<Text-field layout="Heading 1" style="Heading 1"> Le cas d'une fonction de deux variables</Text-field>

Rendons disponibles les macro-commandes n\351cessaires aux d\351veloppements de cette feuille Maple.

with(plots,display,pointplot3d,spacecurve);

De plus, initialisons la proc\351dure ci-dessous. Cette proc\351dure servira \340 automatiser l'\351num\351ration des points \340 contr\364ler dans le cas d'un nombre pas trop grand de points . On pourrait tout aussi bien les \351num\351rer manuellement et ne pas initialiser cette proc\351dure.

Listage:=proc(Ensemble::set) global x,y,lambda; local Sol,Points,k; Sol:=Ensemble; assign(Sol[1]); Points:=[x,y]; x:='x';y:='y';lambda:='lambda'; for k from 2 to nops(Sol) do assign(Sol[k]); Points:=Points,[x,y]; x:='x':y:='y':lambda:='lambda': od; Points; end:

<Text-field layout="Heading 2" style="Heading 2"> Exemple 1</Text-field>

Soit la fonction f d\351finie par NiMvLSUiZkc2JCUieEclInlHLCoqJiIiIyIiIiokRidGK0YsRixGKCEiIiokRihGK0YsIiImRiw=. Optimisons cette fonction sur un disque de rayon 1 centr\351 \340 l'origine. Puisque la fonction f est continue sur un domaine ferm\351 et born\351, la fonction f atteint son maximum et son minimum avec certains points de son domaine.

Commen\347ons par cr\351er la fonction f.

f:=(x,y)->2*x^2-y+y^2+5;

Dans un m\352me graphique, superposons le trac\351 de la surface d'\351quation NiMvJSJ6Ry0lImZHNiQlInhHJSJ5Rw== et celui du domaine ferm\351 d'optimisation.

Pour obtenir le trac\351 de la fronti\350re du domaine, soit le trac\351 de l'\351quation NiMvLCYqJCUieEciIiMiIiIqJCUieUdGJ0YoRig=, param\351trisons en posant NiMvJSJ4Ry0lJGNvc0c2IyUidEc= et NiMvJSJ5Ry0lJHNpbkc2IyUidEc=.

Surface:=plot3d([x,y,f(x,y)],x=-2..2,y=-2..2): Contrainte:=spacecurve([sin(t),cos(t),0],t=0..2*Pi,color=orange,thickness=3): Domaine:=plot3d([x,y,0],x=-2..2,y=-2..2,style=PATCHNOGRID,color=plum): Domaine_optimisation:=plot3d([x,y,0],x=-1..1,y=-sqrt(1-x^2)..sqrt(1-x^2),style=PATCHNOGRID,color=orange): display([Surface,Contrainte,Domaine,Domaine_optimisation],axes=framed,orientation=[35,65]);

Pour mieux se convaincre que la fonction poss\350de effectivement des extr\351ma absolus avec des points du disque, projettons la fronti\350re de ce disque sur la surface.

Contrainte_S:=spacecurve([sin(t),cos(t),f(sin(t),cos(t))],t=0..2*Pi,color=orange,thickness=2): L:=seq(plots[spacecurve]([[cos(k*Pi/12),sin(k*Pi/12),0],[cos(k*Pi/12),sin(k*Pi/12),f(cos(k*Pi/12),sin(k*Pi/12))]], color=orange,thickness=1),k=0..24): display([Surface,Contrainte,L,Contrainte_S,Domaine,Domaine_optimisation],axes=framed, style=patchnogrid, orientation=[53,63]);

En modifiant, avec la souris, l'orientation de cette surface, il est facile de se convaincre que la fonction f poss\350de effectivement un maximun absolu et un minimum absolu sur ce domaine ferm\351. Mais, graphiquement, il est peut \352tre m\352me assez difficile de localiser sur la portion en cause de la surface, ces minimum et maximum absolus: sont-ils \340 l'int\351rieur ou sur le bord ?

I. Optima sur les points int\351rieurs du domaine: points critiques

Commen\347ons notre analyse avec les points int\351rieurs de ce disque. Recherchons donc les points critiques de la fonction f.

R\351solvons alors le syst\350me S: NiM8JC8mJSJmRzYjJSJ4RyIiIS8mRiY2IyUieUdGKQ==

fx:=D[1](f); fy:=D[2](f);

solve({fx(x,y)=0,fy(x,y)=0},{x,y});

Bien s\373r, ce n'est pas un syst\350me tr\350s difficile \340 r\351soudre. Effectivement, on peut le faire sans l'aide de Maple, mais ce n'est pas l\340 la question. On a donc \340 l'int\351rieur du disque, qu'un seul point critique. Nous contr\364lerons ce point plus tard.

Points_critiques:=[0,1/2];

II. Optima sur les points fronti\350res: m\351thode des multiplicateurs de Lagrange

Affichons seulement la projection de la fronti\350re du disque sur cette surface.

display([Contrainte,Domaine,Domaine_optimisation,Contrainte_S], axes=framed, style=patchnogrid, orientation=[35,65]);

En modifiant l'orientation du graphique avec la souris, il semble que cette fonction poss\350de sur la fronti\350re du disque, un maximum absolu atteint avec deux points (x,y) diff\351rentes et un minimum absolu atteint avec un seul point.

Pour appliquer la m\351thode des multiplicateurs de Lagrange afin d'optimiser la fonction f sur le bord, nous limiterons donc le domaine d'optimisation de la fonction f \340 celui de la fronti\350re du disque, soit le cercle de rayon 1. La contrainte NiMvLSUiZ0c2JCUieEclInlHIiIh dans la m\351thode des multiplicateurs de Lagrange sera donc l'\351quation du cercle unit\351.

g:=(x,y)->x^2+y^2-1;

Formons maitenant la fonction F d\351finie par NiMvLSUiRkc2JCUieEclInlHLCYtJSJmR0YmIiIiKiYlJ2xhbWJkYUdGLC0lImdHRiZGLEYs. Le param\350tre \253NiMlJ2xhbWJkYUc=\273 est appel\351 multiplicateur de Lagrange.

F:=(x,y)->f(x,y)+lambda*g(x,y);

R\351solvons maintenant le syst\350me S:NiM8JS8tJiUiRkc2IyUieEc2JEYpJSJ5RyIiIS8tJkYnNiNGK0YqRiwvLSUiZ0dGKkYs.

Eq1:=diff(F(x,y),x)=0; Eq2:=diff(F(x,y),y)=0; Eq3:=g(x,y)=0; Sol:=solve({Eq1,Eq2,Eq3},{x,y,lambda});

Explicitons tous les r\351sultats pr\351c\351dents \340 l'aide de la macro-commande allvalues.

### WARNING: allvalues now returns a list of symbolic values instead of a sequence of lists of numeric values Sol:=`union`(allvalues({Sol}));

\311num\351rons tous les points de la fronti\350re \340 contr\364ler. On pourrait, bien s\373r, tout aussi bien \351tablir cette liste manuellement.

P:=Listage(Sol);

Ajoutons le point critique \340 la liste des points \340 tester. Donnons \340 cette liste le nom Points_C.

Points_C:=P,Points_critiques;

Calculons les optima correspondant \340 ces cinq points.

printf(`\134n Points \340 tester | Valeurs de f |\134n`); seq(printf("%40a | %15a |\n", [Points_C][k],f(op(1,op(k,[Points_C])),op(2,op(k,[Points_C])))),k=1..nops([Points_C]));

Reste finalement \340 conclure.

Le minimum absolu est atteint avec le point critique NiM3JCIiISomIiIiRiYiIiMhIiI= et vaut NiMqJiIjPiIiIiIiJSEiIg== et le maximum absolu vaut NiMqJiIjSCIiIiIiJSEiIg== et est atteint en NiM3JCooIiIiRiUiIiMhIiItJSVzcXJ0RzYjIiIkRiUsJComRiVGJUYmRidGJw== et en NiM3JCwkKigiIiJGJiIiIyEiIi0lJXNxcnRHNiMiIiRGJkYoLCQqJkYmRiZGJ0YoRig=.

Terminons cet exemple en illustrant ces optima sur la surface.

Points_optima:=[[0, 1/2,f(0,1/2)],[1/2*sqrt(3), -1/2,f(1/2*sqrt(3), -1/2)],[-1/2*sqrt(3), -1/2,f(-1/2*sqrt(3), -1/2)]];

Points:=pointplot3d(Points_optima,symbol=circle,color=navy): display([Contrainte,Domaine,Domaine_optimisation,Surface,Points,Contrainte_S],style=patchnogrid,axes=framed,orientation=[70,60]);

Question: Peut-on imaginer ici, un disque ferm\351 de rayon r centr\351 au point (0,0,0) dont le rayon sera assez petit de telle sorte que la fonction ne puisse poss\351der de points critiques \340 l'int\351rieur de ce disque ? Si oui, cela constiturerait un exemple de fonction o\371 les extr\351ma absolus seraient situ\351s exclusivement sur la fronti\350re de ce domaine ferm\351.

<Text-field layout="Heading 2" style="Heading 2"> Exemple 2</Text-field>

Reprenons un probl\350me que nous avons trait\351 en classe.

Trouver les distances maximum et minimum entre l'origine et la courbe d'\351quation NiMvLCgqJiIiJiIiIiokJSJ4RyIiI0YnRicqKCIiJ0YnRilGJyUieUdGJ0YnKiZGJkYnKiRGLUYqRidGJyIiKQ==.

Soit D la distance entre un point (NiQlInhHJSJ5Rw==) de la courbe d'\351quation NiMvLCgqJiIiJiIiIiokJSJ4RyIiI0YnRicqKCIiJ0YnRilGJyUieUdGJ0YnKiZGJkYnKiRGLUYqRidGJyIiKQ== et l'origine (0,0)

Alors NiMvJSJERy0lJXNxcnRHNiMsJiokLCYlInhHIiIiIiIhISIiIiIjRiwqJCwmJSJ5R0YsRi1GLkYvRiw= = NiMtJSVzcXJ0RzYjLCYqJCUieEciIiMiIiIqJCUieUdGKUYq .

Minimiser le carr\351 de la distance NiMqJCUiREciIiM= est aussi minimiser la distance D puisque D > 0.

Soit donc la fonction f d\351finie par NiMvLSUiZkc2JCUieEclInlHLCYqJEYnIiIjIiIiKiRGKEYrRiw= \340 optimiser.

f:=(x,y)->x^2+y^2;

On recherche les extr\351ma absolus de la fonction f sous la contrainte NiMvLCgqJiIiJiIiIiokJSJ4RyIiI0YnRicqKCIiJ0YnRilGJyUieUdGJ0YnKiZGJkYnKiRGLUYqRidGJyIiKQ==.

I. Optima sur les points int\351rieurs

Le domaine d'optimisation \351tant le lieu des points (x,y) v\351rifiant l'\351quation NiMvLCgqJiIiJiIiIiokJSJ4RyIiI0YnRicqKCIiJ0YnRilGJyUieUdGJ0YnKiZGJkYnKiRGLUYqRidGJyIiKQ==, il n'y a aucun point int\351rieur \340 cette r\351gion. Il n'y a donc aucun point critique \340 contr\364ler.

II. Optima sur les points fronti\350res: m\351thode des multiplicateurs de Lagrange

Appliquons la proc\351dure des multiplicateurs de Lagrange \340 la fonction f d\351finie par NiMvLSUiZkc2JCUieEclInlHLCYqJEYnIiIjIiIiKiRGKEYrRiw=.

Formons la fonction NiMvLSUiRkc2JCUieEclInlHLCYtJSJmR0YmIiIiKiYlJ2xhbWJkYUdGLC0lImdHRiZGLEYs.

g:=(x,y)->5*x^2+6*x*y+5*y^2-8; F:=(x,y)->f(x,y)+lambda*g(x,y);

La r\350gle de F est donc:

F(x,y);

R\351solvons maintenant le syst\350me S:NiM8JS8tJiUiRkc2IyUieEc2JEYpJSJ5RyIiIS8tJkYnNiNGK0YqRiwvLSUiZ0dGKkYs.

Eq1:=diff(F(x,y),x)=0; Eq2:=diff(F(x,y),y)=0; Eq3:=g(x,y)=0; Sol:=solve({Eq1,Eq2,Eq3},{x,y,lambda});

### WARNING: allvalues now returns a list of symbolic values instead of a sequence of lists of numeric values Sol:=`union`(allvalues({Sol}));

Points_C:=Listage(Sol);

Calculs des valeurs de la fonction f en ces points.

printf(`\134n Points \340 tester | Valeurs de f |\134n`); seq(printf("%40a | %8a |\n", [Points_C][k],f(op(1,op(k,[Points_C])),op(2,op(k,[Points_C])))),k=1..nops([Points_C]));

Reste alors \340 conclure.

Avec la contrainte NiMvLCgqJiIiJiIiIiokJSJ4RyIiI0YnRicqKCIiJ0YnRilGJyUieUdGJ0YnKiZGJkYnKiRGLUYqRidGJyIiKQ==, la valeur maximale de NiMtJSJmRzYkJSJ4RyUieUc= est 4 et la valeur minimale de NiMtJSJmRzYkJSJ4RyUieUc= est 1:

Ainsi, la valeur maximale de NiMqJCUiREciIiM= est 4 et la valeur minimal de NiMqJCUiREciIiM= est 1.

la valeur maximale de D est 2 et la valeur minimale de D est 1.

Donc, les distances maximum et minimum entre l'origine et la courbe d'\351quation NiMvLCgqJiIiJiIiIiokJSJ4RyIiI0YnRicqKCIiJ0YnRilGJyUieUdGJ0YnKiZGJkYnKiRGLUYqRidGJyIiKQ==, sont respectivement 2 et 1.