gradma\337 umrechnen.point(p0,[0,0,0]): point(pA,A): point(pB,B): line(l1,[p0,pA]): line(l2,[p0,pB]):evalf(FindAngle(l1,l2))*180/evalf(Pi);

restart:with(linalg):Das Kreuzprodukt (auch Vektorprodukt genannt) hat in der Mathematik in der Geometrie sehr wichtige Funktionen. So lassen sich zu zwei Vektoren ein orthogonaler Vektor finden, die Fl\344che und das Volumen von verschiedenen K\366rpern bestimmen. Ein Beweis des Kreuzprodukts findet sich hier.Der zugeh\366rige Befehl hei\337t crossprod und befindet sich im Package linalg.crossprod(Vektor_1,Vektor_2);v1:=[1,2,3]; v2:=[1,-3,2]; crossprod(v1,v2);Das Vektorprodukt ist nur f\374r dreidimensionale Vektoren definiert. F\374r andere Vektoren gilt es nicht. Weitere Regeln gibt es hier.

m1:=matrix([[a11,a12,a13],[a21,a22,a23],[a31,a32,a33]]);Es geht auch anders, schlu\337endlich ist es Geschmackssache, wie man eine Matrix definiert:m1:=matrix(3,3,[a11,a12,a13,a21,a22,a23,a31,a32,a33]);

m1&*v2;evalm(%);Oder so:innerprod(m1,v2);

restart:with(linalg):with(geom3d):Wir definieren uns einen Vektor:v:=[2,2,2];Die L\344nge eines Vektors erh\344lt man, in dem man den Betrag des Vektors nimmt. Dazu zieht man die Wurzel aus der Summe der einzelnen Koordinaten im Quadrat:bv:=sqrt(v[1]^2+v[2]^2+v[3]^2);Oder einfacher. Man nimmt das Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst und zieht daraus die Wurzel:bv:=sqrt(evalm(v&*v));Maple hat einen eigenen Befehl, um von einem Vektor den Betrag zu nehmen. Er befindet sich im Package linalg und hei\337t norm:bv:=linalg[norm](v,2);Wer die L\344nge eines Vektors unbedingt mit geom3d berechnen will, der kann zwei Punkte bilden, n\344mlich den Vektor und den Ursprung und dann mit dem Befehl distance den Abstand dieser zwei Punkte berechnen:point(p1,v): point(p2,[0,0,0]):bv:=distance(p1,p2);

Wenn man den Winkel zwischen zwei Vektoren berechnen will gilt die Formel:NiMvLSUkY29zRzYjJSZhbHBoYUcqKCUiYUciIiIlImJHRioqJi0lJGFic0c2I0YpRiotRi42I0YrRiohIiI=Man ben\366tigt also das Skalarprodukt.restart:with(geom3d):A:=[2,-1,5]; B:=[6,7,2];Winkel:=arccos(evalf(evalm((A&*B)/(linalg[norm](A,2)*linalg[norm](B,2)))))*180/evalf(Pi);Auch mit geom3d kann man den Winkel zwischen zwei Vektoren berechnen. Hierzu mu\337 man Maple jedoch etwas auf die Spr\374nge helfen, in dem man Gerade vom Ursprung zu den beiden Vektoren bildet und dann den Winkel zwischen den beiden Geraden mit FindAngle bestimmt. Auch hier mu\337 man den Wert vom Bogenma\337 in das Gradma\337 umrechnen.point(p0,[0,0,0]): point(pA,A): point(pB,B): line(l1,[p0,pA]): line(l2,[p0,pB]):evalf(FindAngle(l1,l2))*180/evalf(Pi);

restart:Zu dem Vektor...v1:=[2,5,3];...soll ein zweiter Vektor gefunden werden, der orthogonal zu dem ersten Vektor ist:v2:=[ax,ay,az];Wegen cos(90)=0, mu\337 folgende Gleichung gelten (Das Skalarprodukt mu\337 0 sein, dann ist zwischen zwei Vektoren ein rechter Winkel):gl:=v1&*v2=0;evalm(gl);Wir suchen nach Zahlen, die passen:ax:=4: ay:=-1: az:=-1:evalm(gl);

restart: interface(warnlevel=0): with(plots):with(geom3d):with(linalg):Rechtssystem: Dreht man den ersten Faktor des Kreuzprodukts auf dem k\374rzesten Weg zum zweiten Faktor, so zeigt der Vektor c in die Richtung, in die sich eine Rechtsschraube bewegen w\374rde. Das Kreuzprodukt ist nicht kommutativ, d.h. die Vektoren sind nicht vertauschbar! Dies kann uns auch Maple sagen. Es gilt: NiMvKigtJSRhYnNHNiMlImFHIiIiJSJ4R0YpLUYmNiMlImJHRikqKEYlRilGK0YpLSUkc2luRzYjJSZhbHBoYUdGKQ==Dabei erh\344lt man auf beiden Seiten die Fl\344che, die die beiden Vektoren aufspannen! a:=[1,2,3]:b:=[2,3,4]:crossprod(a,b)=crossprod(b,a);evalb(crossprod(a,b)=crossprod(b,a));Aber es gilt daf\374r NiMvJSRheGJHLCQqJiUiYkciIiIlInhHRighIiI= :crossprod(a,b)=evalm(-crossprod(b,a));(Aus irgendeinem mir nicht verst\344ndlichen Grund, klappt hier der Befel evalb nicht. Vielleicht kann mir ja jemand helfen?Es gibt folgende Sonderf\344lle:NiMvJSRheGJHKiYlImFHIiIiJSJiR0Yn f\374r a ist orthogonal auf bNiMvJSRheGJHIiIh f\374r a ist parallel zu b

Gegeben sind zwei Vektoren a und b. Wie sieht c aus?restart: interface(warnlevel=0): with(plots):with(geom3d):with(linalg):a:=[1,2,3]; b:=[-2,1,-3];Den Vektor c erh\344lt man, indem man das Kreuzprodukt von a und b nimmt:c:=crossprod(a,b);c_Betrag:=norm(c,2);Den Betrag des Vektor c erh\344lt man, in dem man die Komponenten Quadriert und anschlie\337end die Wurzel zieht und sie miteinander multipliziert:Betrag_c:=sqrt((sqrt(Ax^2+Ay^2)*sqrt(Bx^2+By^2)));Betrag_c:=sqrt(sqrt(c[1]^2+c[2]^2+c[3]^2)*sqrt(c[1]^2+c[2]^2+c[3]^2));Wesentlich einfacher geht's mit dem Betrag nehmen dank des Befehls norm aus dem linalg-Package (siehe oben).Den Winkel den die beiden Vektoren a und b bilden, erh\344lt man, indem man das Vektorprodukt durch den Betrag des Vektorprodukts teilt:ab:=norm(a,2); bb:=norm(b,2);cos_alpha:=arccos(sqrt((evalm(a&*b)/evalm(ab*bb))^2));Winkel_Bogenmass:=evalf(cos_alpha);Der Winkel mu\337 noch vom Bogenma\337 in die Grad-Einheit umgewandelt werden:Winkel:=Winkel_Bogenmass*180/evalf(Pi);Auch mit geom3d kann man den Winkel zwischen zwei Vektoren berechnen. Hierzu mu\337 man Maple jedoch etwas auf die Spr\374nge helfen, in dem man Gerade vom Ursprung zu den beiden Vektoren bildet und dann den Winkel zwischen den beiden Geraden mit FindAngle bestimmt. Auch hier mu\337 man den Wert vom Bogenma\337 in das Gradma\337 umrechnen.point(p0,[0,0,0]): point(pA,a): point(pB,b): line(l1,[p0,pA]): line(l2,[p0,pB]):Winkel:=evalf(FindAngle(l1,l2))*180/evalf(Pi);Als Beweis f\374r das Vektorprodukt gilt:|axb|=ab * sin(NiMlJmFscGhhRw==)Betrag_a:=sqrt(a[1]^2+a[2]^2+a[3]^2);Betrag_b:=sqrt(b[1]^2+b[2]^2+b[3]^2);Wir m\374ssen als Winkel nat\374rlich wieder den Wert im Bogenma\337 einsetzen, sonst gibt es Schwierigkeiten:T1:=evalf(norm(crossprod(a,b),2));T2:=Betrag_a*Betrag_b*sin(Winkel_Bogenmass);Stimmt ziemlich genau \374berein!

restart:with(geom3d):with(linalg):a:=[1,2,3]; b:=[2,4,6];F\374r die Orthogonalit\344t gilt: NiMvJSRheGJHKiYlImFHIiIiJSJiR0Ynevalb(norm(crossprod(a,b),2)=evalm(a&*b));F\374r die Parallelit\344t gilt: NiMvJSRheGJHIiIhevalb(norm(crossprod(a,b),2)=0);Wie man es den Vektorenwerten schon ansieht, sind sie parallel zueinander.

Ein Vektor ist linear zu einem anderen Vektor, wenn er das n-fache des ersten Vektors ist:Wir definieren uns zwei Vektoren:restart:v1:=[2,3,1]; v2:=[4,6,2]; # v2:=[5,6,2];Wir stellen uns ein Gleichungssystem auf. Dabei soll ein Skalar gefunden werden, der mit dem ersten Vektor multipliziert den zweiten Vektor ergibt:gls:=student[equate](v1*Skalar,v2);Wir l\366sen die "Gleichungen" nach "Skalar" auf:for i from 1 to nops(gls) do sk||i:=solve(gls[i],Skalar) od;Und \374berpr\374fen, ob der Skalar f\374r x, y und z gleich ist. Wenn ja, sind die Vektoren linear zueinander.if op(sk1)=op(sk2) and op(sk2)=op(sk3) then `Die Vektoren sind linear zueinander` else `Die Vektoren sind nicht linear zueinander` fi;

restart:v1:=[v1x,v1y,v1z]; v2:=[v2x,v2y,v2z]; v3:=[v3x,v3y,v3z]; v4:=[v4x,v4y,v4z];

restart:with(linalg):Gegeben sind zwei Geradengleichungen:y=3*x+2; y=-x+1;Diese m\374ssen wir in eine Matrix umwandeln. Dazu l\366sen wir zun\344chst so auf, da\337 die ??? rechts steht.2=-3*x+y; 1=x+y;Aus den Koeffizienten erstellen wir die matrix:m:=matrix(2,2,[-3,1,1,1]);Daraus berechnen wir uns die Determinante (-3*1-1*1):determinante:=det(m);Nun ben\366tigen wir Dx und Dy. Dazu ersetzen wir jeweils die x- oder y-Spalte mit der linken Seite der obigen Gleichung:m:=matrix(2,2,[2,1,1,1]); detneu:=det(m);Die Determinante der 2x2-Matrix m\374ssen wir jetzt noch durch die Determinante von oben teilen:detneu/determinante;Das gleiche machen wir jetzt f\374r Dy:m:=matrix(2,2,[-3,1,2,1]); detneu:=det(m); detneu/determinante;Der Schnittpunkt lautet also S(Dx|Dy) also S(-1/4|5/4).Mit Maple:g:=evalm(v1+t*v2); h:=evalm(v3+s*v4);Wir stellen und ein Gleichungssystem auflgs:=student[equate](g,h);solve(lgs,{s,t,v1z});Mit geom3d geht es nat\374rlich auch:restart:with(geom3d): point(p1,[0,0,0]): point(p2,[3,3,3]): point(p3,[1,2,2]): point(p4,[4,4,4]): line(l1,[p1,p2]): line(l2,[p3,p4]):intersection(Schnittp,l1,l2): coordinates(Schnittp);

Die Parameterform hat die Form: NiMvJSJ4RywmJSJwRyIiIiomJSJ0R0YnJSJhR0YnRic=Punktrichtungsform: NiMvJSJ4RywmJSJwRyIiIiomJSJ0R0YnJSJhR0YnRic=Zweipunkteform: NiMvJSJ4RywmJSJwRyIiIiomJSJ0R0YnLCYlInFHRidGJiEiIkYnRic= Normalenform: NiMvKiYlIm5HIiIiLCYlInhHRiYlInBHISIiRiYiIiE=Hessesche Normalenform: NiMvKiYmJSJuRzYjIiIhIiIiLCYlInhHRiklInBHISIiRilGKA==Normalenform der Ebene siehe Ebene/Normalenform, Umwandlung in Koordinatenform!restart:with(geom3d): P:=[1,2,3]; v:=[4,1,1]; u:=[-2,-1,1];Die Ebenengleichung in der Parameterform lautet dann:E1:=P+s*u+t*v;Wir lassen uns die Einzelgleichungen ausgeben:erg:=student[equate]([x,y,z],E1);Damit wir uns ein Gleichungssystem aufstellen k\366nnen, definieren wir uns daraus drei Gleichungen.for i from 1 to nops(erg) do gle1||i:= erg[i] od;Wir l\366sen nach s und t auf:s:=solve(gle11,s); t:=solve(gle12,t);Wir setzen ein und erhalten die Koordinatenform:gle13; KF:=-x+3*y+z-8;Oder mit geom3d: Wir definieren uns die Ebene:plane(e1,gle13,[x,y,z]):detail(e1);erg:=sort(Equation(e1,[x,y,z]),[x,y,z]);

restart:with(plots):with(plottools):v1:=matrix(3,1,[1,2,4]); v2:=matrix(3,1,[3,4,-2]); v3:=evalm(v1+v2);Das Ganze k\366nnen wir jetzt noch graphisch darstellen:pf1:=arrow([0,0,0],[op(1,entries(v1)[1]),op(1,entries(v1)[2]),op(1,entries(v1)[3])], .1, .3, .1, color=blue): pf2:=arrow([0,0,0],[op(1,entries(v2)[1]),op(1,entries(v2)[2]),op(1,entries(v1)[3])], .1, .3, .1, color=blue): pf3:=arrow([0,0,0],[op(1,entries(v3)[1]),op(1,entries(v3)[2]),op(1,entries(v1)[3])], .1, .3, .1, color=red):display(pf1,pf2,pf3,orientation=[-16,100],axes=boxed,labels=[`x-Achse`,`y-Achse`,`z-Achse`],title=`Addition zweier 3D-Vektoren`);

restart:with(plots):with(plottools):v1:=matrix(2,1,[1,2]); v2:=matrix(2,1,[3,4]); v3:=evalm(v1+v2);Das Ganze k\366nnen wir jetzt noch graphisch darstellen:pf1:=arrow([0,0],[op(1,entries(v1)[1]),op(1,entries(v1)[2])], .1, .3, .1, color=blue): pf2:=arrow([0,0],[op(1,entries(v2)[1]),op(1,entries(v2)[2])], .1, .3, .1, color=blue): pf3:=arrow([0,0],[op(1,entries(v3)[1]),op(1,entries(v3)[2])], .1, .3, .1, color=red):display(pf1,pf2,pf3,axes=boxed,scaling=constrained,labels=[`x-Achse`,`y-Achse`],title=`Addition zweier 2D-Vektoren`);

restart:v1:=matrix(3,1,[1,2,3]);v2:=evalm(t*v1);t:=3; v2:=evalm(t*v1);

restart:Parameterfom: Aufpunkt + Parameter * Richtungvg:=vg0+t*v;Durch das Ver\344ndern der Komponenten, kann man die Eigenschaften der Geraden beeinflussen:# vg:=vg0+t*(2*v); doppelt so lang, aber gleiche Gerade # vg:=vg0-v; entgegengesetzte Richtung, aber gleiche GeradeBeispiel:vg0:=matrix(3,1,[1,2,3]); v:=matrix(3,1,[2,4,7]);evalm(vg);vg0:=matrix(3,1,[3,6,10]); v:=matrix(3,1,[2,4,7]); evalm(vg);vg0:=matrix(3,1,[1,2,3]); v:=matrix(3,1,[4,8,14]); evalm(vg);

restart:with(geom3d):with(plots):Definieren der zwei Vektoren:P:=[1,2,3]; Q:=[-3,1,2];Um die Gerade zu erhalten, ben\366tigen wir die Zweipunkteform (ZPF)xv:=evalm(P+t*(Q-P));Die Faktoren vor 't' ergeben den neuen Vektor:g:=[-4,-1,-1];Die \374berpr\374fen wir jetzt noch im Plot:opt:=symbol=circle,color=red: point(pp,P): point(pq,Q): point(d1,g): point(d2,[1,2,3]): line(gl,[d1,d2]):p1:=display(draw({pp,pq}),opt): p2:=draw(gl): display(p1,p2,title=`Gerade durch zwei Punkte`);

restart:with(plots):with(geom3d):P:=[1,2,3]: Q:=[-3,1,2]: opt:=symbol=circle,color=red: point(pp,P): point(pq,Q): line(l1,[pp,pq]): p1:=display(draw({pp,pq}),opt): p2:=draw(l1): display(p1,p2,title=`Gerade durch zwei Punkte`);

restart:with(geom3d):with(plots):Definieren des Punktes und des Vektors:P:=matrix(3,1,[1,2,3]); n:=matrix(3,1,[-2,-1,1]); Einsetzen in die Punktrichtungsform x=p+t*aglx:=evalm(n)+evalm(t*(evalm(P)));glxe:=evalm(glx);Aufstellen eines Gleichungssystems:t1:=x=-2+t; t2:=y=-1+2*t; t3:=z=1+3*t;solve({t1,t2,t3},{x,y,z,t});fkt:=t->-1+2*t;opt:=symbol=CIRCLE,color=red: point(pp,[-2,-1,2]): point(pq,[1,2,3]): p1:=display(draw({pp,pq}), opt): g:=plot3d(fkt,t=-1110..1110,z=-1110..1110,thickness=10): display(p1,g);