<Text-field layout="Heading 1" style="Heading 1">Cas o\371 la limite existe</Text-field>

Soit la fonction f d\351finie par NiMvLSUiZkc2JCUieEclInlHLCYiIzUiIiIqJkYnRisqJEYoIiIjRitGKw==.

On a que NiMmJSRkb21HNiMlImZH = R.

Tra\347ons cette fonction sur un pav\351 circulaire centr\351 \340 l'origine de rayon 5, soit pour x NiMlKGVwc2lsb25H [-5, 5] et pour y NiMlKGVwc2lsb25H [NiQsJC0lJXNxcnRHNiMsJiIjRCIiIiokJSJ4RyIiIyEiIkYtRiQ=].

f:=(x,y)->10+x*y^2;

Surface:=plot3d([x,y,f(x,y)],x=-5..5,y=-sqrt(25-x^2)..sqrt(25-x^2), grid=[30,30], axes=boxed,linestyle=0):

with(plots,display):

Vue:=display(Surface):

display(Vue,shading=ZHUE,orientation=[45,80]);

S\351lectionnez le graphique et en tenant le bouton gauche de la souris press\351, modifiez l'orientation du graphique. La perception de la troisi\350me dimension sera \340 son maximum.

Illustrons graphiquement l'existence de la limite de cette fonction lorsque NiNmKjYkJSJ4RyUieUc3IjYkJSlvcGVyYXRvckclJmFycm93RzYiNiQiIiIiIiNGK0YrRis=.

Tra\347ons \340 nouveau cette fonction mais sur un pav\351 rectangulaire pour illustrer notre propos. Soit donc pour x NiMlKGVwc2lsb25H [-2, 3] et pour y NiMlKGVwc2lsb25H [-2, 3].

Surface:=plot3d([x,y,f(x,y)],x=-2..3,y=-2..3, grid=[20,20], axes=normal,linestyle=2):

Vue_1:=display(Surface):

display(Vue_1,shading=ZHUE,orientation=[30,60]);

Puisque NiMmJSRkb21HNiMlImZH = R, quelque soit le vosinage de (1,2), la fonction f est toujours d\351finie.

Superposons au graphique pr\351c\351dent, un voisinage circulaire de (1,2) et r\351alisons le trac\351 de l'image de ce voisinage:

ce voisinage sera visualis\351 par un cercle centr\351 au point (1,2,0) dans le plan XY

l'image de ce voisinage sera visualis\351 par la portion int\351rieure de la surface limit\351e par l'image du p\351rim\350tre du voisinage de (1,2,0).

with(plots,spacecurve):

Voisinage:=spacecurve([1+cos(t)/4,2+sin(t)/4,0],t=0..2*Pi,color=orange,thickness=2): Image:=spacecurve([1+cos(t)/4,2+sin(t)/4,f(1+cos(t)/4,2+sin(t)/4)],t=0..2*Pi, color=orange, thickness=2): Horizontale:=spacecurve([1,t,0],t=0..2,color=black,thickness=1): Verticale:=spacecurve([t,2,0],t=0..1,color=black,thickness=1):

Vue_2:=display([Vue_1,Voisinage,Image,Horizontale,Verticale]):

display(Vue_2,shading=ZHUE,orientation=[25,77]);

Illustrons maintenant la projection de ces images sur le plan XZ et bornons, dans le plan XZ, la cote de ces images entre les traces des plans d'\351quations NiMvJSJ6RywmIiM5IiIiJShlcHNpbG9uRyEiIg== et NiMvJSJ6RywmIiM5IiIiJShlcHNpbG9uR0Yn en prenant NiMvJShlcHNpbG9uRyIiIw==.

Proj_xz:=spacecurve([1+cos(t)/4,0,f(1+cos(t)/4,2+sin(t)/4)],t=0..2*Pi, color=orange, thickness=2): Verticale:=spacecurve([1,2,t],t=0..f(1,2),linestyle=2,thickness=1,color=orange): Horizontale:=spacecurve([1,t,f(1,2)],t=0..2,linestyle=2,thickness=1,color=orange): L:=spacecurve([t,0,14],t=0..3,thickness=2,color=orange,linestyle=2): epsilon:=2: L_moins_delta:=spacecurve([t,0,14-epsilon],t=0..3,thickness=2,color=khaki,linestyle=2): L_plus_delta:=spacecurve([t,0,14+epsilon],t=0..3,thickness=2,color=khaki,linestyle=2):

Vue_3:=display([Vue_2,L,L_moins_delta,L_plus_delta,Proj_xz,Verticale,Horizontale]):

display(Vue_3,shading=ZHUE,orientation=[45,60]);

Effectuons un zoom vers l'avant pour \253 mieux voir \273

display(Vue_3,shading=ZHUE,view=[0..3,0..3,0..20],orientation=[45,60]);

Visualisons la courbe sur la surface entre les plans d'\351quations NiMvJSJ6RywmIiM5IiIiJShlcHNpbG9uRyEiIg== et NiMvJSJ6RywmIiM5IiIiJShlcHNpbG9uR0Yn

Plan_sup:=plot3d([x,y,14+epsilon],x=0..3,y=0..3,style=WIREFRAME,color=wheat): Plan_inf:=plot3d([x,y,14-epsilon],x=0..3,y=0..3,style=PATCHNOGRID,color=wheat): Vue_4:=display([Voisinage,Image,L,L_moins_delta,L_plus_delta,Proj_xz,Verticale,Horizontale], Plan_sup,Plan_inf):

display(Vue_4,shading=ZHUE,Surface,axes=normal,orientation=[27,87]);

Effectuons un zoom vers l'avant et n'affichons pas la surface afin de mieux visualiser les valeurs d'images qui sont comprises entre ces deux plans.

display(Vue_4,axes=normal,orientation=[26,82]);

On voit mieux maintenant que pour tout NiMyIiIhJShlcHNpbG9uRw==, il sera toujours possible d'obtenir un voisinage circulaire de (1,2,0) de telle mani\350re que les cotes de toutes les images de ce voisinage seront comprises entre les plans d'\351quations NiMvJSJ6RywmIiM5IiIiJShlcHNpbG9uRyEiIg== et d'\351quation NiMvJSJ6RywmIiM5IiIiJShlcHNpbG9uR0Yn.

\311valuons finalement cette limite avec Maple.

'limit'(f(x,y),{x=1,y=2})=limit(f(x,y),{x=1,y=2});

REMARQUE: Dans le cas d'une fonction o\371 l'image d'un voisinage trou\351 NiMtJiUiV0c2IyIiITYkJSJhRyUiYkc= ne serait pas plane ( le cas o\371 il y aurait des \253bosses\273) , il est clair que la projection dans le plan XZ de l'image de la "fronti\350re de NiMtJiUiV0c2IyIiITYkJSJhRyUiYkc=" pourrait ne pas contenir le maximum et/ou le minimun de l'image. Dans de tels cas, cette projection dans le plan XZ ne serait pas appropri\351e pour ce voisinage NiMtJiUiV0c2IyIiITYkJSJhRyUiYkc=. Mais, il n'en demeure pas moins, lorsque la limite existe, qu'il sera toujours possible d'obtenir un NiMtJiUiV0c2IyIiITYkJSJhRyUiYkc= de telle mani\350re que l'image de ce voisinage soit tout entier compris entre les plans d'\351quations NiMvJSJ6RywmIiM5IiIiJShlcHNpbG9uRyEiIg== et NiMvJSJ6RywmIiM5IiIiJShlcHNpbG9uR0Yn, et ce, quelque soit NiMlKGVwc2lsb25H.

<Text-field layout="Heading 1" style="Heading 1">Cas o\371 la limite n'existe pas</Text-field>

<Text-field layout="Heading 2" style="Heading 2"> Cas o\371 la limite n'existe pas par d\351faut</Text-field>

Soit la fonction f d\351finie par NiMvLSUiZkc2IyUieEcqJiwmKiRGJyIiIyIiIiokJSJ5R0YrRixGLCwmRidGLEYuRiwhIiI=.

Illustrons graphiquement que la limite de cette fonction lorsque NiNmKjYkJSJ4RyUieUc3IjYkJSlvcGVyYXRvckclJmFycm93RzYiNiQiIiFGLUYrRitGKw== n'existe pas par d\351faut. En effet, puisque le NiMmJSRkb21HNiMlImZH = RxR \ {(x,y) | NiMvJSJ5RywkJSJ4RyEiIg==}, tout voisinage de (0,0) poss\350de des points de la droite d'\351quation NiMvJSJ5RywkJSJ4RyEiIg==. Et donc, que la limite n'existe pas.

Montrons graphiquement qu'il n'existe aucun voisinage de (0,0) pour lequel la fonction est toujours d\351finie.

f:=(x,y)->(x^2+y^2)/(x+y);

Tra\347ons la surface correspondant \340 l'\351quation NiMvLSUiZkc2IyUieEcqJiwmKiRGJyIiIyIiIiokJSJ5R0YrRixGLCwmRidGLEYuRiwhIiI= pour x NiMlKGVwc2lsb25H [-0,25; 0,25] et pour y NiMlKGVwc2lsb25H [-0,25; 0,25].

Surface:=plot3d([x,y,f(x,y)],x=-0.25..0.25,y=-0.25..0.25, axes=normal,linestyle=2, grid=[20,20]):

display(Surface,shading=zhue,axes=normal,orientation=[-25,40]);

On constate donc une \253 faille \273 dans la direction du plan d'\351quation NiMvJSJ5RywkJSJ4RyEiIg==. En grossissant le graphique, cela devient plus apparent. (Cliquez sur la troisi\350me loupe et ensuite, avec la souris, obtenez diff\351rentes orientations de cette surface).

Apr\350s avoir visualis\351 diff\351rentes orientations de cette surface et compte tenu de la mani\350re dont l'afficheur repr\351sente cette surface, il semble qu'il y a des voisinages appropri\351s de (0,0) o\371 la fonction f est partout d\351finie. Cela est d\373 au fait que lorsque NiMlInlH est \340 peu pr\350s \351gale \340 NiMsJCUieEchIiI=, la fonction f prend de tr\350s petites valeurs (de l'ordre de NiMqJCwkIiM1ISIiIiM6) et que l'afficheur doit composer en m\352me temps avec des valeurs d'abscisses et d'ordonn\351es pr\350s de z\351ro.

En fait, cette \253 faille \273 n'est pas graphiquement r\351aliste.

Am\351liorons le trac\351 de cette surface par un contr\364le de l'affichage avec l'option view.

display(Surface,shading=zhue,orientation=[-43,43], axes=normal,view=[-0.25..0.25,-0.25..0.25,-2..2]);

Am\351liorons encore plus ce trac\351 avec un grid sup\351rieur.

Surface:=plot3d([x,y,f(x,y)],x=-0.25..0.25,y=-0.25..0.25, axes=normal,linestyle=2, grid=[60,60]):

display(Surface,shading=zhue,orientation=[-43,43], axes=normal,view=[-0.25..0.25,-0.25..0.25,-5..5]);

En augmentant la "r\351solution", le trac\351 est davantage pr\350s du trac\351 correct de cette surface. Dans le plan NiMvJSJ5RywkJSJ4RyEiIg==, il n'y a toujours pas de points.

Mais ce contr\364le de l'axe des z est-il judicieusement fait pour qu'on puisse " voir " correctement cette surface ? La surface semble avoir une "courbure" qui a \351t\351 tronqu\351e par un contr\364le insuffisant de la cote. Peaufinons davantage le trac\351 en diminuant l'intervalle de valeurs de la cote dans l'option view.

Surface:=plot3d([x,y,f(x,y)],x=-0.25..0.24,y=-0.25..0.24, linestyle=1, grid=[60,60]):

display(Surface,orientation=[-15,66], shading=zhue,axes=boxed, scaling=constrained, view=[-0.25..0.25,-0.25..0.25,-0.18..0.18]);

(Pour mieux voir la surface obtenue, s\351lectionnez le graphique et agrandissez l'affichage en pressant les touches Ctrl-4 ou Ctrl-5 ou Ctrl-6)

Dans ce dernier trac\351, la \253 faille \273 s'est transform\351e en un pseudo-plan d'\351quation NiMvJSJ5RywkJSJ4RyEiIg==. Malheureusement, pour les trac\351 en 3D, on ne dispose pas de l'option discont=true qui \351liminerait les pseudo-plans comme pour les trac\351s en 2D o\371 cela \351limine les pseudo-asymptotes. Avec une telle option, le trac\351 aurait \351t\351 fait avec plus de discernement en \351vitant de relier les points dont les cotes extr\352mes sont obtenues avec des valeurs de NiMlInlH presqu'\351gales \340 celles de NiMsJCUieEchIiI=.

En fait, le trac\351 correct de cette surface est une surface dont toutes sections parall\350les au plan XY est un cercle quasi-tangent au plan d'\351quation NiMvJSJ5RywkJSJ4RyEiIg==. En effet, r\351solvons l'\351quation NiMvLSUiZkc2JCUieEclInlHJSJrRw==:

Eq_1:=f(x,y)=k;

Eq_2:=(x+y)*Eq_1;

Eq_3:=expand(Eq_2-(rhs(Eq_2)=rhs(Eq_2)));

Eq_4:=student[completesquare](Eq_3,x);

Eq_5:=student[completesquare](Eq_4,y);

Eq_6:=Eq_5+(1/2*k^2=1/2*k^2);

On a donc, pour toute " hauteur" k NiMlKGVwc2lsb25H R \ {0}, nous avons un cercle centr\351 au point (NiQqJiUia0ciIiIiIiMhIiJGIw==) de rayon (NiMqKC0lJXNxcnRHNiMiIiMiIiItJSRhYnNHNiMlImtHRihGJyEiIg==) qui exclu les points o\371 NiMvJSJ5RywkJSJ4RyEiIg==.

Eq_7:=(subs(y=-x,Eq_6));

solve(Eq_7,{x});

L'unique solution de l'\351quation pr\351c\351dente, pour tout k, est (0,0) mais, (0,0) n'appartient pas au domaine de f.

Le dernier trac\351 est presque un trac\351 parfait de la surface. Si le trac\351 avait \351t\351 parfait, il aurait \351t\351 moins \351vident de visualiser qu'il n'existe aucun voisinage de (0,0) pour lequel la fonction est toujours d\351finie puisque les point manquants de cette surface le long de l'axe des z (et appartenant au plan NiMvJSJ5RywkJSJ4RyEiIg==) ne peuvent \352tre visibles \340 l'\351cran. Un point \351tant de dimension nulle.

\311valuez cette limite et voyez le r\351sultat que l'\351valuateur donnera.

limit(f(x,y),{x=0,y=0});

L'\351valuateur a r\351p\351t\351 la requ\352te telle quelle (on a obtenu un \351cho de la requ\352te). Cela signifie que l'\351valuateur n'a pas \351t\351 en mesure de r\351soudre la simplification demand\351e. Mais nous, nous savons que cette limite n'existe pas par d\351faut.

<Text-field layout="Heading 2" style="Heading 2">Cas o\371 la limite n'existe pas par approche</Text-field>

Soit la fonction f d\351finie par NiMvLSUiZkc2JCUieEclInlHKiZGJyIiIywmKiRGJ0YqIiIiKiRGKEYqRi0hIiI=. Le domaine de la fonction f est R \ { (0,0) }. Dans ce cas, la fonction f est toujours d\351finie dans n'importe quel voisinage de (0,0).

Demandons imm\351diatement \340 l'\351valuateur de calculer la limite de NiMtJSJmRzYkJSJ4RyUieUc= lorsque NiNmKjYkJSJ4RyUieUc3IjYkJSlvcGVyYXRvckclJmFycm93RzYiNiQiIiFGLUYrRitGKw==.

f:=(x,y)->x^2/(x^2+y^2);

limit(f(x,y),{x=0,y=0});

Cette fois-ci, on a pas obtenu un \351cho de la requ\352te. Lorsque que l'\351valuateur r\351pond \253 undefined \273, c'est parce que la limite demand\351e d\351pend de la fa\347on dont on s'approche de (0,0). Et donc, que la limite n'existe pas.

Tra\347ons cette fonction pour x NiMlKGVwc2lsb25H [-0.25, 0.25] et pour y NiMlKGVwc2lsb25H [-0.25,0.25].

Surface:=plot3d([x,y,f(x,y)],x=-0.25..0.25,y=-0.25..0.25, grid=[60,60], axes=normal,linestyle=2,orientation=[56,68]):

Vue_1:=display(Surface):

display(Vue_1,shading=zhue);

Sur le graphique de la surface, on voit bien qu'avec une approche de (0,0) le long de l'axe des x (NiMvJSJ5RyIiIQ==), les images NiMtJSJmRzYkJSJ4RyIiIQ== par la fonction f tend vers 1 lorsque NiNmKjYjJSJ4RzciNiQlKW9wZXJhdG9yRyUmYXJyb3dHNiIiIiFGKkYqRio=.

En augmentant la r\351solution du trac\351, cela devient davantage \351vident. (Essayez avec diff\351rentes valeurs de numpoints)

Surface:=plot3d([x,y,f(x,y)],x=-0.25..0.25,y=-0.25..0.25, grid=[80,80], numpoints=6400, axes=normal,linestyle=2,orientation=[65,60]):

Vue_2:=display(Surface):

display(Vue_2,shading=zhue);

Illustrons les images de (x,y) avec le chemin NiMvJSJ5RyIiIQ==, c'est-\340-dire le long de l'axe des NiMvJSJ5RyIiIQ==.

Chemin:=spacecurve([t,0,0],t=0..0.25, color=black, thickness=3): Image:=spacecurve([t,0,f(t,0)],t=0..0.25, grid=[60,60],color=black, thickness=3):

display([Surface,Chemin,Image],shading=zhue,orientation=[65,65]);

\311valuons la limite avec l'approche NiMvJSJ5RyIiIQ==.

Limit(subs(y=0,f(x,y)),x=0)=limit(subs(y=0,f(x,y)),x=0);

Alors, avec cette approche, NiMvLSUiZkc2JCUieEclInlHKiZGJyIiIywmKiRGJ0YqIiIiKiRGKEYqRi0hIiI= se r\351duit \340 NiMqJiUieEciIiMqJEYkRiUhIiI=, soit 1, et donc que la limite de NiMtJSJmRzYkJSJ4RyUieUc= selon ce chemin est 1.

En modifiant l'orientation du graphique pr\351c\351dent, cela nous permet de constater qu'avec une approche le long de l'axe des y, (NiMvJSJ4RyIiIQ==), les images NiMtJSJmRzYkIiIhJSJ5Rw== par la fonction f tend vers 0 lorsque NiNmKjYjJSJ5RzciNiQlKW9wZXJhdG9yRyUmYXJyb3dHNiIiIiFGKkYqRio=.

display(Vue_2,shading=zhue,orientation=[30,65]);

Illustrons les images de (x,y) le long de l'axe des y avec le chemin NiMvJSJ4RyIiIQ==.

Chemin:=spacecurve([0,t,0],t=0..0.25, color=black, thickness=3): Image:=spacecurve([0,t,f(0,t)],t=0..0.25, color=black, thickness=3):

display([Surface,Chemin,Image],shading=zhue,orientation=[30,65]);

\311valuons la limite avec l'approche NiMvJSJ4RyIiIQ==.

Limit(subs(x=0,f(x,y)),y=0)=limit(subs(x=0,f(x,y)),y=0);

Analytiquement, avec cette approche (NiMvJSJ4RyIiIQ==), NiMvLSUiZkc2JCUieEclInlHKiZGJyIiIywmKiRGJ0YqIiIiKiRGKEYqRi0hIiI= se r\351duit \340 0 (NiMwJSJ5RyIiIQ==), et donc que la limite de NiMtJSJmRzYkJSJ4RyUieUc= selon ce chemin est 0.

On conclut donc que la limite demand\351e, la limite de NiMtJSJmRzYkJSJ4RyUieUc= lorsque NiNmKjYkJSJ4RyUieUc3IjYkJSlvcGVyYXRvckclJmFycm93RzYiNiQiIiFGLUYrRitGKw==, n'existe pas.

Il y a bien s\373r d'autres chemins menant \340 l'origine; par exemple, (x,y) peut atteindre l'origine en suivant la droite NiMvJSJ5RyomIiIjIiIiJSJ4R0Yn, ou bien en suivant la parabole NiMvJSJ5RyokJSJ4RyIiIw==, ou bien en suivant la courbe NiMvJSJ4Ry0lJ2FyY3Npbkc2IyUieUc=, ou bien en suivant la parabole cubique NiMvJSJ5RyokJSJ4RyIiJA==, ou bien en suivant le chemin NiMvJSJ5RywmLSUkZXhwRzYjJSJ4RyIiIkYqISIi, etc... Il y a une infinit\351 de chemins passant par (0,0).

Illustrons les images de (x,y) avec le chemin NiMvJSJ5RyUieEc=.

Chemin:=spacecurve([t,t,0],t=0..0.25, color=black, thickness=3): Image:=spacecurve([t,t,f(t,t)],t=0..0.25, color=black, thickness=3):

display([Surface,Chemin,Image],shading=zhue,orientation=[15,70]);

\311valuons la limite avec l'approche NiMvJSJ5RyUieEc=.

Limit(subs(y=x,f(x,y)),x=0)=limit(subs(y=x,f(x,y)),x=0);

Analytiquement, avec cette approche (NiMvJSJ5RyUieEc=), NiMvLSUiZkc2JCUieEclInlHKiZGJyIiIywmKiRGJ0YqIiIiKiRGKEYqRi0hIiI= se r\351duit \340 NiMqJiUieEciIiMsJiokRiRGJSIiIkYnRighIiI= = NiMqJiIiIkYkIiIjISIi et donc, que la limite de NiMtJSJmRzYkJSJ4RyUieUc= selon ce chemin est NiMqJiIiIkYkIiIjISIi.

Allons-y avec un dernier chemin NiMvJSJ5RywmLSUkZXhwRzYjJSJ4RyIiIkYqISIi.

Chemin:=spacecurve([t,exp(t)-1,0],t=0..0.22, color=black, thickness=3): Image:=spacecurve([t,exp(t)-1,f(t,exp(t)-1)],t=0..0.22, color=black, thickness=3):

display([Surface,Chemin,Image],shading=zhue,orientation=[15,65]);

\311valuons la limite avec l'approche NiMvJSJ5RywmLSUkZXhwRzYjJSJ4RyIiIkYqISIi.

Limit(subs(y=exp(x)-1,f(x,y)),x=0)=limit(subs(y=exp(x)-1,f(x,y)),x=0);

Analytiquement, avec cette approche (NiMvJSJ5RywmLSUkZXhwRzYjJSJ4RyIiIkYqISIi), NiMvLSUiZkc2JCUieEclInlHKiZGJyIiIywmKiRGJ0YqIiIiKiRGKEYqRi0hIiI= se r\351duit \340 NiMqJiUieEciIiMsJiokRiRGJSIiIiokLCYtJSRleHBHNiNGJEYoRighIiJGJUYoRi4= et donc, que la limite de NiMtJSJmRzYkJSJ4RyUieUc= selon ce chemin est NiMqJiIiIkYkIiIjISIi.