Beam Analysis
<Text-field style="Text" bold="true" size="16" layout="Normal" spaceabove="6" spacebelow="6"><Font size="16" bold="true">Introduction</Font></Text-field> This application solves for the deflection, slope, bending moment, shear forces of an elastic beam. A Beam Analysis program is provided which is very general and accomodates a wide variety of support conditions. It uses the principles of MacCauley or singularity functions.This worksheet includes:The beam_analyze programUsing the Beam Analysis ProgramDeflection & Shear Force Diagrams3D Stiffness AnalysisVariable Distributed Load Analysis3D Concentrated Load AnalysisFind Maximum Distributed Force allowing 1% DeflectionFind Maximum Width of Beam for Given Height and LoadsChange Beam Boundary conditions to Clamped-Clamped and resolve the previous designrestart:
<Text-field style="Text" bold="true" size="16" layout="Heading 1"><Font size="16" bold="true">Some Useful Macros</Font></Text-field> The following maps common names to appropriate singularity functions and simplify the definition of boundary conditions.dist_force := (x) -> Heaviside(x): # distributed force conc_force := (x) -> Dirac(x): # concentrated force conc_moment := (x) -> Dirac(1,x): # concentrated moment D2 := (x) -> D(D(x)): # short form for 2nd derivative D1 := (x) -> D(x): # short form for 1st derivative
<Text-field bookmark="The beam_analyze program" style="Text" bold="true" size="16" layout="Heading 1"><Font size="16" bold="true">The beam_analyze program</Font></Text-field> The following subroutine solves for the deflection, slope, bending moment, shear forces of an elastic beam. The algorithm formulates the governing 4th order boundary value problem with McCauley forcing functions as the loading conditions, and appropriate boundary conditions for the supports. The BVP is then solved analytically using the method of superposition.Inputs: a set of loading conditions using the concept of MacCauley functionsa set of boundary conditions that specifies beam supportsOutput: a table containing the desired solutions.beam_analyze := proc(loadset,bcset) local N,i,yy,th,m,v,q,de,outab; # Form differential equation de := EI*diff(y(x),x$4) = sum(loadset[i],i=1..nops(loadset)): dsolve({de} union bcset,y(x)): # Solve boundary value problem yy := rhs(%): # Extract deflection th := diff(yy,x): # Extract slope m := diff(yy,x$2): # Extract moment v := diff(yy,x$3): # Extract shear print(`Boundary Value Problem to Solve is`); print(lhs(de)=op(loadset),bcset); outab[`deflection`]:= simplify(yy): outab[`slope`] := simplify(th): outab[`moment`] := simplify(m): outab[`shear`] := simplify(v): outab: end:
<Text-field bookmark="Using the Beam Analysis Program" style="Text" bold="true" size="16" layout="Heading 1"><Font size="16" bold="true">Using the Beam Analysis Program</Font></Text-field>
<Text-field style="Heading 2" layout="Heading 2">Problem Statement</Text-field>The beam is simply supported and is loaded with a uniform distributed load across the whole beam, a distributed load beginning at LUklbXJvd0c2Iy9JK21vZHVsZW5hbWVHNiJJLFR5cGVzZXR0aW5nR0koX3N5c2xpYkdGJzYlLUkjbWlHRiQ2I1EhRictRiM2JS1GLDYlUSJ4RicvJSdpdGFsaWNHUSV0cnVlRicvJSxtYXRodmFyaWFudEdRJ2l0YWxpY0YnLUkjbW9HRiQ2LVEiPUYnL0Y4USdub3JtYWxGJy8lJmZlbmNlR1EmZmFsc2VGJy8lKnNlcGFyYXRvckdGQi8lKXN0cmV0Y2h5R0ZCLyUqc3ltbWV0cmljR0ZCLyUobGFyZ2VvcEdGQi8lLm1vdmFibGVsaW1pdHNHRkIvJSdhY2NlbnRHRkIvJSdsc3BhY2VHUSwwLjI3Nzc3NzhlbUYnLyUncnNwYWNlR0ZRLUYsNiVRImFGJ0Y0RjdGKw==, a concentrated force at LUklbXJvd0c2Iy9JK21vZHVsZW5hbWVHNiJJLFR5cGVzZXR0aW5nR0koX3N5c2xpYkdGJzYlLUkjbWlHRiQ2I1EhRictRiM2JS1GLDYlUSJ4RicvJSdpdGFsaWNHUSV0cnVlRicvJSxtYXRodmFyaWFudEdRJ2l0YWxpY0YnLUkjbW9HRiQ2LVEiPUYnL0Y4USdub3JtYWxGJy8lJmZlbmNlR1EmZmFsc2VGJy8lKnNlcGFyYXRvckdGQi8lKXN0cmV0Y2h5R0ZCLyUqc3ltbWV0cmljR0ZCLyUobGFyZ2VvcEdGQi8lLm1vdmFibGVsaW1pdHNHRkIvJSdhY2NlbnRHRkIvJSdsc3BhY2VHUSwwLjI3Nzc3NzhlbUYnLyUncnNwYWNlR0ZRLUYsNiVRImJGJ0Y0RjdGKw==, and a concentrated moment at LUklbXJvd0c2Iy9JK21vZHVsZW5hbWVHNiJJLFR5cGVzZXR0aW5nR0koX3N5c2xpYkdGJzYlLUkjbWlHRiQ2I1EhRictRiM2JS1GLDYlUSJ4RicvJSdpdGFsaWNHUSV0cnVlRicvJSxtYXRodmFyaWFudEdRJ2l0YWxpY0YnLUkjbW9HRiQ2LVEiPUYnL0Y4USdub3JtYWxGJy8lJmZlbmNlR1EmZmFsc2VGJy8lKnNlcGFyYXRvckdGQi8lKXN0cmV0Y2h5R0ZCLyUqc3ltbWV0cmljR0ZCLyUobGFyZ2VvcEdGQi8lLm1vdmFibGVsaW1pdHNHRkIvJSdhY2NlbnRHRkIvJSdsc3BhY2VHUSwwLjI3Nzc3NzhlbUYnLyUncnNwYWNlR0ZRLUYsNiVRImNGJ0Y0RjdGKw==. Use the subroutine beam_analyze to solve this problem.
<Text-field style="Heading 2" layout="Heading 2">Loading and Supports</Text-field> Define loading and supports (simply supported).loads := {-w*dist_force(x-a), -v*conc_force(x-b), m*conc_moment(x-c)}; LV9JLFR5cGVzZXR0aW5nRzYkJSpwcm90ZWN0ZWRHSShfc3lzbGliRzYiSSxtcHJpbnRzbGFzaEdGKDYkNyM+SSZsb2Fkc0dGKDwlKiZJIm1HRigiIiItSSZEaXJhY0dGJTYkRjEsJkkieEdGKEYxSSJjR0YoISIiRjEsJComSSJ2R0YoRjEtRjM2IywmRjZGMUkiYkdGKEY4RjFGOCwkKiZJIndHRihGMS1JKkhlYXZpc2lkZUdGJTYjLCZGNkYxSSJhR0YoRjhGMUY4NyNGLg== supports := {D2(y)(0) = 0, D2(y)(L)=0,y(L)=0,y(0)=0}; LV9JLFR5cGVzZXR0aW5nRzYkJSpwcm90ZWN0ZWRHSShfc3lzbGliRzYiSSxtcHJpbnRzbGFzaEdGKDYkNyM+SSlzdXBwb3J0c0dGKDwmLy1JInlHRig2IyIiIUYzLy1GMTYjSSJMR0YoRjMvLS0tSSNAQEdGJTYkSSJER0YlIiIjNiNGMUYyRjMvLUY6RjZGMzcjRi4=
<Text-field style="Heading 2" layout="Heading 2">Parameter Values</Text-field>
<Text-field style="Heading 3" layout="Heading 3">External Load Locations and Magnitutes</Text-field> Distributed force starts at x = a and spans beamConcentrated force at x = bConcentrated moment at x = cDistributed load: w N/mConcentrated load: v NConcentrated moment: m N.mMaterial Stiffness: EI N.m^2 L:=10: a:=0: b:=2: c:=4: v:=500: w:=500: m:=10000: EI:=10^6: Solve the problem:sol := beam_analyze(loads,supports): SUNCb3VuZGFyeX5WYWx1ZX5Qcm9ibGVtfnRvflNvbHZlfmlzRzYi LV9JLFR5cGVzZXR0aW5nRzYkJSpwcm90ZWN0ZWRHSShfc3lzbGliRzYiSSxtcHJpbnRzbGFzaEdGKDYkNyQvLCQtSSVkaWZmR0YmNiQtSSJ5R0YoNiNJInhHRigtSSIkR0YmNiRGNCIiJSIoKysrIjYlLCQtSSZEaXJhY0dGJTYjLCZGNCIiIiEiI0ZAISQrJiwkLUY9NiRGQCwmRjRGQCEiJUZAIiYrKyIsJC1JKkhlYXZpc2lkZUdGJUYzRkI8Ji8tRjI2IyIiIUZQLy1GMjYjIiM1RlAvLS0tSSNAQEdGJTYkSSJER0YlIiIjNiNGMkZPRlAvLUZXRlNGUDckLywkLUYvNiQtRi82JC1GLzYkLUYvNiRGMUY0RjRGNEY0RjlGOkZM newsol:=convert(sol,table):
<Text-field style="Heading 2" layout="Heading 2">Post-Processing</Text-field>
<Text-field bookmark="Deflection & Shear Force Diagrams" style="Heading 3" layout="Heading 3">Deflection Diagram</Text-field> plot(newsol[deflection],x=0..L,title=`Beam Deflection`,axes=BOXED); 6,-%'CURVESG6$7^x7$$""!!""%*undefinedG7$$"2(e<Nq:+V;!#>$!/6t]qIOS!#=7$$"2u^.29.gG$!#>$!1G`)*eKhs!)!#?7$$"1w_06Z+H\!#=$!2/)>Ey<*3@"!#?7$$"1NqS"G1?d'!#=$!2(*f&)z(>_9;!#?7$$"1_06A%4!e)*!#=$!2%=T)HG"y@C!#?7$$"129Gc7S98!#<$!1r**>o&Q!HK!#>7$$"206AW)=gr>!#=$!1F?U"RWN%[!#>7$$"19Gc7D!)GE!#<$!14"ex2M!ek!#>7$$"1@U%)oP?VR!#<$!1^[$ogVpo*!#>7$$"1Gc7D]gd_!#<$!2w%HGQCd"H"!#>7$$"0)e<N?"\a(!#;$!2N+\p0)R`=!#>7$$"1KhAX!>A$)*!#<$!2w7jBV\^T#!#>7$$"1(Qxa4&o(\"!#;$!1KxhB(f#yO!#=7$$"2117C[eb,#!#<$!0V0X!o**[\!#<7$$"2()oPv]q4`#!#<$!/02xAq7i!#;7$$"1/3;KM#)3I!#;$!1'\zKJ@KQ(!#=7$$"2CV'GdCh.N!#<$!1W=$Hp-Rf)!#=7$$"1sV([(RK:S!#;$!1l**eLONW)*!#=7$$"2$yc8FWRDX!#<$!2aT&*\="*)36!#=7$$"1tX"Hek+0&!#;$!2_1?Ng*oO7!#=7$$"1V&3<M%>7b!#;$!2kl#Q"3^!\8!#=7$$"1v[(\*HWKg!#;$!2aSIO\%Hv9!#=7$$"0)f>Ry#[b'!#:$!2kRHg"*o<g"!#=7$$"103;KCCeq!#;$!2&ppZ3pNB<!#=7$$"1kFb56R:v!#;$!2l^&)***Q]L=!#=7$$"1Qw_0^)*e!)!#;$!2l&\6u"GT'>!#=7$$"1lIhA0[>&)!#;$!2'yX&3foW2#!#=7$$"1Z"He;Y^0*!#;$!2$3'3]IOC?#!#=7$$"1Gc7D5IH&*!#;$!1Mw"\LZ`J#!#<7$$"2#Qw_0C&\+"!#;$!2.[z"3&=)QC!#=7$$"105?S**[a5!#:$!2l")G(zd(fb#!#=7$$"2.-/3;xh5"!#;$!1()*Q"oawxE!#<7$$"2#3;Kk@k`6!#;$!2L))3*3V=*y#!#=7$$"2Gd9HeR[?"!#;$!2DC`hi%*)3H!#=7$$"2;Ig?J>!e7!#;$!1()p-z^qKI!#<7$$"2`18EU7VI"!#;$!1xF]"3C+9$!#<7$$"2lD^-D5VN"!#;$!12=RCpVbK!#<7$$"2CY#\)*G'fS"!#;$!1p%G^Q9TP$!#<7$$"2AW)oP\\c9!#;$!1eq)\<b'*[$!#<7$$"1)f>RG(Q0:!#:$!0eq()H.4g$!#;7$$"2BY#\)*Qnf:!#;$!1/P-_CyBP!#<7$$"2X!4=OGX3;!#;$!1^)=GM.O$Q!#<7$$"2d4>QwM0m"!#;$!1GKs%\F-&R!#<7$$"1zd:J(Gxq"!#:$!1zHSJ"H`0%!#<7$$"2b2:I?C$f<!#;$!1>uT/:fpT!#<7$$"2w_06_ry!=!#;$!1"QM7JzkF%!#<7$$"2)>Rycuhe=!#;$!0"oJw"[vQ%!#;7$$"206AW)3B3>!#;$!1h:U\UZ&\%!#<7$$"218E_ar,'>!#;$!1`?t[lu2Y!#<7$$"1sV([d'>5?!#:$!1YGGHM<:Z!#<7$$"2W#['HRa81#!#;$!18Q4GxIC[!#<7$$"2FY#\)f)37@!#;$!1tVkj&3=$\!#<7$$"2$3;Kk!3(e@!#;$!2a^^T$f%*H]!#=7$$"2%He;L#R@@#!#;$!1<Rso&e;9&!#<7$$"2%)oPvqG*fA!#;$!14@z=3)3C&!#<7$$"2%pQxaA)3J#!#;$!1F#Ro4YfM&!#<7$$"2`-05I^'fB!#;$!1j`c1=!eW&!#<7$$"2D['HfI!QT#!#;$!0emVJneb&!#;7$$"2b2:I]%pgC!#;$!1<cJ$p$[]c!#<7$$"2lFb5r;R^#!#;$!1.H^YJ4dd!#<7$$"1(Rze(HUiD!#:$!1<%3(=4``e!#<7$$"2MmKl?"[:E!#;$!1OS1@\Aef!#<7$$"1h@V'[h7m#!#:$!1-xig/*y/'!#<7$$"2`.29))*R8F!#;$!2'))pksYD\h!#=7$$"2Z#\)p*HwjF!#;$!1.PT'*RSYi!#<7$$"2#*yd:@$49G!#;$!1KA<8*RFM'!#<7$$"1f<Nq#QU'G!#:$!1'=oAzvzV'!#<7$$"2V$oOt>T7H!#;$!0"f^OpwGl!#;7$$"1`06A!*[kH!#:$!1/\4mF9Em!#<7$$"1T"GcAAT,$!#:$!1u(pbd.#=n!#<7$$"2(ze<N)ej1$!#;$!/%p$)y3V"o!#:7$$"1V'GdaXO6$!#:$!1v(Hxy91!p!#<7$$"1F`18i!f;$!#:$!1o?f3cB&*p!#<7$$"229Gc#G'f@$!#;$!1vnmEk6&3(!#<7$$"1v\**)f(*eE$!#:$!1W:DC.0ur!#<7$$"2Ne;Lma!=L!#;$!1lF[v&ohE(!#<7$$"204=OA$4mL!#;$!0/_Kd;.N(!#;7$$"2/,-/G"H:M!#;$!1"R^e$o!eV(!#<7$$"1BX!4y6'pM!#:$!0t2J!GRHv!#;7$$"1=OsWXz=N!#:$!0">eRAS8w!#;7$$"2&He;LJ4pN!#;$!1a\@T%4')p(!#<7$$"2105?]X-i$!#;$!1m!HpNLXy(!#<7$$"1tX"H[ksm$!#:$!174%HrpG'y!#<7$$"2(\)pR>&Q<P!#;$!1f>fq!*pXz!#<7$$"1tX"HQCrw$!#:$!0N![!3:s-)!#;7$$"2tNrU&)H.#Q!#;$!1&p&Glam8")!#<7$$"1Z%*)yP"GnQ!#:$!/>0#=>$*=)!#:7$$"2jBZ%*o`9#R!#;$!1*H?y[veF)!#<7$$"1.17C+MqR!#:$!1Jmr:#>LN)!#<7$$"1D\)p\5(=S!#:$!1)\CR*\:H%)!#<7$$"1hBZ%HC22%!#:$!1'z\(=&*)y])!#<7$$"2DY#\)\[H7%!#;$!17'>S"\_$e)!#<7$$"1'Gd9zk/<%!#:$!12NO@VP\')!#<7$$"1)f>R)\#4A%!#:$!1pq%=2;ir)!#<7$$"1,+++#p,F%!#:$!1GH'QO*Qy()!#<7$$"1W([(\/bBV!#:$!10;siUQU))!#<7$$"14=Os+upV!#:$!1)RazW5\*))!#<7$$"0$e;L0zAW!#9$!0N>Sz*)>&*)!#;7$$"1#Qw_vgEZ%!#:$!0K#*3<!\-!*!#;7$$"1OrU&G\?_%!#:$!1sJw]v\\!*!#<7$$"2NhAX5x9d%!#;$!1#H'*GReN4*!#<7$$"29Gc7N!*=i%!#;$!1"fxdhLa8*!#<7$$"2c?T#[vKvY!#;$!1w1MH^Xw"*!#<7$$"2'Gc7DUKCZ!#;$!0-r[*e.6#*!#;7$$"1<MoO-psZ!#:$!1sxmO!QBC*!#<7$$"1w^.2FRC[!#:$!1.-O!)))ps#*!#<7$$"1T"Gci#)f([!#:$!1-flRN")*H*!#<7$$"0.17k(GA\!#9$!0<@Q'pX@$*!#;7$$"1%yc8FRr(\!#:$!1N0(f#H"QM*!#<7$$"1'Hf=dOI-&!#:$!18:F(='zf$*!#<7$$"1-05?'=n2&!#:$!1BQNguNv$*!#<7$$"1nLnMH&z7&!#:$!1K3rYS2(Q*!#<7$$"1sV([2*pt^!#:$!1Var33'\R*!#<7$$"0&)pRRX^A&!#9$!0BPo#H%4S*!#;7$$"1<LmKF$pF&!#:$!19D!RY$*QS*!#<7$$"0)e<NRZG`!#9$!1En<nty.%*!#<7$$"1">QwAfiP&!#:$!1GS*=K#*4S*!#<7$$"1a2:I"QdU&!#:$!18TQi"z`R*!#<7$$"1Z&4>G4pZ&!#:$!1_*QJm!o'Q*!#<7$$"1zc8Fj"z_&!#:$!1))*3`l*4v$*!#<7$$"1oNrULQ!e&!#:$!1`()=)Ru,O*!#<7$$"1lHf=jfEc!#:$!0KYK=8XM*!#;7$$"1)f>R=@'yc!#:$!1&[UYq"3C$*!#<7$$"14<Mo'f3t&!#:$!14&*Rz6g+$*!#<7$$"1#>Qw7,7y&!#:$!1cb2F8=v#*!#<7$$"1(Qxa*f"p#e!#:$!1cqw@&R(\#*!#<7$$"1v[(\Rv7)e!#:$!1%f**G*ee;#*!#<7$$"1<MoO\KFf!#:$!1tc>))>0'=*!#<7$$"1E]+,:*3)f!#:$!0GC<VHx9*!#;7$$"1tY$p)pIGg!#:$!1-aO/'486*!#<7$$"2&[(\**GH.3'!#;$!12]tkPno!*!#<7$$"1:JiCo')Hh!#:$!01xEl!\D!*!#;7$$"1JhAXSb"='!#:$!1Pu=_(ox(*)!#<7$$"1>Pu[!>!Hi!#:$!0kWMln:$*)!#;7$$"1%oOtY;-G'!#:$!1Q(*)RH.#z))!#<7$$"17C['>'RLj!#:$!1QHu$Gb?#))!#<7$$"1x^.2$*ozj!#:$!1Vq?I:/q()!#<7$$"1nLnMroHk!#:$!1&G"4js^6()!#<7$$"2Dd9HyR8['!#;$!0\H^f=&[')!#;7$$"1a06A=(=`'!#:$!1)**RuD:We)!#<7$$"14<MoTw!e'!#:$!1*G$=>!)3?&)!#<7$$"1uX"Hy]]j'!#:$!1V%))RyNgW)!#<7$$"1:Ig?(HQo'!#:$!1)4!>&>irP)!#<7$$"117C[;"ft'!#:$!1'phF.77I)!#<7$$"0*yd:c5$y'!#9$!16W$RSg-B)!#<7$$"1&=Pu3,Z$o!#:$!1TSC:-S]")!#<7$$"1Rw_0%[K)o!#:$!0F3oW'4t!)!#;7$$"1Jg?TV*R$p!#:$!1U!)3qr2!*z!#<7$$"1@U%)oxg$)p!#:$!1nx#4lZn!z!#<7$$"1U#['H%[b.(!#:$!1'[>4zXs"y!#<7$$"1$['HfMd&3(!#:$!1M&Rr0$))Gx!#<7$$"1MpQx7tOr!#:$!1>#4Zv`jj(!#<7$$"1uX"H[lu=(!#:$!1A+Y"4cCa(!#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<Text-field style="Heading 2" layout="Heading 2">Example Analysis Problems</Text-field>
<Text-field bookmark="Variable Distributed Load Analysis" style="Heading 3" layout="Heading 3">Variable Distributed Load Analysis</Text-field> Change the external distributed load to be linearly dependent upon the location with the following criteria: Distributed load: LHS=200 and RHS=1000Concentrated load: 5500 at x=2 mConcentrated moment: nonePLOT the deflection and shear force diagrams:L:=10: a:=0: b:=2: c:=0: v:=5500: w:=200+80*x: m:=0: EI:=10^6: sol:=beam_analyze(loads,supports): SUNCb3VuZGFyeX5WYWx1ZX5Qcm9ibGVtfnRvflNvbHZlfmlzRzYi LV9JLFR5cGVzZXR0aW5nRzYkJSpwcm90ZWN0ZWRHSShfc3lzbGliRzYiSSxtcHJpbnRzbGFzaEdGKDYkNyQvLCQtSSVkaWZmR0YmNiQtSSJ5R0YoNiNJInhHRigtSSIkR0YmNiRGNCIiJSIoKysrIjYlIiIhLCQqJiwmIiQrIyIiIkY0IiMhKUZALUkqSGVhdmlzaWRlR0YlRjNGQCEiIiwkLUkmRGlyYWNHRiU2IywmRjRGQCEiI0ZAISUrYjwmLy1GMjYjRjtGOy8tRjI2IyIjNUY7Ly0tLUkjQEBHRiU2JEkiREdGJSIiIzYjRjJGT0Y7Ly1GVkZSRjs3JC8sJC1GLzYkLUYvNiQtRi82JC1GLzYkRjFGNEY0RjRGNEY5RjpGTA== newsol:=convert(sol,table): plot(newsol[deflection],x=0..L,title=`Beam Shear`,axes=BOXED); 6,-%'CURVESG6$7^x7$$""!!""%*undefinedG7$$"2(e<Nq:+V;!#>$!1'>YQ%=Zi#)!#?7$$"2u^.29.gG$!#>$!2MWS,2%\_;!#?7$$"1w_06Z+H\!#=$!1W?le.uyC!#>7$$"1NqS"G1?d'!#=$!1*e=8v&)\I$!#>7$$"1_06A%4!e)*!#=$!1*>'yaEZd\!#>7$$"129Gc7S98!#<$!1P)G?R_*4m!#>7$$"206AW)=gr>!#=$!1kA&\"3)["**!#>7$$"19Gc7D!)GE!#<$!2$)4m;>v>K"!#>7$$"1@U%)oP?VR!#<$!29X`hdCH)>!#>7$$"1Gc7D]gd_!#<$!2c2hu6GQk#!#>7$$"0)e<N?"\a(!#;$!2/pe!32x$z$!#>7$$"1KhAX!>A$)*!#<$!09"\<yWV\!#<7$$"1(Qxa4&o(\"!#;$!1lw0(=Ez_(!#=7$$"2117C[eb,#!#<$!2(RZ"*pWo75!#=7$$"2()oPv]q4`#!#<$!1H0:&)4)4F"!#<7$$"1/3;KM#)3I!#;$!2eZ7J0a+^"!#=7$$"2CV'GdCh.N!#<$!2B))yIC9rv"!#=7$$"1sV([(RK:S!#;$!2-vCi3>?,#!#=7$$"2$yc8FWRDX!#<$!2A4!*\V1aE#!#=7$$"1tX"Hek+0&!#;$!2-S$epVADD!#=7$$"1V&3<M%>7b!#;$!2jF*=xhI`F!#=7$$"1v[(\*HWKg!#;$!2o%z`'*)G"4I!#=7$$"0)f>Ry#[b'!#:$!1vJ9*[1\E$!#<7$$"103;KCCeq!#;$!1H?<a"p-^$!#<7$$"1kFb56R:v!#;$!2Y*yn$p_?t$!#=7$$"1Qw_0^)*e!)!#;$!1oT'f85W*R!#<7$$"1lIhA0[>&)!#;$!1251:wU:U!#<7$$"1Z"He;Y^0*!#;$!1b+(e=55Z%!#<7$$"1Gc7D5IH&*!#;$!1Y#=Xf4ep%!#<7$$"2#Qw_0C&\+"!#;$!1`1S"[93%\!#<7$$"105?S**[a5!#:$!1[(GF3XC<&!#<7$$"2.-/3;xh5"!#;$!2lbXc'=I7a!#=7$$"2#3;Kk@k`6!#;$!2&zcx*yZ3j&!#=7$$"2Gd9HeR[?"!#;$!2&)*3)=*Rlke!#=7$$"2;Ig?J>!e7!#;$!0nP(ypI0h!#;7$$"2`18EU7VI"!#;$!1lW>Q<*GJ'!#<7$$"2lD^-D5VN"!#;$!1K=F%3@]`'!#<7$$"2CY#\)*G'fS"!#;$!1aw&QRk@w'!#<7$$"2AW)oP\\c9!#;$!1)or&**o*>)p!#<7$$"1)f>RG(Q0:!#:$!1PbuM\P#>(!#<7$$"2BY#\)*Qnf:!#;$!1)p_Q7)>Bu!#<7$$"2X!4=OGX3;!#;$!1ZJGt*R!Gw!#<7$$"2d4>QwM0m"!#;$!1cL+3&))R%y!#<7$$"1zd:J(Gxq"!#:$!1Vs[J?8P!)!#<7$$"2b2:I?C$f<!#;$!1>hSTtWX#)!#<7$$"2w_06_ry!=!#;$!1*e]Qnq'Q%)!#<7$$"2)>Rycuhe=!#;$!1MRLl*ywj)!#<7$$"206AW)3B3>!#;$!0^\JAQ#H))!#;7$$"218E_ar,'>!#;$!1BK+8N^E!*!#<7$$"1sV([d'>5?!#:$!1NX7F;F8#*!#<7$$"2W#['HRa81#!#;$!1A+gR'34S*!#<7$$"2FY#\)f)37@!#;$!1`]!ooJOe*!#<7$$"2$3;Kk!3(e@!#;$!0%[*ozx&[(*!#;7$$"2%He;L#R@@#!#;$!1_Y^qG8M**!#<7$$"2%)oPvqG*fA!#;$!2-mY9(Gp45!#<7$$"2%pQxaA)3J#!#;$!2l&)y2<?n-"!#<7$$"2`-05I^'fB!#;$!2F2Aln(pU5!#<7$$"2D['HfI!QT#!#;$!2k)o$RQr+1"!#<7$$"2b2:I]%pgC!#;$!1l^0&*G![2"!#;7$$"2lFb5r;R^#!#;$!2*RUf#yq64"!#<7$$"1(Rze(HUiD!#:$!2.+VBGhd5"!#<7$$"2MmKl?"[:E!#;$!2ww3x<j87"!#<7$$"1h@V'[h7m#!#:$!2#H45FS_M6!#<7$$"2`.29))*R8F!#;$!2i;/[fs"\6!#<7$$"2Z#\)p*HwjF!#;$!2Z/D0(z(H;"!#<7$$"2#*yd:@$49G!#;$!1G=u3dVw6!#;7$$"1f<Nq#QU'G!#:$!2u;9V$o]*="!#<7$$"2V$oOt>T7H!#;$!2&ef^!zY<?"!#<7$$"1`06A!*[kH!#:$!1*p"fK$GY@"!#;7$$"1T"GcAAT,$!#:$!2)yz5(RmlA"!#<7$$"2(ze<N)ej1$!#;$!2&)R%3\HxQ7!#<7$$"1V'GdaXO6$!#:$!2X=5Q<1&\7!#<7$$"1F`18i!f;$!#:$!2vcEN0=5E"!#<7$$"229Gc#G'f@$!#;$!16;ga#*pr7!#;7$$"1v\**)f(*eE$!#:$!1X:%Hr<?G"!#;7$$"2Ne;Lma!=L!#;$!2EFP3/OCH"!#<7$$"204=OA$4mL!#;$!2F()p3r1<I"!#<7$$"2/,-/G"H:M!#;$!2A9R))*z(3J"!#<7$$"1BX!4y6'pM!#:$!2;\AR@C1K"!#<7$$"1=OsWXz=N!#:$!2GK%zMX5H8!#<7$$"2&He;LJ4pN!#;$!2L.!H!)*QuL"!#<7$$"2105?]X-i$!#;$!0*Q=WScX8!#:7$$"1tX"H[ksm$!#:$!1CG=&[?FN"!#;7$$"2(\)pR>&Q<P!#;$!2e'pd'))>+O"!#<7$$"1tX"HQCrw$!#:$!2c#H47!GpO"!#<7$$"2tNrU&)H.#Q!#;$!2VPUQYZRP"!#<7$$"1Z%*)yP"GnQ!#:$!20q._>C)z8!#<7$$"2jBZ%*o`9#R!#;$!1[H%R)[B'Q"!#;7$$"1.17C+MqR!#:$!2Q3y64!o"R"!#<7$$"1D\)p\5(=S!#:$!1Pt@G1v'R"!#;7$$"1hBZ%HC22%!#:$!2&*RxtF^=S"!#<7$$"2DY#\)\[H7%!#;$!2)>!f#)31mS"!#<7$$"1'Gd9zk/<%!#:$!2NHl<_81T"!#<7$$"1)f>R)\#4A%!#:$!2uSMv3PXT"!#<7$$"1,+++#p,F%!#:$!/#oZhO!=9!#97$$"1W([(\/bBV!#:$!2(*>`j(HY@9!#<7$$"14=Os+upV!#:$!2eUC`!*>TU"!#<7$$"0$e;L0zAW!#9$!2Y")3Tj>oU"!#<7$$"1#Qw_vgEZ%!#:$!1Y<&4.:!H9!#;7$$"1OrU&G\?_%!#:$!2E&f,lE'3V"!#<7$$"2NhAX5x9d%!#;$!1'pCK)pQK9!#;7$$"29Gc7N!*=i%!#;$!2X#[<DwgL9!#<7$$"2c?T#[vKvY!#;$!2#))ff9R`M9!#<7$$"2'Gc7DUKCZ!#;$!1=;**=:0N9!#;7$$"1<MoO-psZ!#:$!2om(oE>DN9!#<7$$"1w^.2FRC[!#:$!2Uc)4td7N9!#<7$$"1T"Gci#)f([!#:$!2K+c$z,lM9!#<7$$"0.17k(GA\!#9$!2$o*RIeERV"!#<7$$"1%yc8FRr(\!#:$!2'z[EHsqK9!#<7$$"1'Hf=dOI-&!#:$!1fAC8fQJ9!#;7$$"1-05?'=n2&!#:$!2ZB`Sb$\H9!#<7$$"1nLnMH&z7&!#:$!2Vb9#*pRtU"!#<7$$"1sV([2*pt^!#:$!2L?GhWI^U"!#<7$$"0&)pRRX^A&!#9$!2lrG#*\CBU"!#<7$$"1<LmKF$pF&!#:$!2CO$)4[d">9!#<7$$"0)e<NRZG`!#9$!1QIW@cm:9!#;7$$"1">QwAfiP&!#:$!1`qBQk779!#;7$$"1a2:I"QdU&!#:$!2#\eq,q:39!#<7$$"1Z&4>G4pZ&!#:$!2c#yp!)os.9!#<7$$"1zc8Fj"z_&!#:$!2$e!zaa$)*)R"!#<7$$"1oNrULQ!e&!#:$!2/>Wk)[w$R"!#<7$$"1lHf=jfEc!#:$!2;PM#GV)))Q"!#<7$$"1)f>R=@'yc!#:$!2Z"oO.K2$Q"!#<7$$"14<Mo'f3t&!#:$!1:_$>C-pP"!#;7$$"1#>Qw7,7y&!#:$!1WP&*Q%Q1P"!#;7$$"1(Qxa*f"p#e!#:$!2329q9#ok8!#<7$$"1v[(\Rv7)e!#:$!1:'=\2psN"!#;7$$"1<MoO\KFf!#:$!2tn20#)42N"!#<7$$"1E]+,:*3)f!#:$!2-+i>BfFM"!#<7$$"1tY$p)pIGg!#:$!2v*4$p`NaL"!#<7$$"2&[(\**GH.3'!#;$!2ta;-2$4F8!#<7$$"1:JiCo')Hh!#:$!2BPB64_)=8!#<7$$"1JhAXSb"='!#:$!1<`zEm%*48!#;7$$"1>Pu[!>!Hi!#:$!1RvAlV\,8!#;7$$"1%oOtY;-G'!#:$!1)y)oZ]3#H"!#;7$$"17C['>'RLj!#:$!2n*G>4B*>G"!#<7$$"1x^.2$*ozj!#:$!20_PXpVHF"!#<7$$"1nLnMroHk!#:$!2GfD`6)*GE"!#<7$$"2Dd9HyR8['!#;$!2a>R0pCAD"!#<7$$"1a06A=(=`'!#:$!2*y$zkh%\T7!#<7$$"14<MoTw!e'!#:$!21<]![N%3B"!#<7$$"1uX"Hy]]j'!#:$!2%Q%>!z(4(=7!#<7$$"1:Ig?(HQo'!#:$!2%opR>L`27!#<7$$"117C[;"ft'!#:$!2v$=P%f;`>"!#<7$$"0*yd:c5$y'!#9$!2k[#o/e*R="!#<7$$"1&=Pu3,Z$o!#:$!2LjNK.\8<"!#<7$$"1Rw_0%[K)o!#:$!2N=1W4%>f6!#<7$$"1Jg?TV*R$p!#:$!2FZB(HmAY6!#<7$$"1@U%)oxg$)p!#:$!2A"oo^@HL6!#<7$$"1U#['H%[b.(!#:$!2(f@dB@[>6!#<7$$"1$['HfMd&3(!#:$!2'zo97U#f5"!#<7$$"1MpQx7tOr!#:$!2,ZW<9,=4"!#<7$$"1uX"H[lu=(!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<Text-field bookmark="3D Concentrated Load Analysis" style="Heading 3" layout="Heading 3">3D Concentrated Load Analysis</Text-field> Observe the variation in deflection if the concentrated load varies from 0 to 10000. Remove the distributed load i.e. w=0. newsol:=convert(eval(op(subs(L=10,a=0,b=2,c=0,w=0,m=0,EI=10^6,op(sol)))),table): L:=10: a:=0: b:=2: c:=0: w:=0: m:=0: EI:=10^6: unassign('v'): sol:=beam_analyze(loads,supports): SUNCb3VuZGFyeX5WYWx1ZX5Qcm9ibGVtfnRvflNvbHZlfmlzRzYi LV9JLFR5cGVzZXR0aW5nRzYkJSpwcm90ZWN0ZWRHSShfc3lzbGliRzYiSSxtcHJpbnRzbGFzaEdGKDYkNyQvLCQtSSVkaWZmR0YmNiQtSSJ5R0YoNiNJInhHRigtSSIkR0YmNiRGNCIiJSIoKysrIjYkIiIhLCQqJkkidkdGKCIiIi1JJkRpcmFjR0YlNiMsJkY0Rj8hIiNGP0Y/ISIiPCYvLUYyNiNGO0Y7Ly1GMjYjIiM1RjsvLS0tSSNAQEdGJTYkSSJER0YlIiIjNiNGMkZJRjsvLUZQRkxGOzckLywkLUYvNiQtRi82JC1GLzYkLUYvNiRGMUY0RjRGNEY0RjlGOkZG newsol:=convert(sol,table): plot3d(newsol[deflection],x=0..10,v=0..10000,axes=BOXED); 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))\#!#>$!2l=Z["epPE!#>$!1daO5>_wF!#=$!2$GP)e+[`"H!#>$!11?S,T<aI!#=$!1w-#p>+I>$!#=$!2taQCHE=L$!#>$!2%=o&zQ_1Z$!#>$!2c4vM[y%4O!#>$!2oO$**yXI[P!#>$!1Q;^u18()Q!#=$!1:*H+xcf-%!#=$!1'=[b'GykT!#=$!1dk1h*3OI%!#=$!1NZec]VUW!#=$!11I5_6E"e%!#=$!1x7iZs3?Z!#=$!2NbRJM8*e[!#>$!1DylQ%Rx*\!#=$!1'4wT`ll8&!#=$!1nVpH;Rv_!#=$!1WE@Dx@9a!#=$!194t?Q/`b!#=$!2b=\i"*p=p&!#>$!2NYn<,'pIe!#>$!1MdG2@_pf!#=$!1/S!G?[$3h!#=$!1wAK)HurC'!#=$!1_0%QR+gQ'!#=$!1C)e$*[E[_'!#=$!2&3r([e_Om'!#>7S$!"!!""$!"!!""$!"!!""$!"!!""$!"!!""$!"!!""$!"!!""$!"!!""$!"!!""$!"!!""$!"!!""$!"!!""$!"!!""$!"!!""$!"!!""$!"!!""$!"!!""$!"!!""$!"!!""$!"!!""$!"!!""$!"!!""$!"!!""$!"!!""$!"!!""$!"!!""$!"!!""$!"!!""$!"!!""$!"!!""$!"!!""$!"!!""$!"!!""$!"!!""$!"!!""$!"!!""$!"!!""$!"!!""$!"!!""$!"!!""$!"!!""$!"!!""$!"!!""$!"!!""$!"!!""$!"!!""$!"!!""$!"!!""$!"!!""-&%&_AXISG6#"""6&-%&COLORG6&%$RGBG$""!!""$""!!""$""!!""-%*LINESTYLEG6#""!-%*THICKNESSG6#""!-%-TRANSPARENCYG6#$""!!""-&%&_AXISG6#""#6&-%&COLORG6&%$RGBG$""!!""$""!!""$""!!""-%*LINESTYLEG6#""!-%*THICKNESSG6#""!-%-TRANSPARENCYG6#$""!!""-&%&_AXISG6#""$6&-%&COLORG6&%$RGBG$""!!""$""!!""$""!!""-%*LINESTYLEG6#""!-%*THICKNESSG6#""!-%-TRANSPARENCYG6#$""!!""-%+AXESLABELSG6%-I#miG6#/I+modulenameG6"I,TypesettingGI(_syslibG6"65Q"x6"/%'familyGQ!6"/%%sizeGQ#106"/%%boldGQ&false6"/%'italicGQ%true6"/%*underlineGQ&false6"/%*subscriptGQ&false6"/%,superscriptGQ&false6"/%+foregroundGQ([0,0,0]6"/%+backgroundGQ.[255,255,255]6"/%'opaqueGQ&false6"/%+executableGQ&false6"/%)readonlyGQ&false6"/%)composedGQ&false6"/%*convertedGQ&false6"/%+imselectedGQ&false6"/%,placeholderGQ&false6"/%6selection-placeholderGQ&false6"/%,mathvariantGQ'italic6"-I#miG6#/I+modulenameG6"I,TypesettingGI(_syslibG6"65Q"v6"/%'familyGQ!6"/%%sizeGQ#106"/%%boldGQ&false6"/%'italicGQ%true6"/%*underlineGQ&false6"/%*subscriptGQ&false6"/%,superscriptGQ&false6"/%+foregroundGQ([0,0,0]6"/%+backgroundGQ.[255,255,255]6"/%'opaqueGQ&false6"/%+executableGQ&false6"/%)readonlyGQ&false6"/%)composedGQ&false6"/%*convertedGQ&false6"/%+imselectedGQ&false6"/%,placeholderGQ&false6"/%6selection-placeholderGQ&false6"/%,mathvariantGQ'italic6"Q!6"-%+LIGHTMODELG6#Q(LIGHT_36"-%+PROJECTIONG6,$"(DX["!"($!)1_">)!")$"(B.a&!"($");7?@!")$")XwNd!")$"(,C"z!"($!(e#f'*!"($""!!""$")/>)e#!")$"#5!""-%*AXESSTYLEG6#%$BOXG-%)_VISIBLEG6#"""-%%ROOTG6'-%)BOUNDS_XG6#$"$+"!""-%)BOUNDS_YG6#$"$+"!""-%-BOUNDS_WIDTHG6#$"%+R!""-%.BOUNDS_HEIGHTG6#$"%+R!""-%)CHILDRENG6"-%+ANNOTATIONG6'-%)BOUNDS_XG6#$""!!""-%)BOUNDS_YG6#$""!!""-%-BOUNDS_WIDTHG6#$"%+S!""-%.BOUNDS_HEIGHTG6#$"%+S!""-%)CHILDRENG6"Ig==
<Text-field style="Heading 2" layout="Heading 2">Example Design Problems</Text-field>
<Text-field bookmark="Find Maximum Distributed Force allowing 1% Deflection" style="Heading 3" layout="Heading 3">Find Maximum Distributed Force allowing 1% Deflection</Text-field> Given the following loading conditions:Distributed Load : starting at x = 0 to x = 10 defl:=convert(eval(op(subs(L=10,a=0,b=0,c=0,v=0,m=0,EI=10^6,op(sol)))),table): L:=10: a:=0: b:=0: c:=0: v:=0: m:=0: EI:=10^6: unassign('w'): sol:=beam_analyze(loads,supports): SUNCb3VuZGFyeX5WYWx1ZX5Qcm9ibGVtfnRvflNvbHZlfmlzRzYi LV9JLFR5cGVzZXR0aW5nRzYkJSpwcm90ZWN0ZWRHSShfc3lzbGliRzYiSSxtcHJpbnRzbGFzaEdGKDYkNyQvLCQtSSVkaWZmR0YmNiQtSSJ5R0YoNiNJInhHRigtSSIkR0YmNiRGNCIiJSIoKysrIjYkIiIhLCQqJkkid0dGKCIiIi1JKkhlYXZpc2lkZUdGJUYzRj8hIiI8Ji8tRjI2I0Y7RjsvLUYyNiMiIzVGOy8tLS1JI0BAR0YlNiRJIkRHRiUiIiM2I0YyRkZGOy8tRk1GSUY7NyQvLCQtRi82JC1GLzYkLUYvNiQtRi82JEYxRjRGNEY0RjRGOUY6RkM= defl:=convert(sol,table): maxdefl:=defl[slope]=0; LV9JLFR5cGVzZXR0aW5nRzYkJSpwcm90ZWN0ZWRHSShfc3lzbGliRzYiSSxtcHJpbnRzbGFzaEdGKDYkNyM+SShtYXhkZWZsR0YoLywkKiZJIndHRigiIiIsKComLUkqSGVhdmlzaWRlR0YlNiNJInhHRihGMkY4IiIkRjIqJEY4IiIjISM6IiRdI0YyRjIjISIiIigrKysnIiIhNyNGLg== Max deflection will occur at mid span x = 5. newdefl:=simplify(subs(x=5,defl[deflection])=-0.01*L); LV9JLFR5cGVzZXR0aW5nRzYkJSpwcm90ZWN0ZWRHSShfc3lzbGliRzYiSSxtcHJpbnRzbGFzaEdGKDYkNyM+SShuZXdkZWZsR0YoLywkSSJ3R0YoIyEiIiIlIW8oJCEjNSEiIzcjRi4= maxforce:=eval(solve(newdefl,w)) * N; LV9JLFR5cGVzZXR0aW5nRzYkJSpwcm90ZWN0ZWRHSShfc3lzbGliRzYiSSxtcHJpbnRzbGFzaEdGKDYkNyM+SSltYXhmb3JjZUdGKCwkSSJOR0YoJCIkbygiIiE3I0Yu
<Text-field bookmark="Find Maximum Width of Beam for Given Height and Loads" style="Heading 3" layout="Heading 3">Find Maximum Width of Beam for Given Height and Loads</Text-field> Given the following loading conditions:Concentrated Load: 500 N at mid-spanMax deflection: 1% of length occurs at mid-spanheight: 0.1 mFind the Cross Sectional Square Area for an aluminum beam that will support a 1% deflection cross:=convert(eval(op(subs(L=10,a=0,b=5,c=0,v=500,m=0,w=0,EI=Youngs*(base*height^3)/12,op(sol)))),table): L:=10: a:=0: b:=5: c:=0: v:=500: m:=0: w:=0: EI:=Youngs*(base*height^3)/12: sol:=beam_analyze(loads,supports): SUNCb3VuZGFyeX5WYWx1ZX5Qcm9ibGVtfnRvflNvbHZlfmlzRzYi LV9JLFR5cGVzZXR0aW5nRzYkJSpwcm90ZWN0ZWRHSShfc3lzbGliRzYiSSxtcHJpbnRzbGFzaEdGKDYkNyQvLCQqKkknWW91bmdzR0YoIiIiSSViYXNlR0YoRjBJJ2hlaWdodEdGKCIiJC1JJWRpZmZHRiY2JC1JInlHRig2I0kieEdGKC1JIiRHRiY2JEY6IiIlRjAjRjAiIzc2JCIiISwkLUkmRGlyYWNHRiU2IywmRjpGMCEiJkYwISQrJjwmLy1GODYjRkJGQi8tRjg2IyIjNUZCLy0tLUkjQEBHRiU2JEkiREdGJSIiIzYjRjhGTUZCLy1GVEZQRkI3JC8sJCoqRi9GMEYxRjBGMkYzLUY1NiQtRjU2JC1GNTYkLUY1NiRGN0Y6RjpGOkY6RjBGP0ZBRko= cross:=convert(sol,table): maxhgt:=solve(simplify(subs(x=5,height=.1,Youngs=69E9,cross[deflection])=-.01*L),base); LV9JLFR5cGVzZXR0aW5nRzYkJSpwcm90ZWN0ZWRHSShfc3lzbGliRzYiSSxtcHJpbnRzbGFzaEdGKDYkNyM+SSdtYXhoZ3RHRigkIistVWY2PSEjNjcjRi4=
<Text-field bookmark="Change Beam Boundary conditions to Clamped-Clamped and resolve the previous design" style="Heading 3" layout="Heading 3">Change Beam Boundary conditions to Clamped-Clamped and resolve the previous design</Text-field> Re-run the Beam_Analyze macro in order to determine the new general solution.New support conditions are indicated as follows.supports := {D(y)(0) = 0, D(y)(L)=0,y(L)=0,y(0)=0}; LV9JLFR5cGVzZXR0aW5nRzYkJSpwcm90ZWN0ZWRHSShfc3lzbGliRzYiSSxtcHJpbnRzbGFzaEdGKDYkNyM+SSlzdXBwb3J0c0dGKDwmLy1JInlHRig2IyIiIUYzLy1GMTYjIiM1RjMvLS1JIkRHRiU2I0YxRjJGMy8tRjpGNkYzNyNGLg== L:=10: a:=0: b:=5: c:=0: v:=500: m:=0: w:=0: EI:=Youngs*(base*height^3)/12: Solve the problemclamped := beam_analyze(loads,supports): SUNCb3VuZGFyeX5WYWx1ZX5Qcm9ibGVtfnRvflNvbHZlfmlzRzYi LV9JLFR5cGVzZXR0aW5nRzYkJSpwcm90ZWN0ZWRHSShfc3lzbGliRzYiSSxtcHJpbnRzbGFzaEdGKDYkNyQvLCQqKkknWW91bmdzR0YoIiIiSSViYXNlR0YoRjBJJ2hlaWdodEdGKCIiJC1JJWRpZmZHRiY2JC1JInlHRig2I0kieEdGKC1JIiRHRiY2JEY6IiIlRjAjRjAiIzc2JCIiISwkLUkmRGlyYWNHRiU2IywmRjpGMCEiJkYwISQrJjwmLy1GODYjRkJGQi8tRjg2IyIjNUZCLy0tSSJER0YlNiNGOEZNRkIvLUZURlBGQjckLywkKipGL0YwRjFGMEYyRjMtRjU2JC1GNTYkLUY1NiQtRjU2JEY3RjpGOkY6RjpGMEY/RkFGSg== cross:=convert(clamped,table): maxhgt:=solve(simplify(subs(x=5,height=.1,Youngs=69E9,cross[deflection])=-.01*L),base); LV9JLFR5cGVzZXR0aW5nRzYkJSpwcm90ZWN0ZWRHSShfc3lzbGliRzYiSSxtcHJpbnRzbGFzaEdGKDYkNyM+SSdtYXhoZ3RHRigkIisxYikqR1ghIzc3I0Yu