S\303\251ries de puissances et s\303\251ries de Fourier
\302\251 Andr\303\251 L\303\251vesque
Cette application maplets permet d'obtenir le d\303\251veloppement en s\303\251rie de Taylor ou de Maclaurin d'une fonction ind\303\251finiment d\303\251rivable au voisinage d'un point ainsi que le d\303\251veloppement en s\303\251rie de Fourier d'une fonction p\303\251riodique continue avec peut-\303\252tre un nombre fini de points de discontinuit\303\251 de premi\303\250re esp\303\250ce. Pour en savoir un peu plus sur les s\303\251ries de Taylor et de Maclaurin, consultez le document pdf notes de cours sur les suites et s\303\251ries. Pour lancer l'application, cliquez sur !!! ou choississez Edit -> Execute -> Worksheet. ou placez votre curseur sur une ligne rouge du programme puis cliquez sur la touche retour.**************************************restart:
s1:="sin(x)": s2:="cos(x)": s3:="exp(x)": s4:="1/(1-x)": s5:="ln(1+x)": s6:="arctan(x)":
developpement:= proc()
local a, b, f, p, s, sl1, slx, sly:
global e, L, F, tc, tp, fct, rb1, tf1:
use Maplets[Tools] in
sl1:=Get('SL1'):
slx:=Get('SLX'):
sly:=Get('SLY'):
rb1:=Get('RB1'):
if Get('TF1')="" then
Maplets[Examples][Message]( "La fonction n'a pas \303\251t\303\251 d\303\251finie."):
return
else
if whattype(traperror(Get('TF1'::algebraic)))=string then
Maplets[Examples][Message](cat("Erreur: f(x) = ",Get('TF1'))):
return
else
tf1:=Get('TF1'::algebraic)
fi:
if (not(is(subs(x=1e-8,tf1),complexcons)) or is(subs(x=1e-8,tf1),complexcons)=FAIL or whattype(traperror(discont(tf1,x)))=string) then
Maplets[Examples][Message](cat("Erreur: f(x) = ",convert(tf1,string))):
return
fi:
fi:
e:=0:
f:= x->convert(tf1,surd):
if rb1=true then
if Get('TC')<>"" then
tc:=Get('TC'::constant):
else
Maplets[Examples][Message]("La valeur de \302\253 C \302\273 n'a pas \303\251t\303\251 d\303\251finie."):
return
fi:
if whattype(traperror(taylor(apply(f,x) ,x=tc, sl1)))=string then
Set('PL1'= plot(0,x=1..2,1..2, axes=NONE)):
Maplets[Examples][Message]("La fonction ne poss\303\250de pas de d\303\251veloppement en s\303\251rie\134nde puissances autour des valeurs choisies de C et n."):
return
fi:
if whattype(traperror(timelimit(1,convert(apply(f,x), FormalPowerSeries, x=tc, n))))<>string and whattype(traperror(timelimit(1,convert(apply(f,x), FormalPowerSeries, x=tc, n))))<>exprseq then
s:=subs(infinity=sl1,convert(apply(f,x), FormalPowerSeries, x=tc, n)):
if s<>f(x) and whattype(traperror(convert(s,sum)))<>string then
F:=s=convert(s,sum):
else
F:=sort(convert(taylor(apply(f,x) ,x=tc, sl1), polynom),[x], ascending):
fi:
else
F:=sort(convert(taylor(apply(f,x) ,x=tc, sl1), polynom),[x], ascending):
fi:
if sl1>20 and type(F,equation) then
Set('TW1'=lhs(F)):Set('TW2'=lhs(F)):
elif sl1<=20 and type(F,equation) then
if type(lhs(F),function) then
p:=op([lhs(F)=add(subs(n=i,op(1,lhs(F))),i=0..sl1)]):
else
p:=F
fi:
Set('TW1'=p):Set('TW2'=p)
elif length(convert(F,string))>3000 then
Set('TW1'=`Expression\302\240trop\302\240complexe`): Set('TW2'=NULL):
else
Set('TW1'=F):Set('TW2'=F):
fi:
courbe():
Set('PL1'=G):
fct:=f(x):
else
if Get('TP')<>"" then
tp:=Get('TP'::constant):
if evalf(tp)<=0 then
Maplets[Examples][Message]( "La valeur de \302\253 P \302\273 doit \303\252tre positive."):
return
fi
else
Maplets[Examples][Message]( "La valeur de \302\253 P \302\273 n'a pas \303\251t\303\251 d\303\251finie."):
return
fi:
p:=cat(" sur [ ", convert(-tp/2,string),", ", convert(tp/2,string)," ]"):
if length(p)>24 then
p:=" sur [-p/2, p/2]"
fi:
Set('LP'(caption)=p):
assume(k::integer):
L:= tp/2:
subs(x=L/Pi*x, f):
a[0]:= 1/L*int(f(x), x=-L..L):
a[k]:= 1/L*int(f(x)*cos(k*Pi/L*x), x=-L..L):
b[k]:= 1/L*int(f(x)*sin(k*Pi/L*x), x=-L..L):
F:= sort(a[0]/2+sum(a[k]*cos(k*Pi/L*x)+b[k]*sin(k*Pi/L*x), k=1..sl1),ascending):
if is(subs(x=0, F), real)=false then
Set('PL1'= plot(0,x=1..2,1..2, axes=NONE)):
Maplets[Examples][Message](cat("ERREUR - La fonction f doit \303\252tre continue sur la p\303\251riode P choisie sauf peut \303\252tre en un nombre", `\134n`, "fini de points de discontinuit\303\251 de premi\303\250re esp\303\250ce (les limites \303\240 gauche et \303\240 droite", `\134n`, "existent et sont diff\303\251rentes aux points de discontinuit\303\251 de premi\303\250re esp\303\250ce).")):
e:=1:
return:
elif length(convert(F,string))>3000 then
Set('TW1'=`Expression\302\240trop\302\240complexe`): Set('TW2'=`Expression\302\240trop\302\240complexe`):
F:="Expression trop complexe":
else
Set('TW1'=F):Set('TW2'=F):
fi:
courbe():
Set('PL1'=G):
fct:=f(x):
fi:
end use:
end:
courbe:= proc()
local g1, g2, g3, g4, x1, x2, y1, y2, sl1, slx, sly, rb1:
global e, F, G:
use Maplets[Tools] in
sl1:=Get('SL1'):
slx:=Get('SLX'):
sly:=Get('SLY'):
rb1:=Get('RB1'):
F:=parse(Get('TW2')):
if e=1 then return fi:
if rb1=true and whattype(F)=`=` then
F:=rhs(F)
fi:
if rb1=true then
x1:= tc-10*1.02^slx:
x2:= tc+10*1.02^slx:
y1:=-5*1.03^sly:
y2:= 5*1.03^sly:
g1:= plot(convert(tf1,surd), x=x1..x2, y1..y2, color=red, discont=true, thickness=1, numpoints=200):
g2:= plot(F, x=x1..x2, y1..y2, color=black, discont=true, thickness=3, numpoints=200):
g3:= plots[implicitplot](x=tc, x=x1..x2, y=y1..y2, linestyle=3, color=black):
g4:=plots[textplot]([tc, y2, typeset("C = ",tc)], align={RIGHT}, color=black):
G:=plots[display]([g2, g1, g3, g4], labels=["", ""], font=[HELVETICA,9]):
else
x1:=-2.5*tp/2*1.02^slx:
x2:= 2.5*tp/2*1.02^slx:
y1:=-5*1.03^sly:
y2:= 5*1.03^sly:
g1:= plot(convert(tf1,surd), x=max(-tp/2,x1)..min(tp/2,x2), y1..y2, color=red, discont=true, thickness=4, numpoints=200):
g2:= plot(F, x=x1..x2,y1..y2, color=black, discont=true, thickness=2, numpoints=200):
G:=plots[display]([g1, g2], labels=["", ""], font=[HELVETICA,9]):
fi
end use
end:
fonction:=proc()
local s1,s2,s3,s4,s5,s6:
use Maplets[Tools] in
if Get('RB1')=true then
s1:="sin(x)": s2:="cos(x)": s3:="exp(x)": s4:="1/(1-x)": s5:="ln(1+x)": s6:="arctan(x)"
else
s1:="x": s2:="abs(x)": s3:="abs(x)/x": s4:="(x+abs(x))/2": s5:="x^2/2": s6:="piecewise(x>=0,(Pi-x)/2,-(Pi+x)/2)"
fi:
Set('MI1'(caption)=s1):
Set('MI2'(caption)=s2):
Set('MI3'(caption)=s3):
Set('MI4'(caption)=s4):
Set('MI5'(caption)=s5):
Set('MI6'(caption)=s6):
end use
end:
conserver:=proc()
use Maplets[Tools] in:
if Get('TW1')=NULL then return fi:
print():print():
print('f(x)'=fct):
if Get('RB1')=true then
print():
print('C' = Get('TC'::constant)):
print()
else
print():
print(intervalle = [ (-1)*Get('TP'::constant)/2 , Get('TP'::constant)/2 ]):
print()
fi:
print(parse(Get('TW2'))):
print():print():
print(G):
print(________________________________________________):
end use
end:
choix:=proc(c)
use Maplets[Tools] in:
Set('TF1'=Get(MI||c(caption)))
end use
end:
with(Maplets[Elements]):
ini:= ()->Action(SetOption('SLX'=0), SetOption('SLY'=0), SetOption('SL1'=3)):
serie:=Maplet('onstartup'=RunWindow('A1'),
Window['A0'](title="Aide", height=400, width=520, 'layout' = 'BA0', resizable = false),
BoxLayout['BA0'](
BoxColumn(
TextBox(height=16, editable=false,
"
S\303\211RIES DE PUISSANCES
a) Trouver les d\303\251veloppements en s\303\251ries de Maclaurin
des fonctions suivantes.
f(x) = sin(x)
f(x) = cos(x)
f(x) = e^x (tapez exp(x))
f(x) = 1/(1-x)
f(x) = ln(1+x)
f(x) = arctan(x)
En examinant le graphique des d\303\251veloppements en
s\303\251ries des trois derni\303\250res fonctions, estimer
l'intervalle ouvert de convergence de ces s\303\251ries.
b) Trouver les d\303\251veloppements en s\303\251ries de Taylor
des fonctions suivantes
f(x) = ln(x) autour de c=1, c=2, c=3, c=4
f(x) = 1/(x^2-4) autour de c=3, c=4, c=5, c=6
En examinant le graphique de ces d\303\251veloppements,
estimer l'intervalle ouvert de convergence des
s\303\251ries autour de c=k>0 dans le premier cas et
autour de c=k>2 dans le second cas.
S\303\211RIES DE FOURIER
Trouver les d\303\251veloppements en s\303\251ries de Fourier
des fonctions suivantes de p\303\251riode 2*Pi.
f(x) = x sur [-Pi, Pi]
f(x) = abs(x) sur [-Pi, Pi]
f(x) = abs(x)/x sur [-Pi, Pi]
f(x) = x^2/2 sur [-Pi, Pi]
f(x) = (x+abs(x))/2 sur [-Pi, Pi]
************************
Pour entrer rapidement les fonctions du haut utilisez
le bouton droit de la souris lorsque celle-ci pointe
sur la case contenant l'\303\251quation de f(x).
"
),
Button("FERMER",CloseWindow('A0'))
)
),
Window['A1']('title'="D\303\251veloppement de fonctions en s\303\251ries", 'menubar'='MB1', height=540, width=800, resizable = false, 'layout' = 'BL1'),
BoxLayout['BL1'](
TextField['TW2']("", visible=false),
BoxRow('inset'=0, 'spacing'=0, 'border'='true',
BoxColumn('inset'=0, 'spacing'=0, 'halign'=left,
Label(" ", font=Font('HELVETICA',6)),
Label("S\303\211RIE DE PUISSANCES - S\303\211RIE DE FOURIER", font=Font('HELVETICA',11)),
Label(" ", font=Font('HELVETICA',12)),
BoxRow('inset'=0, 'spacing'=0,
CheckBox['RB1']("", 'value'=true, onchange=Action(SetOption('TF1'=""), Evaluate('PL1'= plot(0,x=1..2,1..2, axes=NONE)), Evaluate('TP'= 2*Pi), SetOption('LP'(caption)=cat(" sur [ ", convert(-Pi,string),", ", convert(Pi,string)," ]")), SetOption('TC'(enabled)=true), SetOption('TP'(enabled)=false), SetOption('RB1'(value)=true), SetOption('RB2'(value)=false), SetOption('RB2'(foreground)="#000000"), Evaluate('TW1'= ""), ini(), SetOption('MI1'(caption)= "sin(x)"), SetOption('MI2'(caption)= "cos(x)"), SetOption('MI3'(caption)= "exp(x)"), SetOption('MI4'(caption)= "ln(1-x)"), SetOption('MI5'(caption)= "ln(1+x)"), SetOption('MI6'(caption)= "arctan(x)"))),
Label(" S\303\251rie de puissances en (x-c) de f(x) avec C =", font=Font('HELVETICA',11)),
TextField['TC']('value' = 0, width = 7, 'halign'=center),
Label(" ")
),
Label(" ", font=Font('HELVETICA',4)),
BoxRow('inset'=0, 'spacing'=0,
CheckBox['RB2']("", 'value'=false, onchange=Action(SetOption('TF1'=""), Evaluate('PL1'= plot(0,x=1..2,1..2, axes=NONE)), SetOption('TC'(enabled)=false), Evaluate('TC'= 0), SetOption('TP'(enabled)=true), SetOption('RB1'(value)=false), SetOption('RB2'(value)=true), SetOption('RB1'(foreground)="#000000"), Evaluate('TW1'= ""), ini(), SetOption('MI1'(caption)= "x"), SetOption('MI2'(caption)= "abs(x)"), SetOption('MI3'(caption)= "abs(x)/x"), SetOption('MI4'(caption)= "(x+abs(x))/2"), SetOption('MI5'(caption)= "x^2/2"), SetOption('MI6'(caption)= "piecewise(x>=0,(Pi-x)/2,-(Pi+x)/2)"))),
Label(" S\303\251rie de Fourier de f(x) de p\303\251riode p=", font=Font('HELVETICA',11)),
TextField['TP']('value' = "2*Pi" , width = 7, halign=center, enabled=false),
Label['LP'](cat(" sur [ ", convert(-Pi,string),", ", convert(Pi,string)," ]"), font=Font('HELVETICA',11))
),
Label(" ", font=Font('HELVETICA',12)),
BoxRow('inset'=0, 'spacing'=0,
Label(" f(x) = ", font=Font('HELVETICA',11)),
TextField['TF1']("", width=35, foreground=red, 'popupmenu'='PM1', onchange = Action(Evaluate('SLX'=0), Evaluate('SLY'=0), Evaluate('SL1'=3))),
Button['BT1']("OK", 'onclick' = Evaluate('function'= 'developpement()'))
),
Label(" ", font=Font('HELVETICA',6)),
BoxRow(
Label(" Nombre de termes de la s\303\251rie : ", font=Font('HELVETICA',11)),
Slider['SL1'](1..50, 3, 'minorticks'=1, filled=true, 'horizontal', onchange = Action(Evaluate('TW1'=""), Evaluate('function'= 'developpement()')))
),
MathMLViewer['TW1'](width=370, height=280, fontsize=12)
)
),
BoxColumn('inset'=0, 'spacing'=0, 'border'='true',
Plotter['PL1']('value' = plots[textplot]([0, 0, "
Quelques fonctions sont accessibles en utilisant
le bouton droit de la souris lorsque le curseur
pointe sur la zone rectangulaire de saisie de
texte \303\240 droite de f(x) = .
", font=[COURIER,ITALIC,12]], axes=NONE), width=370, height=360),
BoxRow('inset'=0, 'spacing'=0, 'border'='true',
"x : ",
Slider['SLX'](-100..100, 0, 'minorticks'=5, filled=true, 'horizontal', Evaluate('function'= 'developpement()')),
Slider['SLY'](-100..100, 0, 'minorticks'=5, filled=true, 'horizontal', Evaluate('function'= 'developpement()')),
" : y"
),
Label(" ", font=Font('HELVETICA',2)),
BoxRow('inset'=0, 'spacing'=0,
Label(" ", font=Font('HELVETICA',6)),
Button['BT2']("Conserver", onclick=Evaluate(function='conserver()')),
Label(" ", font=Font('HELVETICA',6)),
Label("\302\251 Andr\303\251 L\303\251vesque", font=Font('HELVETICA',10))
)
)
),
MenuBar['MB1'](
Menu("Fichier",
MenuItem("Fermer", Shutdown())
),
Menu("?",
MenuItem("Aide", RunWindow('A0'))
)
),
ButtonGroup['BG1'](),
PopupMenu['PM1'](
MenuItem[MI1](s1, onclick = Action(Evaluate('function'='choix(1)'), Evaluate('function'= 'developpement()'))),
MenuItem[MI2](s2, onclick = Action(Evaluate('function'='choix(2)'), Evaluate('function'= 'developpement()'))),
MenuItem[MI3](s3, onclick = Action(Evaluate('function'='choix(3)'), Evaluate('function'= 'developpement()'))),
MenuItem[MI4](s4, onclick = Action(Evaluate('function'='choix(4)'), Evaluate('function'= 'developpement()'))),
MenuItem[MI5](s5, onclick = Action(Evaluate('function'='choix(5)'), Evaluate('function'= 'developpement()'))),
MenuItem[MI6](s6, onclick = Action(Evaluate('function'='choix(6)'), Evaluate('function'= 'developpement()')))
)
):
Maplets[Display](serie):