Juegos de Probabilidad: La Paradoja de Parrondo Sobre c\303\263mo dos juegos perdedore pueden resultar en uno ganador. Mario Merino Mart\303\255nez E.T.S.Ingenieros Aeron\303\241uticos, U.P.M. Madrid, Espa\303\261a (email: mariomerinomartinez@gmail.com)

Esta hoja de Maple 10 pretende ser un an\303\241lisis completo de la Paradoja de Parrondo, de la probabilidad y de los juegos, en una de sus variantes originales, en la cual se establece lo siguiente: si tenemos dos juegos, A y B, injustos, muy desfavorables para uno de los jugadores (m\303\241s probabilidades de perder que de ganar), es posible que jugando de una manera alternativa (incluso aleatoria) a ambos juegos, dicho jugador salga ganando con una clara ventaja en el largo plazo. La paradoja fue continuada y desarrollada en 1999 por Harmer y Abbott, tras haberla descubierto Juan MR Parrondo originalmente en 1996. La paradoja de Parrondo adem\303\241s mantiene su relevancia en la actualidad, pues podr\303\255a desempe\303\261ar un curioso papel en las teor\303\255as de los or\303\255genes de la vida, seg\303\272n Paul Davies, las cuales requieren, al parecer, una combinaci\303\263n acertada de azar y necesidad: los juegos probabil\303\255sticos, en este campo, proporcionan un modelo sencillo con el cual analizar estas probabilidades. A continuaci\303\263n se introduce el tema y ambos juegos, tras lo cual se comprueba su caracter desfavorable por separado. Despu\303\251s, de forma interactiva, se permite conjugar ambos juegos de distintas formas, para observar los resultados. Se pretende demostrar as\303\255 la afirmaci\303\263n de Parrondo gr\303\241fica. Por \303\272ltimo, se realiza un an\303\241lisis probabil\303\255stico de los juegos combinados, hallando los valores l\303\255mites para los cuales se observa el fen\303\263meno. Para ver los resultados de la hoja, simplemente elije la opci\303\263n Execute|Worksheet del men\303\272 Edit del Maple. Todos los comandos y programas son editables, lo que permite investigar nuevas posibilidades y comportamientos de los juegos.

La paradoja de Parrondo se basa en el efecto compensador y rectificador que ejerce un juego sobre el otro. Este efecto se conoce como ratchet (del ingl\303\251s, rueda dentada que s\303\263lo permite el giro de avance en una direcci\303\263n. Se usan, por ejemplo, en relojes de mu\303\261eca, para dar cuerda al mecanismo aprovechando los movimientos aleatorios del brazo del usuario), y tiene relaci\303\263n con el movimiento browniano de una part\303\255cula sumergida en un fluido (movimieto ca\303\263tico y azaroso): si dejaramos actuar a ambos juegos por separado, ambos tendr\303\255an fluctuaciones de ganancias/p\303\251rdidas por su cuenta, y una tendencia a la p\303\251rdida, ya que son desfavorables. Sin embargo, combinados se anulan las fluctuaciones de p\303\251rdidas (en gran medida), y prevalecen las ganancias, haciendo que la uni\303\263n de ambos sea favorable. "Juguemos a dos juegos concretos justos inicialmente, pero modific\303\241ndolos con una desventaja para m\303\255, esto es, que mis probabilidades de ganar sean bastante menores que las tuyas en cada juego por separado. S\303\263lo te pido una cosa: que me dejes elegir a qu\303\251 juego de los dos jugar cada vez, o al menos que vayamos alternando sucesivamente. Te aseguro que el resultado no ser\303\241 el que t\303\272 cre\303\255as" As\303\255, el efecto ganador se produce sin necesidad de ventajas ning\303\272n juego: solamente esperando a que se produzcan las fluctuaciones adecuadas (como en los relojes de mu\303\261eca de arriba: no es necesario ejercer ninguna fuerza para obtener un movimiento, sino que basta con esperar a los movimientos convenientes, aleatorios, del brazo, descartando los otros).

Hasta ahora, no hemos impuesto ninguna condici\303\263n a los juegos A y B con los que vamos a demostrar la paradoja de Parrondo, salvo que sean claramente desfavorables por separado. A continuaci\303\263n definimos un par de juegos, que se corresponden con el primer ejemplo que se descubri\303\263 que produc\303\255a este efecto inesperado. Recientemente se han establecido otras parejas de juegos, como juegos que no dependen del capital (ver a continuaci\303\263n), o juegos colectivos. Se define el Capital del jugador, C, que inicialmente ser\303\241 0, sin p\303\251rdida de generalidad. N\303\263tese que en las definiciones de los juegos que siguen, las cantidades de capital son siempre enteras, por lo tanto este n\303\272mero siempre permanecer\303\241 en \342\204\244. En lo que sigue, \316\265 es un n\303\272mero positivo (peque\303\261o): Juego A: Sea una moneda trucada (Moneda 1), en la que tengamos 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 de probabilidades de ganar, y por tanto un 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de perder. Cada ganancia nos aporta 1 \342\202\254 a nuestro capital, y cada p\303\251rdida nos resta 1 \342\202\254. Juego B: Sean dos monedas trucadas distintas: Una (Moneda 2) tiene una probabilidad de ganar p. La otra (Moneda 3), cuenta con una probabilidad de ganar q. Si el capital C del jugador no es m\303\272ltiplo de 3, lanzamos la moneda 2. En los otros casos, lanzaremos la moneda 3. De nuevo, cada ganancia nos aporta 1 \342\202\254 a nuestro capital, y cada p\303\251rdida nos resta 1 \342\202\254. En lo que sigue, tomaremos p = 0.75 - \316\265; y q = 0.1 - \316\265. Es f\303\241cil comprobar que A es desfavorable si \316\265 es mayor que 0 (a < 0, siendo 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 la esperanza matem\303\241tica a ganar). Sin embargo, el caso de B no es tan evidente. Estudiemos este juego: Llamemos b a la esperanza de ganar en un turno cualquiera con el juego B. C puede tomar cualquier valor entero, pero \303\251ste es un juego din\303\241mico y no podemos decir que las probabilidades de que sea m\303\272ltiplo de 3 en una jugada cualquiera sean 1/3, ya que depende del capital de la jugada anterior y si de ganamos o perdemos. Si consideramos tres estados distintos del capital, seg\303\272n su multiplicidad, podemos proceder como sigue: Las probabilidades de estado pueden verse representadas en la siguiente matriz. \303\211sta, da las probabilidades de que en la jugada 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 nuestro capital sea m\303\272ltiplo de 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), que sea m\303\272ltiplo de 3 m\303\241s 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\303\263 que sea m\303\272ltiplo de 3 m\303\241s 2 (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, en funci\303\263n de las probabilidades del valor del capital en la jugada anterior (que a su vez depender\303\255an de la jugada anterior a \303\251sa, a partir de la misma matriz, en cadena, etc), considerando las probabilidades de llegar a un estado a partir de otro (ganando o perdiendo): 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 En el r\303\251gimen estacionario al que se llega a largo plazo, si es que existe dicho r\303\251gimen, las probabilidades 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 en un turno y en el siguiente han de ser las mismas, y no ha de depender del estado inicial del capital. Esto, matem\303\241ticamente quiere decir que el vector de probabilidades de estado es un autovector de la matriz, para que se conserve su direcci\303\263n al multiplicarse repetitivamente por ella, y de autovalor 1, pues si no, las probabilidades se multiplicar\303\255an cada vez por una constante. Adem\303\241s, como el sistema ha de estar en uno de los tres estados, \342\210\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. Operemos con Maple para calcular esta probabilidad: restart: B := Matrix([[0,1/4+epsilon,3/4-epsilon],[1/10-epsilon,0,1/4+epsilon],[9/10+epsilon,3/4-epsilon,0]]): autovalores:= [linalg[eigenvalues](B)]; Como puede comprobarse, est\303\241 presente el autovalor 1, y tiene un y s\303\263lo un autovector independiente asociado (ya que hay tres autovalores distintos, cada uno ha de tener m\303\255nimo un autovector indep., y el m\303\241ximo es la dimensi\303\263n del espacio vectorial, esto es, 3), y por tanto un \303\272nico r\303\251gimen estacionario de probabilidades de estado (que se alcanza tras unas pocas tiradas, cuando ya no afecta el capital inicial). Dicho autovector es el siguiente, que operaremos para obtener la esperanza matem\303\241tica: autovector := op(linalg[kernel](B-1)); x:=solve(add(autovector[i]*x,i=1..3)=1,x): probabilidades_de_estado := simplify(autovector*x): b := simplify(1*linalg[innerprod](probabilidades_de_estado,[1/10-epsilon,3/4-epsilon,3/4-epsilon])-1*linalg[innerprod](probabilidades_de_estado,[9/10+epsilon,1/4+epsilon,1/4+epsilon])); # Esperanza matem\303\241tica en una jugada cualquiera, avanzado el juego. plot(b,epsilon=0..0.1, style=line, labeldirections=[horizontal, vertical], title="Esperanza Matem\303\241tica", labelfont=[TIMES,ITALIC,12], titlefont=[TIMES,BOLD,14],axesfont=[TIMES,ROMAN,10],color=coral,font=[TIMES,BOLDITALIC,12],axes=normal,gridlines=true, thickness=2); Por tanto, la esperanza matem\303\241tica de ganar en B es 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, y como puede verse en el gr\303\241fico superior, es menor que cero y por tanto B es un juego desfavorable si LUklbXJvd0c2Iy9JK21vZHVsZW5hbWVHNiJJLFR5cGVzZXR0aW5nR0koX3N5c2xpYkdGJzYmLUkjbWlHRiQ2OVEhRicvJSdmYW1pbHlHUTBUaW1lc35OZXd+Um9tYW5GJy8lJXNpemVHUSMxMkYnLyUlYm9sZEdRJmZhbHNlRicvJSdpdGFsaWNHUSV0cnVlRicvJSp1bmRlcmxpbmVHRjcvJSpzdWJzY3JpcHRHRjcvJSxzdXBlcnNjcmlwdEdGNy8lK2ZvcmVncm91bmRHUShbMCwwLDBdRicvJStiYWNrZ3JvdW5kR1EuWzI1NSwyNTUsMjU1XUYnLyUnb3BhcXVlR0Y3LyUrZXhlY3V0YWJsZUdGNy8lKXJlYWRvbmx5R0Y3LyUpY29tcG9zZWRHRjcvJSpjb252ZXJ0ZWRHRjcvJStpbXNlbGVjdGVkR0Y3LyUscGxhY2Vob2xkZXJHRjcvJTBmb250X3N0eWxlX25hbWVHUSgyRH5NYXRoRicvJSptYXRoY29sb3JHRkMvJS9tYXRoYmFja2dyb3VuZEdGRi8lK2ZvbnRmYW1pbHlHRjEvJSxtYXRodmFyaWFudEdRJ2l0YWxpY0YnLyUpbWF0aHNpemVHRjQtRiw2OVEtJnZhcmVwc2lsb247RidGL0YyRjUvRjlGN0Y7Rj1GP0ZBRkRGR0ZJRktGTUZPRlFGU0ZVRlhGWkZmbi9GaW5RJ25vcm1hbEYnRltvLUkjbW9HRiQ2M1EiPkYnLyUlZm9ybUdRJmluZml4RicvJSZmZW5jZUdGNy8lKnNlcGFyYXRvckdGNy8lJ2xzcGFjZUdRL3RoaWNrbWF0aHNwYWNlRicvJSdyc3BhY2VHRmBwLyUpc3RyZXRjaHlHRjcvJSpzeW1tZXRyaWNHRjcvJShtYXhzaXplR1EpaW5maW5pdHlGJy8lKG1pbnNpemVHUSIxRicvJShsYXJnZW9wR0Y3LyUubW92YWJsZWxpbWl0c0dGNy8lJ2FjY2VudEdGNy8lMGZvbnRfc3R5bGVfbmFtZUdGVy8lJXNpemVHRjQvJStmb3JlZ3JvdW5kR0ZDLyUrYmFja2dyb3VuZEdGRi1JI21uR0YkNjlRIjBGJ0YvRjJGNUZgb0Y7Rj1GP0ZBRkRGR0ZJRktGTUZPRlFGU0ZVRlhGWkZmbkZhb0Zbbw==. Sin embargo, tanto el juego A como el B son, si 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, juegos equilibrados y justos, ya que la esperanza matem\303\241tica es 0 (ni se gana ni se pierde, a la larga). En las siguientes secciones vamos a dibujar qu\303\251 ocurre cuando jugamos estos juegos por separado, para un n\303\272mero elevado de turnos, y as\303\255 poder comprobar lo desfavorables que son.

A continuaci\303\263n introducimos en Maple las instrucciones necesarias para poder manejar la simulaci\303\263n que utilizaremos para demostrar la paradoja: restart; randomize(): Moneda := proc() RandomTools[MersenneTwister][GenerateFloat](); end proc: JuegoA := proc(g) if (Moneda() < g) then 1 else -1 end if; end proc: JuegoB := proc(C,p,q) if (C mod 3 = 0) then if (Moneda() < q) then + 1 else - 1 end if; else if (Moneda() < p) then + 1 else - 1 end if; end if; end proc: C := 0: # Capital inicial. Sirve cualquier n\303\272mero entero eps := 0.006: # Epsilon a restar a las probabilidades g := 0.5 -eps: # Probabilidad de ganar con la moneda 1 en el juego A p := 0.75-eps: # Probabilidad de ganar con la moneda 2 en el juego B q := 0.1 -eps: # Probabilidad de ganar con la moneda 3 en el juego B veces := 10000: # N\303\272mero de veces que se jugar\303\241 (turnos) jugadores := 100: # N\303\272mero de jugadores a promediar

A continuaci\303\263n dibujamos, en sendas gr\303\241ficas, los juegos A y B por separado. Las gr\303\241ficas son interactivas: basta con cambiar los par\303\241metros de arriba y volver a ejecutar todo el bloque con Maple para obtener nuevas gr\303\241ficas: for i from 0 to veces do promedio[i] := 0 end do: for j from 1 to jugadores do cap[0] := C; for i from 1 to veces do cap[i] := cap[i-1] + JuegoA(g) end do: for i from 0 to veces do promedio[i] := promedio[i] + cap[i] end do: end do: for i from 0 to veces do promedio[i] := evalf(promedio[i]/jugadores) end do: :plot([seq([i,promedio[i]],i=0..veces)],style=line, labels=["Turnos ","Capital Promedio "], labeldirections=[horizontal, vertical], title="Juego A", labelfont=[TIMES,ITALIC,12], titlefont=[TIMES,BOLD,14],axesfont=[TIMES,ROMAN,10],color=red,font=[TIMES,BOLDITALIC,12],axes=boxed,gridlines=true, thickness=2); for i from 0 to veces do promedio[i] := 0 end do: for j from 1 to jugadores do cap[0] := C; for i from 1 to veces do cap[i] := cap[i-1] + JuegoB(cap[i-1],p,q) end do: for i from 0 to veces do promedio[i] := promedio[i] + cap[i] end do: end do: for i from 0 to veces do promedio[i] := evalf(promedio[i]/jugadores) end do: plot([seq([i,promedio[i]],i=0..veces)],style=line, labels=["Turnos ","Capital Promedio "], labeldirections=[horizontal, vertical], title="Juego B", labelfont=[TIMES,ITALIC,12], titlefont=[TIMES,BOLD,14], axesfont=[TIMES,ROMAN,10],color=blue, font=[TIMES,BOLDITALIC,12], axes=boxed,gridlines=true, thickness=2); A la vista de estas gr\303\241ficas, queda patente que ambos juegos son muy desfavorables por si solos, como ya hab\303\255amos dicho.

Veamos ahora el efecto que tiene jugar alternativamente a uno y otro juego. Realizaremos simulaciones para las secuencias de juegos AABBAABB..., y AAABBAAABB..., dos combinaciones ganadoras para epsilones suficientemente peque\303\261os. Si se quisiera probar otra diferente, bastar\303\255a con modificar ligeramente el c\303\263digo que sigue: for i from 0 to veces do promedio[i] := 0 end do: for j from 1 to jugadores do cap[0] := C; for i from 1 by 4 to (veces+4) do cap[i] := cap[i-1] + JuegoA(g); cap[i+1] := cap[i] + JuegoA(g); cap[i+2] := cap[i+1] + JuegoB(cap[i+1],p,q); cap[i+3] := cap[i+2] + JuegoB(cap[i+2],p,q) end do: for i from 0 to veces do promedio[i] := promedio[i] + cap[i] end do: end do: for i from 0 to veces do promedio[i] := evalf(promedio[i]/jugadores) end do: plot([seq([i,promedio[i]],i=0..veces)],style=line, labels=["Turnos ","Capital Promedio "], labeldirections=[horizontal, vertical], title="Secuencia AABBAABB...", labelfont=[TIMES,ITALIC,12], titlefont=[TIMES,BOLD,14],axesfont=[TIMES,ROMAN,10], color=khaki, font=[TIMES,BOLDITALIC,12],axes=boxed,gridlines=true, thickness=2); for i from 0 to veces do promedio[i] := 0 end do: for j from 1 to jugadores do cap[0] := C; for i from 1 by 5 to (veces+5) do cap[i] := cap[i-1] + JuegoA(g); cap[i+1] := cap[i] + JuegoA(g); cap[i+2] := cap[i+1] + JuegoA(g); cap[i+3] := cap[i+2] + JuegoB(cap[i+2],p,q); cap[i+4] := cap[i+3] + JuegoB(cap[i+3],p,q) end do: for i from 0 to veces do promedio[i] := promedio[i] + cap[i] end do: end do: for i from 0 to veces do promedio[i] := evalf(promedio[i]/jugadores) end do: plot([seq([i,promedio[i]],i=0..veces)],style=line, labels=["Turnos ","Capital Promedio "], labeldirections=[horizontal, vertical], title="Secuencia AAABBAAABB...", labelfont=[TIMES,ITALIC,12], titlefont=[TIMES,BOLD,14],axesfont=[TIMES,ROMAN,10], color=aquamarine, font=[TIMES,BOLDITALIC,12],axes=boxed,gridlines=true, thickness=2); Si los par\303\241metros de la p\303\241gina no han sido modificados, se apreciar\303\241 perfectamente el efecto que hab\303\255amos predicho, sorprendente y parad\303\263jico si no se estudia con detenimiento. La segunda secuencia de juegos es una de las que reporta mayores beneficios a largo plazo. A continuaci\303\263n nos centramos en el an\303\241lisis del funcionamiento de este fen\303\263meno, comprobando las probabilidades que surgen en r\303\251gimen estacionario al combinar ambos juegos en la modalidad AABBAABB..., siendo el desarrollo an\303\241logo para otras combinaciones ganadoras.

Pasemos ahora a analizar con detalle las probabilidades y la esperanza matem\303\241tica de ganancias en la secuencia AABBAABB... de juegos. Comenzamos, como anteriormente hicimos con el juego B por s\303\255 s\303\263lo, con la matriz que nos da las probabilidades de estado en un turno a partir de las del anterior. Ahora, tendremos 12 estados diferentes, cuyas probabilidades enumeramos a continuaci\303\263n: 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 Esta notaci\303\263n consiste en poner en el primer sub\303\255ndice la multiplicidad del capital: 0 si es m\303\272ltiplo de 3; 1 si es m\303\272ltiplo de 3 m\303\241s 1; 2 si es m\303\272ltiplo de 3 m\303\241s dos (realmente es C mod 3). El segundo denota si el juego que toca jugar para pasar al siguiente estado es el primero o el segundo del mismo tipo en su cadena. Lo vemos con un ejemplo: 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 jugar al segundo juego A, de los dos que hay, y el capital cumple: C mod 3 = 1 Una vez aclarado esto, la matriz de probabilidades tomar\303\241 la siguiente forma, teniendo en cuenta el orden que sigue el juego en secuencia, para llegar a un estado a partir de los dem\303\241s: restart: interface(rtablesize=12): AB := Matrix([[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1/4+epsilon,3/4-epsilon],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,1/10-epsilon,0,1/4+epsilon],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,9/10+epsilon,3/4-epsilon,0],[0,1/2+epsilon,1/2-epsilon,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[1/2-epsilon,0,1/2+epsilon,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[1/2+epsilon,1/2-epsilon,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,1/2+epsilon,1/2-epsilon,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,1/2-epsilon,0,1/2+epsilon,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,1/2+epsilon,1/2-epsilon,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,1/4+epsilon,3/4-epsilon,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,1/10-epsilon,0,1/4+epsilon,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,9/10+epsilon,3/4-epsilon,0,0,0,0]]): <A[0,1](n+1),A[1,1](n+1),A[2,1](n+1),A[0,2](n+1),A[1,2](n+1),A[2,2](n+1),B[0,1](n+1),B[1,1](n+1),B[2,1](n+1),B[0,2](n+1),B[1,2](n+1),B[2,2](n+1)> = AB,<A[0,1](n),A[1,1](n),A[2,1](n),A[0,2](n),A[1,2](n),A[2,2](n),B[0,1](n),B[1,1](n),B[2,1](n),B[0,2](n),B[1,2](n),B[2,2](n)>; Calculemos los autovalores y autovectores de esta matriz, para obtener las probabilidades de estado del r\303\251gimen estacionario (recordemos, por estar en cadena infinita, que ha de ser un autovalor 1, y el vector buscado ha de tener \342\210\221probabilidades = 1): autovalores := [linalg[eigenvalues](AB)]; `N\303\272mero de autovalores` := nops(autovalores); Vemos que est\303\241 presente el autovalor 1, y por el mismo razonamiento que atr\303\241s, su subespacio propio ha de ser de dimensi\303\263n 1. Por tanto el vector que buscamos lo hallaremos as\303\255 (luego, impondremos m\303\241s condiciones a este vector) autovector := op(linalg[kernel](AB-1)); multiplicador := 1/simplify(sum(op(autovector)[i],i=1..12)): Este multiplicador es el factor que hace que nuestro autovector tenga \342\210\221componentes = 1 ab := simplify((1*linalg[innerprod]([1/2-epsilon,1/2-epsilon,1/2-epsilon,1/2-epsilon,1/2-epsilon,1/2-epsilon,1/10-epsilon,3/4-epsilon,3/4-epsilon,1/10-epsilon,3/4-epsilon,3/4-epsilon],autovector)-1*linalg[innerprod]([1/2+epsilon,1/2+epsilon,1/2+epsilon,1/2+epsilon,1/2+epsilon,1/2+epsilon,9/10+epsilon,1/4+epsilon,1/4+epsilon,9/10+epsilon,1/4+epsilon,1/4+epsilon],autovector))*multiplicador); plot(ab,epsilon=0..0.1, style=line, labeldirections=[horizontal, vertical], title="Esperanza Matem\303\241tica", labelfont=[TIMES,ITALIC,12], titlefont=[TIMES,BOLD,14],axesfont=[TIMES,ROMAN,10],color=coral,font=[TIMES,BOLDITALIC,12],axes=normal,gridlines=true, thickness=2); He aqu\303\255 la causa de la paradoja: para epsilones peque\303\261os, la esperanza matem\303\241tica es positiva, con lo que se consiguen ganancias netas probabil\303\255sticamente. Hallemos cual es el epsilon m\303\241ximo para el que se consigue este efecto, resolviendo la expresi\303\263n anterior igualada a 0 y la esperanza matem\303\241tica m\303\241xima que podemos obtener haciendo \316\265 = 0: epsilon(max) := simplify(evalf(solve(ab=0,epsilon))); mu(max) := subs(epsilon=0,ab); Por lo tanto, el sistema complejo formado por ambos juegos en secuencia AABBAABB..., equilibr\303\241ndose el uno al otro a modo de ratchet, queda analizado, habiendo explicado c\303\263mo con los estados del capital se consigue una esperanza matem\303\241tica positiva (de hasta 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) con una desventaja real en ambos juegos, de valor m\303\241ximo:LUklbXJvd0c2Iy9JK21vZHVsZW5hbWVHNiJJLFR5cGVzZXR0aW5nR0koX3N5c2xpYkdGJzYmLUYjNiYtSSNtaUdGJDY5US0mdmFyZXBzaWxvbjtGJy8lJ2ZhbWlseUdRMFRpbWVzfk5ld35Sb21hbkYnLyUlc2l6ZUdRIzEyRicvJSVib2xkR1EmZmFsc2VGJy8lJ2l0YWxpY0dGOS8lKnVuZGVybGluZUdGOS8lKnN1YnNjcmlwdEdGOS8lLHN1cGVyc2NyaXB0R0Y5LyUrZm9yZWdyb3VuZEdRKFswLDAsMF1GJy8lK2JhY2tncm91bmRHUS5bMjU1LDI1NSwyNTVdRicvJSdvcGFxdWVHRjkvJStleGVjdXRhYmxlR0Y5LyUpcmVhZG9ubHlHRjkvJSljb21wb3NlZEdGOS8lKmNvbnZlcnRlZEdGOS8lK2ltc2VsZWN0ZWRHRjkvJSxwbGFjZWhvbGRlckdGOS8lMGZvbnRfc3R5bGVfbmFtZUdRKDJEfk1hdGhGJy8lKm1hdGhjb2xvckdGRC8lL21hdGhiYWNrZ3JvdW5kR0ZHLyUrZm9udGZhbWlseUdGMy8lLG1hdGh2YXJpYW50R1Enbm9ybWFsRicvJSltYXRoc2l6ZUdGNi1JI21vR0YkNjNRMCZBcHBseUZ1bmN0aW9uO0YnLyUlZm9ybUdRJmluZml4RicvJSZmZW5jZUdGOS8lKnNlcGFyYXRvckdGOS8lJ2xzcGFjZUdRJDBlbUYnLyUncnNwYWNlR0ZbcC8lKXN0cmV0Y2h5R0Y5LyUqc3ltbWV0cmljR0Y5LyUobWF4c2l6ZUdRKWluZmluaXR5RicvJShtaW5zaXplR1EiMUYnLyUobGFyZ2VvcEdGOS8lLm1vdmFibGVsaW1pdHNHRjkvJSdhY2NlbnRHRjkvJTBmb250X3N0eWxlX25hbWVHRlgvJSVzaXplR0Y2LyUrZm9yZWdyb3VuZEdGRC8lK2JhY2tncm91bmRHRkctSShtZmVuY2VkR0YkNiMtRi42OVEkbWF4RidGMUY0RjdGOkY8Rj5GQEZCRkVGSEZKRkxGTkZQRlJGVEZWRllGZW5GZ25GaW5GXG8vSSttc2VtYW50aWNzR0YkUSlmdW5jdGlvbkYnLUZfbzYzUSI9RidGYm9GZW9GZ28vRmpvUS90aGlja21hdGhzcGFjZUYnL0ZdcEZjckZecEZgcEZicEZlcEZocEZqcEZccUZecUZgcUZicUZkcS1JI21uR0YkNjlRLjAuMDEyNDA3NTk0MjBGJ0YxRjRGN0Y6RjxGPkZARkJGRUZIRkpGTEZORlBGUkZURlZGWUZlbkZnbkZpbkZcby9GXXJRIzo9Ric=.

Ya podemos concluir que el sistema complejo formado por ambos juegos trabajando conjuntamente de forma adecuada resulta en una combinaci\303\263n ganadora, como quer\303\255amos demostrar. Hemos visto que la acci\303\263n del juego A en la secuencia, hace que los estados de capital favorables (no m\303\272ltiplos de 3, y a punto de jugar el juego B) se produzcan con mayor frecuencia al aumentar las probabilidades de llegar a ellos, con lo cual anule los efectos de p\303\251rdidas en B al lanzar la moneda "mala" (Moneda 3) un menor n\303\272mero de veces, y tambi\303\251n su propia tendencia negativa. De esta manera, las fluctuaciones negativas se contrarrestan, y permanecen las positivas, como en una ruedecilla dentada de reloj. A pesar de todo, hemos visto que hay un factor l\303\255mite para cada secuencia, tras el cual el efecto de ganancias de la paradoja desaparece, y comienzan las p\303\251rdiadas (si bien \303\251stas ser\303\241n mucho menores que si consider\303\241semos los juegos independientes). Por \303\272ltimo, cabr\303\255a alegar que los juegos son muy espec\303\255ficos, que est\303\241n "ama\303\261ados" espec\303\255ficamente para que la paradoja funcione, al producirse m\303\241s estados no m\303\272ltiplos de 3 que los que cabr\303\255a esperar. Sin embargo, la filosof\303\255a de la paradoja es que dos efectos perjudiciales pueden anularse para producir algo beneficioso: ya sea capital, puntos, o vida, seg\303\272n las \303\272ltimas investigaciones; como dijimos en la introducci\303\263n. Adem\303\241s, se han encontrado otros juegos, de definici\303\263n mucho m\303\241s compleja, dependientes del historial de juego, o colectivos, que de otros modos llegan al mismo comportamiento parad\303\263jico.

El material disponible sobre este tema no es demasiado abundante, si bien es posible encontrar cierta informaci\303\263n b\303\241sica en internet, y un poco m\303\241s extensa en revistas especializadas. Sin embargo, nos hemos basado b\303\241sicamente en estos tres recursos, todos ellos de buena calidad: Scientific American (Investigaci\303\263n y Ciencia), Junio 2001: "Juegos Matem\303\241ticos: Perder + Perder = Ganar" (p\303\241gs.88 y 89) http://seneca.fis.ucm.es/parr/ (P\303\241gina de Juan MR Parrondo, padre de la paradoja) http://www.eleceng.adelaide.edu.au/Groups/parrondo/ (P\303\241gina de la universidad australiana de Adelaide) Por \303\272ltimo, se\303\261alar la ayuda recibida por parte de Jos\303\251 Olarrea, profesor de la E.T.S.I.A., con las instrucciones de Maple y las aclaraciones sobre la paradoja, sin las cuales esta hoja de Maple no hubiese podido ser llevada a cabo.

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