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Kabel (Freileitung) zwischen zwei Masten

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Kabel (Freileitung) zwischen zwei Masten

Univ.-Prof. Dr.-Ing. habil. Josef BETTEN

RWTH Aachen University

Templergraben 55

D-52056 A a c h e n , Germany

<betten@mmw.rwth-aachen.de>

>	restart:

>	*Dgl:=diff(y(x),x$2)-asqrt(1+(diff(y(x),x))^2)=0;**

(1)

Darin ist der Parameter a gem?? a:= q / H definiert, wobei q = q(x,y) die auf

die L?ngeneinheit des Kabels bezogene Kraftkomponente (z.B.: Eigengewicht +

Windkraft + Schnee- & Eislast) ist, w?hrend H die auf die St?tzen wirkende

Horizontalkraft bedeutet. Bei gegebenem q = q(x,y) kann H aus der Stabilit?t

der St?tzen vorgeschrieben werden, so dass damit der Parameter a bestimmt ist,

der die L?nge des Kabels festlegt. Mithin kann f?r ein Kabel mit gegebenem

q = q(x,y) die erforderliche Kabell?nge allein ?ber den Horizontalzug bestimmt

werden. Zu ber?cksichtigen ist auch der Temperatureinfluss (Sommer / Winter)

auf die Kabeldehnung.

Mit abnehmendem Horizontalzug H nimmt der Parameter a und damit auch die

Kabell?nge zu, so dass die vertikale Belastung der St?tzen gr??er wird.

Randbedingungen # Aufh?ngung in Hanglage:

>	R[1]:=y(0)=1; R[2]:=y(2)=2; # beispielsweise

(2)

(2)

>	dsolve({Dgl,R[1],R[2]},y(x)):

>	Y(x,a):=simplify(convert(rhs(%),radical)) assuming a>0;

(3)

Diese MAPLE-L?sung kann folgenderma?en ausgedr?ckt werden:

>	Y(x,a):=3/2-((1+exp(2a))/(2a(exp(3a)-exp(a))))* sqrt(1+(a^2-2)exp(2a)+exp(4a))+ (1/a)cosh(a(x-1)+ln((aexp(a)+ sqrt(1+(a^2-2)exp(2a)+exp(4a)))/(exp(2a)-1)));

(4)

>	Ableitung(x,a):=simplify(diff(%,x)) assuming a>0;

(5)

>

>	for i in [1,1.5,2,2.5] do Y(x)[a=i]:=evalf(subs(a=i,Y(x,a)),4) od;

(6)

(6)

(6)

(6)

>	for i in [1,1.5,2,2.5] do Neigung(x)[a=i]:=evalf(subs(a=i,diff(Y(x,a),x))) od:

>	*erforderliche_Kabell?nge:=Int(sqrt(1+(diff(y(x),x))^2),x=0..2)= value(int(sqrt(1+(sinh(ax-a+ln(aexp(a)+sqrt(a^2exp(2a)-2exp(2a)+ exp(4a)+1))-ln(exp(2a)-1)))^2),x=0..2)) assuming a>0:*

>	alias(H=Heaviside,th=thickness):

>	p[1]:=plot(rhs(%%),a=0..2.5,2..5,color=black,th=2):

>	*p[2]:=plot({5,5H(a-2.5)},a=0..2.5001,color=black, title="erforderliche Kabell?nge L(a)"):**

>	plots[display]({p[1],p[2]});

Plot_2d

>	for i in [1,1.5,2,2.5] do erforderliche_Kabell?nge[a=i]:= Int(sqrt(1+(diff(y(x),x))^2),x=0..2)= evalf(int(sqrt(1+(Neigung(x)[a=i])^2),x=0..2),4) od;

(7)

(7)

(7)

(7)

>	alias(H=Heaviside,th=thickness):

>	p[1]:=plot({Y(x)[a=1],Y(x)[a=1.5],Y(x)[a=2],Y(x)[a=2.5]}, x=0..2,-1..2,scaling=constrained,th=2,color=black):

>	*p[2]:=plot(2H(x-2),x=0..2.001,color=black, title="Kabel zwischen zwei Masten # Parameter a = [1, 1.5, 2, 2.5]"):**

>	plots[display]({p[1],p[2]});

Plot_2d

>

Symmetrische Aufh?ngung im Abstand von x = 1:

restart:

>	*Dgl:=diff(y(x),x$2)-asqrt(1+(diff(y(x),x))^2)=0;**

(8)

>	R[1]:=y(0)=0; R[2]:=y(1)=0;

(9)

(9)

>	dsolve({Dgl,R[1],R[2]},y(x));

(10)

>	Y(x,a):=convert(rhs(%),radical);

(11)

>	*Y(x,a):=(1/a)cosh(a(x-1/2))-(1/2/a)(exp(a)+1)sqrt(1/exp(a));*

(12)

>	Ableitung(x,a):=diff(%,x) assuming a>0;

(13)

>	for i in [1,1.5,2,2.5] do Y(x)[a=i]:= evalf(subs(a=i,Y(x,a)),4) od;

(14)

(14)

(14)

(14)

>	for i in [1,1.5,2,2.5] do Neigung(x)[a=i]:= evalf(subs(a=i,diff(Y(x,a),x)),4) od;

(15)

(15)

(15)

(15)

>	*erforderliche_Kabell?nge:= Int(sqrt(1+(diff(y(x),x))^2),x=0..1)= value(int(sqrt(1+(sinh(ax-a/2))^2),x=0..1)) assuming a>0;**

(16)

>	alias(H=Heaviside,th=thickness):

>	*p[1]:=plot((exp(-a/2))(-1+exp(a))/a,a=0..3,1..1.421, color=black,th=2):**

>	*p[2]:=plot({1.42,1.42H(a-3)},a=0..3.001,color=black, title="erforderliche Kabell?nde L(a)"):**

>	plots[display]({p[1],p[2]});

Plot_2d

>	for i in [1,1.5,2,2.5] do erforderliche_Kabell?nge[a=i]:= Int(sqrt(1+(diff(y(x),x))^2),x=0..1)= evalf(int(sqrt(1+(Neigung(x)[a=i])^2),x=0..1),4) od;

(17)

(17)

(17)

(17)

>	alias(H=Heaviside,th=thickness):

>	p[1]:=plot({Y(x)[a=1],Y(x)[a=1.5],Y(x)[a=2],Y(x)[a=2.5]}, x=0..1,scaling=constrained,th=2,color=black):

>	*p[2]:=plot({-0.5,-0.5H(x-1)},x=0..1.001,color=black, title="Parameter a = [1, 1.5, 2, 2.5]"):**

>	plots[display]({p[1],p[2]});

Plot_2d

>	Y(1/2,a):=subs(x=1/2,Y(x,a));

(18)

>	Y(1/2,a):=subs(cosh(0)=1,%);

(19)

>	for i in [1,1.5,2,2.5] do maximaler_Durchhang[a=i]:= evalf(subs(a=i,Y(1/2,a)),4) od;

(20)

(20)

(20)

(20)

>	maximaler_Durchhang[a=0]:=Limit(Y(1/2,a),a=0);

(21)

>	maximaler_Durchhang[a=0]:=value(%);

(22)

F?r a = 0 verschwindet der Durchhang. Dann wird der Horizontalzug

wegen a = q / H unendlich gro?.

>