<Text-field layout="Heading 1" style="Heading 1"> D\351termination des points critiques</Text-field>

restart;

La premi\350re \351tape dans la recherche d'un extremum relatif consiste \340 rechercher ses points critiques, c'est-\340-dire les points o\371 les d\351riv\351es partielles s'annulent ou les points o\371 les d\351riv\351es partielles n'existent pas.

Soit NiMvLSUiZkc2JCUieEclInlHLCoqJEYnIiIlIiIiKigiIiRGLCokRiciIiNGLEYoRiwhIiIqJkYuRixGKEYsRiwqJEYoRi5GMQ==. Cr\351ez la fonction f.

f:=(x,y)->x^4-3*x^2*y+3*y-y^3;

Calculez maintenant les d\351riv\351es partielles NiMtJSVkaWZmRzYkLSUiZkc2JCUieEclInlHRik= et NiMtJSVkaWZmRzYkLSUiZkc2JCUieEclInlHRio= \340 l'aide de l'op\351rateur de d\351rivation D.

fx:=D[1](f); fy:=D[2](f);

REMARQUE: En utilisant l'op\351rateur de d\351rivation D, NiMmJSJmRzYjJSJ4Rw== et NiMmJSJmRzYjJSJ5Rw== sont des fonctions des variables x et y.

Ensuite, il faut r\351soudre, dans le domaine de d\351finition de f, les \351quations NiMvLSUlZGlmZkc2JC0lImZHNiQlInhHJSJ5R0YqIiIh et NiMvLSUlZGlmZkc2JC0lImZHNiQlInhHJSJ5R0YrIiIh. Vous allez r\351soudre ces \351quations de deux mani\350res: symboliquement et num\351riquement (autrement dit: de mani\350re exacte et de mani\350re approximative).

R\351solution symbolique (r\351solution exacte)

La macro-commande \340 utiliser pour la r\351solution symbolique d'une \351quation (d'in\351quation), d'un ensemble d'\351quations (d'in\351quations) , est la macro-commande solve. De plus, afin de ne retenir que les racines r\351elles, vous utiliserez l'astuce suivante: r\351solvez en m\352me temps l'in\351quation NiMyJSJ4RyUpaW5maW5pdHlH.

Sol_symboliques:=solve({fx(x,y)=0,fy(x,y)=0,x<infinity},{x,y});

Lorsqu'on utilise la macro-commande solve, les racines obtenues peuvent ne pas \352tre donn\351es de mani\350re explicite. Afin d'obtenir de fa\347on explicite ces racines formul\351es en termes de RooOf, appliquez la macro-commande allvalues sur ces racines.

Sol_symboliques:=map(allvalues,{Sol_symboliques});

L'usage des accolades a pour but d'\351viter la r\351p\351tition des racines.

Le listage de tous les points critiques est fait automatiquement gr\342ce \340 la proc\351dure maison suivante. On pourrait tout aussi bien \351tablir la liste manuellement.

Initialisez donc cette proc\351dure en ex\351cutant tout le bloc.

Points_Critiques:=proc(Sol_symboliques::set) global x,y; local Ensemble,k,ordre; Ensemble:={}; for k from 1 to nops(Sol_symboliques) do assign(Sol_symboliques[k]); Ensemble:=Ensemble union {[x,y]}; x:='x':y:='y': od; ordre:=(x,y)->evalb(evalf(op(1,x)<=op(1,y))): sort(convert(Ensemble,list),ordre) end:

Par commodit\351, donnez donc le nom P \340 la liste des points critiques.

P:=Points_Critiques(Sol_symboliques);

Les quatres points critiques de cette fonction sont les points NiY3JCwkKigiIiJGJiIiIyEiIi0lJXNxcnRHNiMiIiRGJkYoKiZGJkYmRidGKDckIiIhLCRGJkYoNyRGL0YmNyRGJUYt.

R\351solution num\351rique (r\351solution approximative)

La macro-commande fsolve est \340 utiliser pour trouver une approximation d\351cimale des racines. Cette m\351thode est, en g\351n\351ral, plus d\351licate d'application. En fait, l'efficacit\351 de cette approche repose beaucoup sur la connaissance de valeurs d'amorce qui sont pas "trop" \351loign\351es des racines qu'on cherche \340 approximer.

Sol_numeriques := fsolve({fx(x,y)=0,fy(x,y)=0},{x,y});

Sachez qu'en donnant un intervalle d'amorce appropri\351, la macro-commande fsolve s'av\351rera plus efficace. Par exemple,

Sol_numeriques := fsolve({fx(x,y)=0,fy(x,y)=0},{x,y},{x=-2..0,y=-1..0});

Les intervalles d'amorce ne s'obtiennent \351videmment pas par hasard. Un graphique de la situation est tr\350s utile.

<Text-field layout="Heading 1" style="_cstyle259"> Application du test d'extremum local</Text-field>

Cr\351ez les fonctions n\351cessaires au calcul du discriminant NiMtJSZEZWx0YUc2JCUieEclInlH, soit les fonctions d\351riv\351es successives d'ordre 2 NiMmJSJmRzYjJSN4eEc= et NiMmJSJmRzYjJSN5eUc= d\351finies respectivement par NiMvLSYlImZHNiMlI3h4RzYkJSJ4RyUieUctJSVkaWZmRzYkLUYmRiktJSIkRzYkRioiIiM= et par NiMvLSYlImZHNiMlI3l5RzYkJSJ4RyUieUctJSVkaWZmRzYkLUYmRiktJSIkRzYkRisiIiM= ainsi que la fonction d\351riv\351e mixte NiMmJSJmRzYjJSN4eUc= d\351finie par NiMvLSYlImZHNiMlI3h5RzYkJSJ4RyUieUctJSVkaWZmRzYlLUYmRilGKkYr.

fxx:=D[1](fx); fyy:=D[2](fy); fxy:=D[2](fx);

Cr\351ez finalement la fonction discriminant NiMlJkRlbHRhRw== qui servira \340 calculer sa valeur avec chacun des points critiques:

NiMvLSUmRGVsdGFHNiQlInhHJSJ5RywmKiYtJiUiZkc2IyUjeHhHRiYiIiItJkYtNiMlI3l5R0YmRjBGMCkmRi02IyUjeHlHLSIiI0YmISIi

Delta:=(x,y)->fxx(x,y)*fyy(x,y)-(fxy^2)(x,y);

Dans le but d'\352tre concis, r\351sumez dans un tableau les valeurs de NiMtJSZEZWx0YUc2JCUieEclInlH et de NiMtJiUiZkc2IyUjeHhHNiQlInhHJSJ5Rw== en chacun des points critiques.

printf(`\n Points critiques | Discriminant | Valeur de fxx \n`); seq(printf("%25a | %10a |%10a \n", P[k],Delta(op(1,op(k,P)),op(2,op(k,P))),fxx(op(1,op(k,P)),op(2,op(k,P)))),k=1..nops(P));

Reste donc \340 conclure: le point NiM3JCIiISwkIiIiISIi est un minimum local, NiM3JCIiISIiIg== est un maximum local , et les deux autres points crtitiques sont des points-selle.

<Text-field layout="Heading 1" style="_cstyle260"> Graphique de la surface et des points critiques</Text-field>

Illustrez maintenant la nature de ces quatre points critiques en superposant d'abord le trac\351 de la surface et celui des points critiques (qui appartiennent, bien s\373r, \340 la surface).

La difficult\351 \340 surmonter avec une telle repr\351sentation est, \351videmment, de pr\351ciser des intervalles appropri\351s pour les variables x et y de sorte qu'on puisse inclure tous les points critiques dans la superposition pour que cela puisse se voir de fa\347on clair. L'exemple qui est ici s'y pr\352te bien sans trop de difficult\351s.

Cr\351ez d'abord la structure graphique de cette surface puis affichez-la.

with(plots,display);

Surface:=plot3d([x,y,f(x,y)],x=-1.5..1.5,y=-1.5..1.5): display(Surface,axes=framed,orientation=[131,60]);

Ensuite, obtenez le trac\351 de tous les points critiques de la surface en cr\351ant d'abord la liste de ces points critiques comme points de l'espace.

Points_surface:=seq([op(1,P[k]),op(2,P[k]),f(op(1,P[k]),op(2,P[k]))],k=1..nops(P));

La macro-commande pointplot3d de l'extension plots sera ici tr\350s utile.

with(plots,pointplot3d);

Donnez l'option patchnogrid pour mieux voir ces points critiques sur la surface.

Points:=pointplot3d([Points_surface],symbol=circle,color=black): display({Surface,Points},axes=framed,style=patchnogrid,orientation=[131,60]);

\300 l'aide de la macro-commande spacecurve de l'extension plots, tracez des courbes sur cette surface afin de mettre en \351vidence la nature de ces extrema locaux.

with(plots,spacecurve);

Courbe_max:=spacecurve([x,1,f(x,1)],x=-1.5..1.5,color=navy,thickness=3): Courbe_min:=spacecurve([x,-1,f(x,-1)],x=-1.5..1.5,color=orange,thickness=3): Courbe:=spacecurve([0,y,f(0,y)],y=-1.5..1.5,color=magenta,thickness=3):

display({Surface,Courbe_max,Courbe_min,Courbe,Points},axes=framed, style=patchnogrid,orientation=[131,60]);

Pour mieux observer la nature de ces points critiques, cliquez sur le graphique pr\351c\351dent en maintenant le bouton gauche enfonc\351 et modifiez l'orientation du graphique.

Au point [0,1,2]: dans la direction de la courbe de couleur bleu, le point critique pr\351sente un maximum local et de m\352me dans la direction de la courbe de couleur magenta.

Au point [0,-1,-2]: dans la direction de la courbe de couleur orange, le point critique pr\351sente un minimum local et de m\352me dans la direction de la courbe de couleur magenta.

display({Courbe_max,Courbe_min,Courbe,Points},axes=framed, style=patchnogrid,orientation=[131,60]);

Tracez maintenant des courbes sur cette surface afin de mettre en \351vidence la nature des points-selle.

Courbe_A:=spacecurve([-sqrt(3)/2,y,f(-sqrt(3)/2,y)],y=-1.5..1.5,color=navy,thickness=3): Courbe_B:=spacecurve([sqrt(3)/2,y,f(sqrt(3)/2,y)],y=-1.5..1.5,color=orange,thickness=3): Courbe:=spacecurve([x,0.5,f(x,0.5)],x=-1.5..1.5,color=magenta,thickness=3):

display({Surface,Points,Courbe_A,Courbe_B,Courbe},axes=framed,style=patchnogrid,orientation=[130,60]);

Au point NiM3JSwkKiYtJSVzcXJ0RzYjIiIkIiIiIiIjISIiRiwqJkYqRipGK0YsKiYiIzhGKiIjO0Ys: dans la direction de la courbe de couleur bleu, le point critique pr\351sente un maximum local et un minimum local dans la direction de la courbe de couleur magenta.

Au point NiM3JSomLSUlc3FydEc2IyIiJCIiIiIiIyEiIiomRilGKUYqRisqJiIjOEYpIiM7Ris=: dans la direction de la courbe de couleur orange, le point critique pr\351sente un maximum local et un minimum local dans la direction de la courbe de couleur magenta.

Ces deux points sont donc bien des points-selle.

display({Points,Courbe_A,Courbe_B,Courbe},axes=framed,style=patchnogrid,orientation=[125,80]);

<Text-field layout="Heading 1" style="_cstyle261"> Impuissance du test d'extremum local</Text-field>

Dans le cas o\371 NiMvLSUmRGVsdGFHNiQlInhHJSJ5RyIiIQ== (ou de la non-existence de NiMtJSVkaWZmRzYkLSUiZkc2JCUieEclInlHRik= ou de NiMtJSVkaWZmRzYkLSUiZkc2JCUieEclInlHRio= ), le test est impuissant: on ne peut rien conclure quant \340 la nature des points critiques. Dans ce cas, l'approche graphique est d'une tr\350s grande utilit\351 pour examiner la fonction au voisinage du ou des points critiques.

<Text-field layout="Heading 2" style="_cstyle262"> Exemple 1</Text-field>

Soit la fonction f d\351finie par NiMvLSUiZkc2JCUieEclInlHLCYqJEYnIiIkIiIiKiRGKCIiI0Ys.

f:=(x,y)->x^3+y^2;

Obtenez les points critiques de cette fonction.

fx:=D[1](f); fy:=D[2](f);

Sol_symboliques:=solve({fx(x,y)=0,fy(x,y)=0,x<infinity},{x,y});

Sol_symboliques:=map(allvalues,{Sol_symboliques});

Nous avons obtenu qu'un seul point critique.

P:=Points_Critiques(Sol_symboliques);

Calculez maintenant le discriminant NiMlJkRlbHRhRw==.

fxx:=D[1](fx); fxy:=D[2](fx); fyy:=D[2](fy); Delta:=(x,y)->fxx(x,y)*fyy(x,y)-(fxy^2)(x,y); Delta((0,0));

Ainsi, puisque NiMvJSZEZWx0YUciIiE=, on ne peut rien conclure quant \340 la nature de ce point critique. Esquissez un graphique de cette situation.

Surface:=plot3d([x,y,f(x,y)],x=-2..2,y=-2..2,axes=framed): Points:=pointplot3d([0,0,f(0,0)],symbol=circle,color=black): display({Surface,Points},axes=framed,style=patchnogrid,orientation=[-150,65]);

Pour mieux observer la nature de ce point critique, cliquez sur le graphique pr\351c\351dent en maintenant le bouton gauche enfonc\351 et modifiez l'orientation du graphique.

On observe donc que ce point n'est ni un minimum local ni un maximum local. Ce point n'est pas non plus un point-selle.

Tracez des courbes sur cette surface afin de mettre en \351vidence la nature de ce point critique.

Courbe_A:=spacecurve([0,y,f(0,y)],y=-2..2,color=navy,thickness=3): Courbe_B:=spacecurve([x,0,f(x,0)],x=-2..2,color=orange,thickness=3): display({Surface,Points,Courbe_A,Courbe_B},axes=framed,style=patchnogrid,orientation=[-150,65]);

On voit maintenant que ce point critique n'est pas un point-selle. En effet, dans la direction de la courbe de couleur bleu, le point critique se pr\351sente comme un minimum local mais dans la direction de la courbe de couleur orange, le point critique se pr\351sente pas comme un maximum local mais plut\364t comme un point \253 plateau \273, c'est-\340-dire comme un point d'inflexion o\371 la tangente est horizontale.

display({Points,Courbe_A,Courbe_B},axes=framed,style=patchnogrid,orientation=[-115,90]);

<Text-field layout="Heading 2" style="_cstyle263"> Exemple 2</Text-field>

Soit la fonction f d\351finie par NiMvLSUiZkc2JCUieEclInlHLCYqJEYnIiIjIiIiKiRGKCIiJUYs

f:=(x,y)->x^2+y^4;

Obtenez les points critiques de cette fonction.

fx:=D[1](f); fy:=D[2](f);

Sol_symboliques:=solve({fx(x,y)=0,fy(x,y)=0,x<infinity},{x,y});

Sol_symboliques:=map(allvalues,{Sol_symboliques});

Nous avons obtenu qu'un seul point critique.

P:=Points_Critiques(Sol_symboliques);

Calculez maintenant le discriminant NiMlJkRlbHRhRw==.

fxx:=D[1](fx); fxy:=D[2](fx); fyy:=D[2](fy); Delta:=(x,y)->fxx(x,y)*fyy(x,y)-(fxy^2)(x,y); Delta((0,0));

Encore ici, puisque NiMvLSUmRGVsdGFHNiQiIiFGJ0Yn, on ne peut rien conclure quant \340 la nature de ce point critique. Esquissez un graphique de cette situation.

Surface:=plot3d([x,y,f(x,y)],x=-2..2,y=-2..2,axes=framed): Points:=pointplot3d([0,0,f(0,0)],symbol=circle,color=black): display({Surface,Points},axes=framed,style=patchnogrid,orientation=[-150,45]);

Pour mieux observer la nature de ce point critique, cliquez sur le graphique pr\351c\351dent en maintenant le bouton gauche enfonc\351 et modifiez l'orientation du graphique.

On observe donc que ce point est effectivement un minimum local.

Tracez des courbes sur cette surface afin de mettre en \351vidence la nature de ce point critique.

display({Points,Courbe_A,Courbe_B},axes=framed,style=patchnogrid,orientation=[-145,120]);

Puisque NiMvLSUiZkc2JCUieEclInlHLCYqJEYnIiIjIiIiKiRGKCIiJUYs, on conclu m\352me que le point [0,0] est un minimum absolu.

<Text-field layout="Heading 2" style="_cstyle299"> Exemple 3</Text-field>

Soit la fonction f d\351finie par NiMtJSJmRzYkJSJ4RyUieUc= = NiMsJiokJSJ4RyIiIyEiIiklInlHKiZGJiIiIiIiJEYnRis=

f:=(x,y)->-(x^2+y^(2/3));

Obtenez les points critiques de cette fonction.

fx:=D[1](f); fy:=D[2](f);

NiMtJSVkaWZmRzYkLSUiZkc2JCUieEclInlHRio= n'existe pas quand NiMvJSJ5RyIiIQ==. Ce qui rend tout l'axe des x en points critiques: la fonction f poss\350de donc une infinit\351 de points critiques.

Puisque la condition n\351cessaire d'applicabilit\351 du test n'est pas satisfaite, le test d'extremum local est impuissant. Tracez donc le graphique en mettant en \351vidence l'axe des x.

Pour obtenir un trac\351 correct de la fonction, il est n\351cessaire de red\351finir la puissance NiMqJiIiIyIiIiIiJCEiIg== avec la macro-commande surd (pourquoi ?).

f:=(x,y)->-(x^2+surd(y^2,3)); Surface:=plot3d([x,y,f(x,y)],x=-1..1,y=-2..2): display({Surface},axes=normal,orientation=[50,60]);

Superposez \340 la surface tous les points critiques.

Points:=spacecurve([x,0,f(x,0)],x=-1..1,thickness=3,color=orange): display({Surface,Points},axes=normal,orientation=[50,60]);

Le graphique montre clairement que NiMvLSUiZkc2JCIiIUYnRic= est \340 la fois un maximum local et le maximum absolu de f sur tout son domaine NiMqJCUiUkciIiM=

display({Points},axes=normal,orientation=[50,60]);